Свойства бесконечной величины

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ЗЕНОН О БЕСКОНЕЧНОЙ ВЕЛИЧИНЕ АРИСТОТЕЛЬ О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ НИКОЛАЙ КУЗАНСКИЙ О БЕСКОНЕЧНОСТИ БОЛЬЦАНО " ПАРАДОКСЫ БЕСКОНЕЧНОГО" ГЕОРГ КАНТОР О БЕСКОНЕЧНОМ МНОЖЕСТВЕ ЧИСЕЛ ВЫВОД РЕКОМЕНДАЦИИ ВВЕДЕНИЕ Понятие бесконечности - одно из важнейших и в то же время "таинственных" в науке. Еще в древности многие философы и математики задумывались о непоследовательности этого понятия. Как пишет Ф. Энгельс: "уже есть противоречие, что бесконечность должна состоять только из конечных величин, а между тем это именно так. Ограниченность материального мира ведет к не меньшим противоречиям, чем его безграничность, и всякая попытка устранить эти противоречия ведет к новым, еще худшим противоречиям. Именно потому, что бесконечность-это противоречие, это бесконечный процесс, который бесконечно разворачивается во времени и пространстве. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности. В математике противоречия, связанные с идеей бесконечного числа, обострились после создания XIXв конце XIX века теории бесконечных множеств и последующих парадоксов этой теории. В то время как многие ученые игнорируют такие парадоксы и широко используют теорию множеств в своей работе, другие яростно критикуют методы теории множеств в математике. Полемика вокруг теории множеств стала еще более ожесточенной после того, как группа французских математиков, писавших под псевдонимом Николя Бурбаки, попыталась построить все здание математической науки, основанное исключительно на концепции множеств. Эта попытка, с энтузиазмом принятая рядом математиков и оказавшая значительное влияние на развитие науки в XX веке, была осуждена другими учеными за чрезмерную формализацию, попытку оторвать математическую науку от животворных практических приложений, питающих ее. Введение реальной бесконечности в качестве основного научного понятия в математике, как и почти всякое значительное новшество в науке, породило столько же новых проблем, сколько и разрешило старых. Точнее, он создал, конечно, больше. Однако с самого начала можно было точно различать понятия в той области, где так долго царила неразбериха. Именно благодаря этой проблеме философия и математика сблизились, поскольку общая цель этих наук-достижение истинного знания бесконечной величины. Не случайно понятие бесконечного было исследовано в работах Больцано и Кантора, которые были одновременно философами и математиками. Поэтому эта тема всегда актуальна. Определившись с темой моей работы, я поставил себе целью исследовать свойства бесконечной величины и сравнить понятия потенциальной и действительной бесконечности. Для достижения этой цели были решены следующие задачи: рассмотреть апорию Зенона, для доказательства которой он активно использовал свойство бесконечной величины; объяснить интерпретацию бесконечной величины у Кузы, показать выявленные им свойства бесконечной величины и сравнить действительную и потенциальную бесконечность Кузы; узнать о первом разделении действительной и потенциальной бесконечности, введенном Аристотелем; а также исследовать свойства бесконечной величины в теориях бесконечных множеств математических философов Больцано и Кантора. Для подготовки своей работы я активно использовал труды самих философов, а также литературу, содержащую основные положения трудов философов и их оценку. предел в направлении наименьшего, не имеет предела, будучи мыслимым, в направлении наибольшего, величина имеет предел по отношению к наибольшему, но не имеет предела по отношению к наименьшему). Но число на самом деле не может быть бесконечным. Аристотель понимает бесконечность как процесс - не может быть бесконечного числа, но всегда может быть число больше данного. Меньшего значения быть не может, но всегда может быть значение меньше заданного. Эти весьма плодотворные идеи Аристотеля могли бы лечь в основу дифференциального исчисления, но этого не произошло. Высшая математика также отрицает бесконечно малое и бесконечно большое как законченное, застывшее, она понимает бесконечно малое как нечто, что может быть меньше любой постоянной величины, а бесконечно большое как нечто, что может быть больше любой постоянной величины. Подводя итог, Аристотель говорит: "то, вне чего всегда что-то есть, есть бесконечное." Все это не укладывается в ту статичную картину мира, которую мы обсуждали выше в связи с математикой. Поэтому Аристотель относится к бесконечности со страхом, он говорит, что бесконечное непознаваемо и неопределенно. Начнем с понятия бесконечности как результата сложения конечных величин. Вводя это понятие, Аристотель сразу же отбрасывает бесконечность пространства. Но время бесконечно. С этим различием связаны понятия действительной и потенциальной бесконечности. Аристотель отвергает возможность чувственно воспринимаемого тела бесконечных размеров (фактически бесконечного тела), но допускает существование потенциальной бесконечности. Его нельзя понять в том смысле, в каком, например, статуя потенциально заключена в меди. Такой взгляд означал бы, что потенциальная бесконечность в конце концов становится действительной. Потенциально бесконечное все время остается конечным и постоянно изменяется, и этот процесс изменения может продолжаться сколь угодно долго. Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется что-то другое и что-то еще, и то, что берется, всегда конечно, но всегда различно и различно." Действительная бесконечность-это бесконечный размер тела в тот момент, когда оно появляется как чувственно воспринимаемый объект. Другими словами, это бесконечное пространственное расстояние между пространственными точками, связанными с одним объектом в какой-то момент времени. Это чисто пространственное, одновременное разнообразие. Согласно Аристотелю, реальное тело не может быть таким одновременным разнообразием бесконечных измерений. Реальным эквивалентом бесконечности может быть бесконечное движение, процесс, который происходит в бесконечное время и состоит из бесконечного увеличения определенной величины, которая остается конечной все время. Таким образом, понятие потенциальной бесконечности, текущей во времени, имеет реальный эквивалент. Нет бесконечного "сейчас", но есть бесконечная последовательность конечных"сейчас". Действительная бесконечность - это некая величина, имеющая реальное физическое существование и достигшая в данный момент бесконечного значения. Если выражение "данный момент" понимать буквально, то действительный бесконечный объект следует понимать как мир, существующий на мгновение, то есть пространственное многообразие. Аристотель, говоря о действительной бесконечности, обыкновенно имеет в виду бесконечное пространство или, вернее, бесконечную протяженность реального чувственно воспринимаемого тела. "И что бесконечное существует, уверенность исследователей в нем исходит прежде всего из пяти [причин]: [1] из времени (ибо оно бесконечно); [2] из деления величин (ибо математики тоже используют бесконечное); [3] далее, что только если есть бесконечное, откуда берется возникающее, не перестает возникать и Аннигиляция; [4] Далее, из того, что ограниченное всегда граничит с чем-то, так что необходимо, чтобы не было предела, так как одно всегда обязательно граничит с другим [5]. Но больше всего, и самое главное - что является общей трудностью для всех - на том основании, что мышление [никогда] не останавливается [ни на чем] и число кажется бесконечным, и математические величины, и то, что за небом. Рассмотрение бесконечного имеет свои трудности, поскольку как отрицание его существования, так и признание его приводят ко многим невозможным последствиям. Далее, как существует бесконечное: как сущность или как свойство, присущее определенной природе? Или ни то, ни другое, но все же бесконечное существует - либо как бесконечное [по размеру], либо как неисчислимое множество. Однако для физика наиболее важноа рассмотреть вопрос о том, существует ли бесконечная чувственно воспринимаемая величина. И поэтому, прежде всего, нам нужно определить, в каком количестве значений мы говорим о бесконечном. В одном смысле это то, что не может быть пройдено, потому что это естественно невозможно сделать, так же как невозможно увидеть голоса; в другом, это то, что прохождение которого не может быть завершено, потому ли, что это едва осуществимо, или потому, что, будучи естественно проходимым, оно не имеет конца прохода или предела. Тогда все бесконечное может быть таковым или в предположении сложения, или в отношении деления, или в обоих отношениях. Далее, как возможно, чтобы бесконечное было чем-то, что существует само по себе, если в нем самом нет числа и величины, которым бесконечное присуще как состояние? В конце концов, для него менее необходимо существовать самому по себе, чем для числа или величины. Следовательно, она не имеет частей и неделима. Однако бесконечное не может существовать в реальности, потому что в этом случае оно должно быть определенным количеством. Следовательно, бесконечное существует как свойство. И очевидно, что многое невозможно, если вообще отрицать существование бесконечного. Тогда у времени тоже будет начало и конец, и величины не будут делиться на величины, и числовые ряды не будут бесконечными. Когда при таком положении вещей начинает казаться, что ни одно из решений не является неприемлемым, возникает необходимость в арбитре, и [в конце концов] становится очевидным, что в одном смысле [бесконечное] существует, а в другом-нет. Ибо о бытии можно говорить либо в возможности, либо в реальности, а бесконечное получается либо сложением, либо вычитанием. Уже было сказано, что величина в действительности не может быть бесконечной, но она может быть делимой (так как нетрудно опровергнуть теорию неделимых линий); таким образом, остается бесконечное в возможности. Бесконечное при сложении в известном смысле то же самое, что бесконечное при делении, а именно при сложении к конечному количеству происходит обратное: в той мере, в какой оно, очевидно, переходит в бесконечность при делении, оно также будет казаться переходящим к определенной [ценности] при сложении. Если мы возьмем известную часть от конечной величины и прибавим к ней другие части, находящиеся в том же отношении друг к другу, но не прибавим опять ту же часть целого, то конечная величина не может быть пройдена; но если мы увеличим отношение настолько, что прибавим все время одну и ту же величину, то мы можем пройти, так как всякая конечная величина может быть исчерпана любым иным способом, бесконечное не существует; оно существует только таким образом - в возможности и в уменьшении. И бесконечное путем сложения, которое мы назвали в известном смысле тождественным с бесконечным путем деления, существует в возможности таким же образом, так как из него всегда можно что-то извлечь. Однако она не будет превышать никакой определенной величины, как бесконечное посредством деления превосходит любую определенную величину, меньше которой оно всегда будет. Таким образом, невозможно превзойти любую величину путем прибавления даже в возможности, если в действительности не существует бесконечного в смысле свойства [тела]. Следует с полным основанием признать, что бесконечное при сложении не оказывается больше любой величины, а бесконечное при делении именно таково. Ибо в той мере, в какой нечто может существовать в возможности, оно допустимо и в действительности. Таким образом, поскольку ни одна чувственная величина не бесконечна, невозможно превысить какую-либо конкретную величину. Вообще очевидно, что нельзя говорить о существовании бесконечного тела и в то же время об определенном месте для тел, если каждое чувственно воспринимаемое тело имеет либо тяжесть, либо легкость, и если оно тяжелое, то естественно движется к центру, а если легкое, то движется вверх: необходимо, чтобы бесконечное было одним и тем же, но далее, каждое чувственно воспринимаемое тело находится в каком-то месте, и типы и различия этого места-вверху и внизу, спереди и сзади, справа и слева-также определяются в пространстве.целиком. Однако в бесконечном теле такие различия невозможны. В общем, если невозможно существование бесконечного места, и каждое тело находится в каком-то месте, то невозможно существование любого бесконечного тела. Следовательно, если никакое количество не может быть бесконечным, поскольку количество есть нечто определенное, например, два локтя или три локтя в длину (ибо это означает количество), то таким же образом [бесконечным не будет] то, что находится в каком-либо месте, потому что оно "где-то", что означает выше, или ниже, или в любом другом из шести направлений, и каждое из них имеет определенный предел. Итак, из сказанного ясно, что не может быть никакого действительного бесконечного тела. Наш аргумент, отрицающий значимость бесконечного по отношению к возрастанию, поскольку оно не является полностью проходимым, не лишает математиков их исследования, ибо они не нуждаются теперь в таком бесконечном и не используют его: [математикам] нужно только, чтобы ограниченная линия была такой большой, какой они хотят, и в том же соотношении, в котором делится наибольшее количество, может быть разделена любая другая. Таким образом, для доказательств бесконечное не будет для них никакой пользы, и бытие будет найдено в [действительных] существующих количествах." Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое не может ни признаваться, ни отрицаться, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что оно существует и не существует. Это означает, что нет бесконечности как таковой, что бесконечность бесконечности отличается, и что то, что истинно для одной бесконечности, абсурдно для другой. Именно здесь Аристотель вводит действительную и потенциальную бесконечность. Он сравнил действительное бесконечное с действительным бесконечным телом и не узнал его. Но он распознал потенциал. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, и этот процесс изменения может продолжаться в течение любого промежутка времени. "Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется что-то другое и что-то другое, а то, что берется, всегда конечное, но всегда разное и разное." Разделение действительной и потенциальной бесконечности является главным достижением Аристотеля в этой области, которое было поддержано всеми последующими философами одно и то же, поэтому линия-это угол, так как весь треугольник-это линия. Восхождение от количественного треугольника к неколичественному также поможет вам понять это. Каждый количественный треугольник, как мы знаем, имеет три угла, равные двум прямым, и чем больше один угол, тем меньше другие. Хотя каждый угол треугольника может увеличиваться только до двух прямых исключительно, а не до максимума, в соответствии с нашим первым принципом, однако мы предполагаем, что он увеличивается до максимума двух прямых включительно, оставаясь треугольником. Тогда получается, что треугольник имеет один угол, который равен трем, а три образуют один. Точно так же вы можете убедиться, что треугольник-это линия. Любые две стороны количественного треугольника складываются до тех пор, пока третья-до тех пор, пока угол, который они образуют, меньше двух прямых линий; например, поскольку угол b намного меньше двух прямых линий, линииVA и AC складываются намного длиннее солнца. Таким образом, чем больше этот угол, например уголBDC, тем меньше линии BD и DC превышают линиюСолнца и тем меньше поверхность. Если предположить, что этот угол равен двум прямым, то весь треугольник превращается в простую прямую. Используйте это предположение, которое невозможно для количественных треугольников, чтобы подняться к неколичественным, где, как вы видите, невозможное становится абсолютно необходимым для количественных. Из этого также ясно, что бесконечная линия является максимальным треугольником, как это было необходимо доказать. Теперь давайте более ясно покажем, что треугольник-это круг. Предположим, что треугольник ABC образуется вращением прямойAB вокруг неподвижного A до тех пор, пока не произойдет совпадениев C, S. Нет сомнения, что если бы линияAB была бесконечной и B описывала полный круг, возвращаясь к началу, то был бы получен максимальный круг, частью которого является BC. Но таккак Солнце есть часть бесконечной дуги, то солнце есть прямая линия; и так как каждая часть бесконечности бесконечна,то солнце не меньше, чем вся дуга бесконечного круга. Таким образом, BC будет не только частью, но и всей окружностью, а это значит, что треугольник ABC обязательно является максимальным кругом. А кругСолнца как прямая линия не длиннее бесконечностиАВ, так как ничто не может быть больше бесконечности; они небудут Солнцем иАВ и двумя [отдельными] линиями, потому что не может быть двух бесконечностей. Поэтому бесконечная линия, будучи треугольником, есть также круг, который необходимо было установить. Наконец, то, что бесконечная линия является шаром, показано следующим образом. ЛинияАВ-это окружность максимальной окружности и, кроме того, сама окружность, как уже доказано. Согласно вышесказанному, она рисуется треугольником от B до C. НоBC-это бесконечная линия, как было также только что доказано; поэтомуAB возвращается в C, совершая полный оборот вокруг себя. Когда это происходит, шар обязательно появляется из циркуляции круга вокруг себя. Итак, если выше было доказано, что ABC-это круг, треугольник и линия, то теперь мы доказали, чтоABC также имеет воздушный шар. Это то, что мы искали. Так как, следовательно, все эти фигуры заключены в возможности конечной прямой, а бесконечная линия есть в действительности все то, что конечная линия представляет как возможность, то бесконечная линия есть треугольник, круг и шар, что и требовалось доказать. Если рассматривать два угла - один тупой, другой острый, то по мере того, как один из них увеличивается, другой будет уменьшаться. Когда один будет максимальным, а другой минимальным, они оба сольются с прямой линией. Как мне назвать этот угол?"Он абсолютно острый и абсолютно глупый, и в то же время он ни острый, ни глупый." Таким образом, этот угол сочетает в себе максимум с минимумом, он является причиной всех углов. Итак, мы перенесем наше умозрение - а мы вывели его из того, что бесконечная кривизна есть бесконечная прямолинейность,-на простейшую и бесконечную сущность максимума. Она есть простейшая сущность всех сущностей; все сущности настоящих, прошлых и будущих вещей всегда и вечно актуальны в этой сущности, так что все сущности есть как бы сама всеобщая сущность; сущность всех вещей есть всякая другая сущность таким образом, что она есть одновременно все они, и ни одна отдельно; и как бесконечная линия есть самая точная мера всех линий, так и для максимума, который не противостоит минимуму, необходимо самая точная мера всего - не больше, чем любая вещь, так как минимум, и не меньше, чем он, так как минимум, максимум - а все измеримое находится между максимумом и минимумом, так что бесконечная сущность есть самая верная и точная мера всего. И чтобы увидеть это еще яснее, подумайте, что если бы одна бесконечная линия состояла из бесконечного числа отрезков пролета, а другая из бесконечного числа двухпролетных отрезков, то они все равно обязательно были бы равны, так как бесконечность не может быть больше бесконечности. Соответственно, как один пролет в бесконечной линии не меньше двух пролетов, так и бесконечная линия не становится больше при добавлении двух пролетов, чем при добавлении одного. Более того, поскольку любая часть бесконечности также бесконечна, один пролет бесконечной линии так же преобразуется во всю бесконечную линию, как и два пролета. Точно так же, поскольку каждая сущность в максимальной сущности есть сама эта максимальная сущность, максимум есть не что иное, как наиболее точная мера всех сущностей. Более того, нет никакой другой точной меры любой сущности, кроме этой; ибо все остальные недостаточны и могут быть более точными, как ясно показано выше. Конечная линия делима, а бесконечная линия неделима, потому что бесконечность, где максимум совпадает с минимумом, не имеет частей. Но так как, как было показано выше, невозможно прийти к минимуму, меньше которого не может быть ничего, то конечная прямая не делится на нелинейности, так что основание конечной прямой-это бесконечная прямая! Так что максимум прост-основа всего. Подобно тому, как бесконечная линия, основа конечной линии, неделима и потому неизменна и постоянна, так и основа всех вещей, Бог благословенный, вечна и неизменна. Мы находим три максимальные линии длины, ширины и глубины, сходящиеся в центре бесконечного шара. Но центр максимальной сферы равен диаметру и окружности, и поэтому ее центр равен этим трем линиям; или, скорее, центр-это все эти линии, то есть длина, ширина и глубина. Точно так же простейшим и бесконечным максимумом будет всякая длина, ширина и глубина, которая в нем есть единая и простейшая максимальная неделимость. Как центр, он предшествует всей ширине, длине и глубине, а также является их концом и серединой, поскольку в бесконечной сфере центр, ширина и окружность тождественны. Как бесконечная сфера совершенно реальна62 и совершенно проста, так и максимум совершенно и просто актуален, и как сфера есть реальность линии, треугольника и круга, так максимум есть действительность всего: всякое реальное существование получает от нее всю свою действительность, и всякое существование существует реально ровно настолько, насколько оно остается в своем бесконечном акте. Следовательно, максимум-это форма форм и форма бытия, или максимальное действительное бытие. Николай Кузанский различает два типа бесконечного: отрицательно бесконечное и приватно бесконечное. "Только абсолютный максимум отрицательно бесконечен, только он есть то, чем он может быть во всей потенции. Напротив, Вселенная, охватывающая все, что не является Богом, не может быть отрицательно бесконечной, хотя она не имеет предела и, следовательно, приватно бесконечна." Отрицательная бесконечность Бога есть бесконечность действительного, то, что Николай Кузанский чаще всего называет абсолютным максимумом. С другой стороны, приватная бесконечность скорее соответствует тому, что мы теперь называем потенциальной бесконечностью. Действительно, Вселенная приватно бесконечна, поскольку, по словам Николая Кузанского, она "не имеет предела." Такого рода потенциально бесконечное-это нечто, что всегда может быть в действительности больше, но это просто признак конечности, потому что действительная бесконечность не может стать больше или меньше, добавляя к ней или вычитая из нее какую-либо величину. Конечная величина не может стать бесконечной, постепенно увеличиваясь. Такая конечность, которая может бесконечно увеличиваться, но никогда не может превратиться в действительную бесконечность, есть потенциальная бесконечность. Она может расти без предела, потому что нет предела бесконечному всемогуществу Бога, который создал ее. Николай Кузанский разработал теорию бесконечного и доказал ее математически. Он обнаружил, что свойство бесконечного числа бесконечного увеличения превращает геометрические фигуры в бесконечную линию. То есть в бесконечности многообразие геометрических фигур едино. Бесконечное-это то, за пределами чего ничего не может быть, вот почему Куза называет его "максимумом"; единое-это "минимум"." Действительная бесконечность есть сочетание противоположностей-единого и бесконечного. Конечная линия делима, а бесконечная линия неделима, потому что бесконечность, где максимум совпадает с минимумом, не имеет частей. Николай Кузанский возвращает нас к Зенону с его парадоксами бесконечности, но с той разницей, что Зенон видел в парадоксах инструмент разрушения ложного знания, а Кузанский-средство создания истинного знания. Правда, само это знание имеет особый характер - это "мудрое неведение". точек квадрата. В результате не было никаких сомнений: ведь весь сегмент помещается на одну сторону квадрата, а множество всех сегментов, на которые сам квадрат может быть разложен, имеет ту же мощность, что и множество точек сегмента. Георг Кантор пришел к выводу, что бесконечное множество точек на квадрате имеет не больше мощности, чем бесконечное множество точек на отрезке прямой. Но сила его не меньше, и потому эти силы совпадают. Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколько отрезок линии. В общем случае любая геометрическая фигура, содержащая хотя бы одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок линии. Такие бесконечные множества называются множествами мощности континуума (от латинского continuum - непрерывный). "До сих пор самая большая сила, которую мы знаем, - это сила бесконечного множества точек на прямой линии, то есть сила континуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек Куба не имеют большей мощности. Разве мощность континуума не самая большая? Оказывается, что это не так. Более того, нет набора самой большой емкости вообще. Для любого бесконечного множестваA-это бесконечное множество, сила которого больше силы A. это множество, например, бесконечное множествово всех функциях, определенных на бесконечном множествеA и принимающих значения 0 и 1. Итак, для любого набораAnd можно и построить наборв большей емкости. Таким образом, бесконечное множество наибольшей мощности не существует. Начиная с наименьшей из бесконечных сил - силы бесконечного множества натуральных чисел, мы сначала получим силу континуума, затем силу бесконечного множества всех функций, определенных на множестве действительных чисел, и будем бесконечно подниматься по этой головокружительной лестнице все возрастающих бесконечных сил" [5, pС. 71-72]. Кантор, как и Больцано, настойчиво объяснял разницу между действительной и потенциальной бесконечностями. Согласно определению Кантора, потенциально бесконечная "означает переменную конечную величину, которая растет за пределами любых конечных границ". Кантор называет математическую потенциально бесконечную "неисключенно бесконечной". Она появляется в математике в форме дифференциалов первого или высшего порядка, или в форме сумм бесконечных рядов, или в форме других предельных процессов. Как объяснил Кантор, "потенциально бесконечное" - это простое вспомогательное понятие нашего мышления. Это "понятие отношения, которое, согласно его определению, содержит идею изменчивости и которое, следовательно, никогда не может быть выражено в собственном смысле этого слова. Оно "не означает никакой идеи само по себе." Кантор сразу же указывает, что даже в этом смысле - как понятие отношения - потенциально бесконечное " благодаря дифференциальному и интегральному исчислению, открытому Лейбницем и Ньютоном, обнаружило свое огромное значение как средства познания." (5, с. 84). Кантор признал полную плодотворность для науки этой давней концепции потенциальной бесконечности. Он возражал против презрительного обозначения потенциальной (неправильной) бесконечности как "плохой бесконечности" и находил, что бесконечно малые величины, до сих пор употреблявшиеся в математике только как "неправильно-бесконечные", были очень полезны, так как они "доступны всем тем различиям, модификациям и отношениям, которые используются в исчислении бесконечно малых величин и в теории функций и с помощью которых они собирают богатый урожай аналитических истин" (5, с. 80). Но как бы ни было велико значение "потенциальной бесконечности" для науки, эта бесконечность оставалась по существу лишь некоторой переменной - то возрастающей за все пределы, то уменьшающейся до произвольной малости, всегда конечной величины. Отсюда был сделан вывод, что в этом и подобных случаях вполне правомерно " думать. бесконечное, как находящееся в некоторой четко определенной точке." Такое бесконечное, которое предстает в противоположность потенциально бесконечному в таком четко определенном виде, Кантор стал называть "на самом деле бесконечным"или" на самом деле бесконечным". Под фактически бесконечным, в противоположность потенциально бесконечному, Кантор понимает "некоторую постоянную, замкнутую в себе, но лежащую по ту сторону всех конечных величин, величину." (5, с. 85). Кантор называет На самом деле бесконечным "величину, которая, с одной стороны, не является переменной, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет собой истинную постоянную величину, а с другой, в то же время превосходит по своей величине любую конечную величину того же рода." Примером действительной бесконечности является совокупность всех точек, лежащих на данной окружности. Это множество есть, по выражению Кантора, "некоторая вещь для себя и образует-помимо естественного ряда связанных с ней чисел-некоторую величину, неизменную во всех своих частях и определенную, которую, очевидно, следует назвать большей, чем всякую конечную величину." В свою очередь, в сфере фактически бесконечного Кантор различал две его формы. Это "трансфинитное" на самом деле бесконечное и абсолютное. По Кантору, эти формы на самом деле бесконечного резко отличаются друг от друга. Трансфинитное следует мыслить как " бесконечное, но в то же время доступное еще большему числу." Напротив, абсолют "следует считать недоступным для увеличения и потому математически неопределенным" (16, 86). Согласно Кантору, предметом математики является только трансфинитное бесконечное. Мы можем думать об идеальном пределе конечного не как об абсолютном, а только как о трансфинитном, "и по крайней мере как о трансфинитном (соответствующем наименьшему сверхконечному числу)" (16, 87). Это число Кантор обозначил греческой буквой "омега". Кантор сделал наблюдение, что бесконечные вещественные целые числа не принадлежат "потенциальной бесконечности", "не-сущностно бесконечному". Было установлено, что они имеют тот же характер определенности, что и при рассмотрении бесконечно удаленной точки (в теории аналитических функций), и что, следовательно, они также принадлежат к типам "собственно бесконечности" или "действительной бесконечности". Но в то время как бесконечно удаленная точка комплексной числовой плоскости противопоставляется только всем точкам, находящимся на конечных расстояниях, при рассмотрении бесконечных целых чисел мы получаем "не одно-единственное бесконечное целое, а бесконечный ряд сходных чисел, резко отличающихся друг от друга и находящихся в регулярных числовых отношениях друг к другу и к конечным целым." Новое понятие действительной бесконечности было введено в математику Георгом кантором. Бесконечность Кантора - это фактическая бесконечность, которая не является исчисляемым неисчислимым множеством. Первоначальная идея Кантора состоит в том, чтобы определить набор по содержанию. Набор может быть определен путем перечисления всех его элементов. Бесконечное множество не может быть определено таким образом. Однако набор можно определить по-разному, указав некоторые функции, которые должны иметь все элементы набора. Точно так же в терминах содержания можно определить бесконечное множество. Георг Кантор разделил потенциальную и действительную бесконечности. Кантор действительно называет бесконечной величину, которая, с одной стороны, не изменчива, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет собой истинную постоянную величину, а с другой стороны, в то же время превосходит по своей величине любую конечную величину того же рода." Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, которая выходит за любые конечные границы". Кантор называет математическое потенциально бесконечное "неискоренимо бесконечным". Кантор также вводит арифметику бесконечности. Он определил операции сложения и умножения для бесконечных степеней. Для бесконечных степеней он также установил операцию экспоненции с бесконечным показателем. Не все законы обычной арифметики переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил, что законы арифметики бесконечности радикально отличаются от зависимостей, преобладающих в области конечного, а свойства конечных и бесконечных множеств различны. Георг Кантор был ответственен за появление трансфинитных чисел, он ввел понятие мощности бесконечного множества, разделил счетные и несчетные бесконечные множества и ввел взаимно-однозначное соответствие для бесконечных множеств, что позволило нам оперировать этими понятиями. Георг Кантор-величайший математик, проливший свет на тайны бесконечного, он сделал наибольшее число открытий в этой области, и поэтому его роль велика как в математике, так и в философии.ВЫВОД Концепция бесконечной величины, с одной стороны, таинственна и загадочна, а с другой-манит и притягивает своей неизученностью. Философы долго думали о существовании бесконечности, рассматривали ее с разных сторон, но мало кто изучал бесконечную величину и ее свойства. Левкипп и Демокрит, основатели атомизма, были одними из первых, кто использовал бесконечное количество в своих работах. Они ввели неделимую частицу материи-атом и считали, что число атомов бесконечно. Атомы бесконечно разнообразны по форме и, двигаясь в бесконечном пространстве, сталкивались друг с другом и, соединяясь, образовывали сложные тела. Но Левкипп и Демокрит использовали бесконечное количество для построения своей философской картины мира и не исследовали ее свойств. Зенон уже использовал свойство бесконечной величины для бесконечного увеличения, то есть он применил свойство потенциальной бесконечности, доказывая свои знаменитые положения о движении, времени, скорости, пространстве и точке. Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что оно существует и не существует. Это означает, что нет бесконечности как таковой, что бесконечность бесконечности различна и что то, что истинно для одной бесконечности, абсурдно для другой. Именно здесь Аристотель вводит действительную и потенциальную бесконечность. Он сравнивал действительное бесконечное с действительным бесконечным телом и не узнавал его. Но он распознал потенциал. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, и этот процесс изменения может продолжаться в течение любого промежутка времени. "Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется что-то другое и что-то другое, а то, что берется, всегда конечное, но всегда разное и разное." Разделение действительной и потенциальной бесконечности является главным достижением Аристотеля в этой области. Николай Кузанский использовал бесконечное количество для построения своей философской картины мира, раскрывал новые свойства бесконечного количества и сравнивал действительную и потенциальную бесконечность. Он верил, что единое есть все, ничто не противоположно единому, и поэтому единое тождественно бесконечному. Единое-это минимум, а бесконечное-максимум, поэтому противоположности совпадают. Николай Кузанский различает два типа бесконечного: отрицательно бесконечное и приватно бесконечное. "Только абсолютный максимум отрицательно бесконечен, только он есть то, чем он может быть во всей потенции." Отрицательная бесконечность Бога есть бесконечность действительного, то, что Николай Кузанский чаще всего называет абсолютным максимумом. С другой стороны, приватная бесконечность скорее соответствует тому, что мы теперь называем потенциальной бесконечностью. Эта конечность, которая может бесконечно возрастать, но никогда не превратится в действительную бесконечность, есть потенциальная бесконечность. Бесконечное-это то, за пределами чего ничего не может быть, вот почему Куза называет его "максимумом"; единое-это "минимум"." Н. Кузанский показал, что свойство бесконечного числа бесконечно увеличиваться превращает геометрические фигуры в бесконечную линию. То есть в бесконечности многообразие геометрических фигур едино. Кроме того, конечная линия делима, а бесконечная линия неделима, потому что бесконечность, где максимум совпадает с минимумом, не имеет частей. В 1851 году посмертно вышла книга чешского математика и философа Б. Больцано "парадоксы бесконечного", в которой он сделал первую попытку исследовать свойства действительной бесконечности. Он первым разработал теорию бесконечных величин, дал определение бесконечной величине, развил ее свойства, указал на возможность исчисления ее, применил бесконечную величину к геометрии и доказал свои взгляды. Больцано называл бесконечную величину бесконечным множеством, потому что он не мог представить ее в виде числа, потому что, по его мнению, само число конечно. Больцано различал действительную и потенциальную бесконечность. Под действительной бесконечностью он понимал "величину, большую, чем всякая конечная, то есть такую величину, что всякое конечное многообразие представляет только часть ее". Потенциальная бесконечность определяется из следующего утверждения Больцано: "я присоединяюсь к тем, кто отрицательно относится к этому понятию величины, которая только бесконечно увеличивается, но никогда не достигает бесконечности." Он пытался ответить на многие вопросы, связанные с таинственным бесконечным. В его книге были предвосхищены многие концепции теории бесконечных множеств, но они еще не получили той точности и ясности, которые были даны им двумя десятилетиями позже в работах Г. Больцано был гением, пролившим свет на неизвестную бесконечную величину, на ее свойства, но он не был принят современниками и его труды не воспринимались всерьез, не изучались и не использовались. Оригинальная идея Кантора-определить набор по содержанию. Набор может быть определен путем перечисления всех его элементов. Бесконечное множество не может быть определено таким образом. Однако набор можно определить по-разному, указав некоторые функции, которые должны иметь все элементы набора. Точно так же с точки зрения содержания можно определить бесконечное множество. Георг Кантор разделил потенциальную и действительную бесконечности. Кантор действительно называет бесконечной величину, которая, с одной стороны, не изменчива, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет собой истинную постоянную величину, а с другой стороны, в то же время превосходит по своей величине любую конечную величину того же рода." Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, которая выходит за любые конечные границы". Кантор называет математическое потенциально бесконечное "неискоренимо бесконечным". Кантор также вводит арифметику бесконечности. Он определил операции сложения и умножения для бесконечных степеней. Для бесконечных степеней он также установил операцию экспоненции с бесконечным показателем. Не все законы обычной арифметики переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил, что законы арифметики бесконечности радикально отличаются от зависимостей, преобладающих в области конечного, а свойства конечных и бесконечных множеств различны. Георг Кантор был ответственен за появление трансфинитных чисел, он ввел понятие мощности бесконечного множества, разделил счетные и несчетные бесконечные множества и ввел взаимно-однозначное соответствие для бесконечных множеств, что позволило нам оперировать этими понятиями. Георг Кантор-величайший математик, проливший свет на тайны бесконечного, он сделал наибольшее число открытий в этой области, и поэтому его роль велика как в математике, так и в философии. Потенциальная бесконечность абстрагируется от фактической неосуществимости неограниченного построения математических объектов, таких как натуральные числа, и постулирует, что их ряды могут продолжаться бесконечно. Неявно это понятие В. уже использовалось в античности. тем не менее, он приобрел особое значение в период кризиса бесконечно малого анализа и был явно включен в теорию пределов, где бесконечно малое рассматривалось как потенциальное значение, стремящееся к нулю в качестве своего предела. Однако в последней четверти 19 века было установлено, что теория пределов и последующая арифметизация анализа основаны на концепции действительной бесконечности, которая была заложена г. кантором в основу его теории множеств. Поэтому место становления, потенциальной бесконечности в математике занимает завершенная, действительная бесконечность. Однако это уподобление бесконечного множества конечному впоследствии привело к парадоксам и вызвало новый кризис в основах математики. Интуитивисты и конструктивисты видят выход из нее в возвращении к идее потенциальной бесконечности, но большинство математиков пытаются сохранить канторову теорию множеств, исключающую формирование слишком обширных множеств специальными постулатами аксиоматической системы. Трудности, возникающие при рассмотрении математической бесконечности, по-видимому, связаны с противопоставлением бесконечного и конечного, которые выражают в идеализированной форме различные, но взаимосвязанные аспекты реальной бесконечности. Потенциальная бесконечность в абстрактной форме отражает становление и возникновение, действительная бесконечность-ее результат, бытие. Это тот извилистый путь, который проделала человеческая мысль, пытаясь овладеть самой противоречивой концепцией бесконечности, "укротить" ее и использовать для понимания реальности. РЕКОМЕНДАЦИИ 1. Асмус В. А. античная философия. Москва: 1996, С. 35-38, 47-48. Больцано Б. парадоксы бесконечного. Перевод Бурцева Б. И. Одесса, 2003, с. 15-149. 3. столпотворение Черного огня . Библиотека http://khazarzar. skeptik.net/