СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ЗЕНОН О БЕСКОНЕЧНОЙ ВЕЛИЧИНЕ

АРИСТОТЕЛЬ О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ

НИКОЛАЙ КУЗАНСКИЙ О БЕСКОНЕЧНОСТИ

БОЛЬЦАНО " ПАРАДОКСЫ БЕСКОНЕЧНОГО"

ГЕОРГ КАНТОР О БЕСКОНЕЧНОМ МНОЖЕСТВЕ ЧИСЕЛ

ВЫВОД

РЕКОМЕНДАЦИИ

ВВЕДЕНИЕ

Понятие бесконечности - одно из важнейших и в то же время

"таинственных" в науке. Еще в древности многие философы и

математики задумывались о непоследовательности этого понятия. Как

пишет Ф. Энгельс: "уже есть противоречие, что бесконечность должна

состоять только из конечных величин, а между тем это именно так.

Ограниченность материального мира ведет к не меньшим

противоречиям, чем его безграничность, и всякая попытка устранить эти

противоречия ведет к новым, еще худшим противоречиям. Именно

потому, что бесконечность-это противоречие, это бесконечный процесс,

который бесконечно разворачивается во времени и пространстве.

Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности.

В математике противоречия, связанные с идеей бесконечного

числа, обострились после создания XIXв конце XIX века теории

бесконечных множеств и последующих парадоксов этой теории. В то

время как многие ученые игнорируют такие парадоксы и широко

используют теорию множеств в своей работе, другие яростно критикуют

методы теории множеств в математике. Полемика вокруг теории

множеств стала еще более ожесточенной после того, как группа

французских математиков, писавших под псевдонимом Николя

Бурбаки, попыталась построить все здание математической науки,

основанное исключительно на концепции множеств. Эта попытка, с

энтузиазмом принятая рядом математиков и оказавшая значительное

влияние на развитие науки в XX веке, была осуждена другими учеными

за чрезмерную формализацию, попытку оторвать математическую науку

от животворных практических приложений, питающих ее.

Введение реальной бесконечности в качестве основного научного

понятия в математике, как и почти всякое значительное новшество в

науке, породило столько же новых проблем, сколько и разрешило

старых. Точнее, он создал, конечно, больше. Однако с самого начала

можно было точно различать понятия в той области, где так долго

царила неразбериха.

Именно благодаря этой проблеме философия и математика

сблизились, поскольку общая цель этих наук-достижение истинного

знания бесконечной величины. Не случайно понятие бесконечного было

исследовано в работах Больцано и Кантора, которые были одновременно

философами и математиками. Поэтому эта тема всегда актуальна.

Определившись с темой моей работы, я поставил себе целью

исследовать свойства бесконечной величины и сравнить понятия

потенциальной и действительной бесконечности. Для достижения этой

цели были решены следующие задачи: рассмотреть апорию Зенона, для

доказательства которой он активно использовал свойство бесконечной

величины; объяснить интерпретацию бесконечной величины у Кузы,

показать выявленные им свойства бесконечной величины и сравнить

действительную и потенциальную бесконечность Кузы; узнать о первом

разделении действительной и потенциальной бесконечности, введенном

Аристотелем; а также исследовать свойства бесконечной величины в

теориях бесконечных множеств математических философов Больцано и

Кантора.

Для подготовки своей работы я активно использовал труды самих

философов, а также литературу, содержащую основные положения

трудов философов и их оценку.

ЗЕНОН О БЕСКОНЕЧНОЙ ВЕЛИЧИНЕ

Зенон больше всего известен тем, что создал столпы, которые

переводятся как противоречия. Благодаря им почти каждый

последующий философ упоминал его имя в своих трудах, пытаясь

опровергнуть эти столпы или привести аргументы в их пользу.

Первый столп: "размер частей существования бесконечно мал и

бесконечно велик одновременно. А именно, имея бесконечное число

всех других частей вне себя, он составляет бесконечно малую частицу

всего; но, с другой стороны, будучи составлен из бесконечного числа

частиц, он представляет бесконечно большое количество" [3, pс. 8].]

Каковы последствия этого? Во-первых, существует бесконечное

число вещей (поскольку вещи делимы до бесконечности), и, во-вторых,

каждая вещь занимает бесконечное пространство (вследствие

бесконечности ее частей). Каждая вещь (как и любая ее часть)

оказывается бесконечно большой в протяженности, в то время как

сущность, как совокупность всех вещей, будет бесконечным

множеством бесконечно больших пространственных величин.

С другой стороны, каждая частица бесконечно мала, так как она

отделена от каждой другой частицы бесконечным числом частиц. Если

вы отделите его от всех других частиц, у него не будет ни частей, ни

размера вообще. Дейссен "исправляет" первую антиномию Зенона

следующим образом: "тело, состоящее из многих частиц, было бы (1)

бесконечно малым и (2) бесконечно большим. Оно было бы бесконечно

малым, поскольку его можно разделить на бесконечность: оказывается,

тело состоит из суммы бесконечно малых частиц; сумма бесконечно

малых частиц может дать только бесконечно малое. Тело было бы

бесконечно большим, как при непрерывном делении мы получаем,

наконец, бесконечно много частиц; если из последних мы сложим тело,

то, сколько из них мы возьмем, всегда останется бесконечное их число,

поэтому, благодаря тому, что их число неисчерпаемо, мы можем

увеличить тело до бесконечного значения." [3, С.10].

Перейдем ко второй антиномии. "Если предположить

существование многих вещей, то получается, что:

1) существует конечное число вещей (тезис) и 2) существует

бесконечное число вещей (антитезис). Ход спора сводится к

следующему. Тезис: Если есть много вещей, то их столько, сколько есть,

не больше и не меньше. Поэтому они существуют в определенном

(ограниченном) количестве. Антитеза: если есть много вещей, то их

должно быть бесконечное число. В самом деле, допустим

существование только двух вещей. Между двумя вещами обязательно

должна быть третья вещь, разделяющая их, и между последней и первой

снова появляются новые вещи, и так до бесконечности. В противном

случае две соседние вещи слились бы в единое целое, образуя одну вещь

(а не две). Таким образом, два не существует без трех, три без пяти, пять

без девяти и так до бесконечности (так как число разделяющих вещей

равно бесконечному ряду 1, 2, 4, 8, 16, и т. д.)" [3, pС. 12]. В первой и

второй антиномиях Зенон рассматривает понятия единства, конечного

количества и количественной бесконечности. Диалектика числа Зенона

дает следующие результаты: единица = ноль, ноль = бесконечное число,

конечное число (два) = бесконечное число и часть = целое число. Таким

образом, понятие числа противоречиво, его применение незаконно с

точки зрения разума, и число следует отнести к сфере мнения и иллюзии.

Против пространства Зенон приводит и специальное

доказательство: "все существующее находится где-нибудь, то есть в

пространстве. А раз так, то и само пространство, чтобы существовать,

тоже должно где-то находиться, то есть в другом пространстве. Это

второе пространство, в свою очередь, должно находиться в третьем

пространстве, третье - в четвертом и так далее. Таким образом, мы

получаем пространство пространства и т. д. до бесконечности.

Следовательно, мы должны либо признать бесконечное число

пространств, заключенных друг в друге, либо полностью отрицать

существование пространства" [3, С.14].

И аргумент против пространства, и аргумент против истины

чувственного восприятия предполагают опровержение

множественности вещей. Аргумент против реальности чувственного

восприятия известен как аргумент "пшенного зерна". В разговоре с

Протагором Зенон указывает: "в то время как ни одно целое зерно, ни

одна десятитысячная часть зерна не издает звука, когда оно падает,

медимн проса издает шум, когда он падает. Так кажется нам, по

свидетельству внешних чувств; но разум требует, чтобы мы приняли

одно: или одно зерно и одна десятитысячная часть зерна также издают

звук при падении, или медимна проса не издает шума. Ведь иначе мы

получим, что сумма нулей не равна нулю, а некоторая положительная

величина" [3, С.17].

Доказательства Зенона против движения, Пять из которых дошли

до нас, всегда были самыми известными:

) доказательство общего характера,

)"дихотомия",

) "Ахилл",

5) "ступени".

Первое доказательство против движения очень кратко:

"движущийся объект не движется ни в том месте, где он находится, ни в

том месте, где его нет"

[3, с.21]. На вопрос, где происходит движение, следует ответить:

нигде, так как тело не может двигаться там, где его нет; с другой

стороны, поскольку оно всегда занимает пространство, равное его

объему, оно не может двигаться в этом месте, а покоится в нем.

Суть доказательства, известного как "дихотомия", состоит в

признании невозможности движения на том основании, что движущийся

объект должен сначала пройти половину пути, половину половины и так

далее до бесконечного числа раз, прежде чем достичь какого-либо места.

Невозможно пройти через бесконечное за конечное время.

Доказательство этой апории (как и ряда других его аргументов)

покоится на невозможности представить себе полную бесконечность.

Пусть время и пространство одинаково бесконечно делимы: переход из

одной точки в другую становится вдвойне невозможным. Мы получаем

бесконечное число пространственных точек, с одной стороны, и

моментов времени - с другой. Но мысль не может постичь конечности

бесконечного: неясно, как может быть совершено бесконечное число

актов движения, как может быть последовательно занято бесконечное

число положений в пространстве и как бесконечное число моментов во

времени может, наконец, прийти к концу. Поэтому рассматриваемое

нами доказательство Зенона достаточно упрощает условия реализации

движения, выдвигая лишь одну точку - бесконечную делимость

пространства.

Третья колонна выглядит так: "Быстроногий Ахилл не может

догнать черепаху, потому что каждый раз, когда он достигает

занимаемого места, черепахе удается немного продвинуться вперед.

Таким образом, чтобы догнать черепаху, Ахиллу нужно занять

бесконечное количество мест, которые занимала черепаха" [3, pс. 22]. В

отличие от" дихотомии"," Ахилл " предполагает, что и пространство, и

время одинаково бесконечно делимы: он ставит ту же проблему, но в

более сложной форме. Действительно, главная трудность аргумента

"Ахиллеса" заключается в непостижимости того, как можно преодолеть

бесконечно малое пространство, которое всегда будет разделять Ахилла

и черепаху, и, как справедливо указывает Шнайдер, решение проблемы

требует нарушения параллелизма бесконечно делимого пространства и

времени: Ахиллес настигнет черепаху, если за бесконечно малый

промежуток времени она не пройдет бесконечно малое расстояние. Но

это противоречит нашему убеждению, что движение требует времени.

Таким образом, выбор остается между вневременным движением и

бесконечным движением.

бесконечное количество Зенон Аристотель

Четвертое доказательство против движения - "стрела" гласит:

"Летящая стрела находится в покое" [3, С. 25]. Это доказательство

основывалось на предположении, что время-это сумма моментов, а

пространство-сумма точек. Это доказательство могло принимать

двоякую форму в зависимости от того, указывало ли оно на то, что

стрелка постоянно находится в одном месте или в один момент времени.

Первая форма: "в каждой точке пути летящая стрела занимает

определенное место, равное ее объему. Невозможно двигаться, если вы

занимаете равное место (потому что объект нуждается в большем

пространстве для перемещения). Если же тело покоится в каждой точке

пути, то движение тела состоит исключительно из состояний покоя.

Итак, ряд состояний покоя вместе образуют движение (сумма

нескольких нулей движения, так сказать, дает некоторую

положительную величину)." Вторая форма: "летящая стрела находится

в состоянии покоя, так как она всегда находится в одном

(присутствующем каждый раз) моменте времени. Момент времени

неделим, и поэтому во время своего хода стрела не может изменить

своего положения: в противном случае момент времени был бы разделен

в соответствии с двумя положениями стрелы в данный момент. А так как

время состоит только из отдельных моментов, то движущийся предмет

всегда покоится" [3, pС.

Пятое возражение против движения-это "ступени": "на

противоположных сторонах равные массы движутся по параллельным

линиям с одинаковой скоростью и проходят мимо неподвижной третьей

массы той же длины. Получается, что одна и та же точка, двигаясь с

одной и той же скоростью, пробегает одно и то же расстояние не за одно

и то же время, а также за половину времени и за двойное время, в

зависимости от точки, из которой мы будем наблюдать это движение.

Таким образом, мы получаем абсурдное следствие: Половина равна

целому " [3, pС. 33]. Аргумент Зенона раскрывает относительность

движения. Положение вещей различно, если мы смотрим на движение

каждого тела отдельно, и различно, если мы наблюдаем их движения

Вместе относительно друг друга.

Зенон использовал в апории свойство бесконечной величины к

постоянному увеличению. Он показал, что это свойство потенциальной

бесконечности опровергает значимые понятия физики (пространство,

время, скорость, движение), математики (число), а главное, они

противоречат восприятию окружающего мира, принятому

человечеством. Поэтому аргументы Зенона породили еще больше

загадок, загадок и противоречий вокруг свойств бесконечности.

АРИСТОТЕЛЬ О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ

В учении о бесконечном Аристотелю принадлежит заслуга

различения потенциальной и действительной бесконечности, что он мог

сделать, поскольку ввел в философию понятия возможности

(потенциальности) вообще и реальности (актуальности) вообще. Идея

бесконечного была присуща людям уже во времена Аристотеля. Все, что

ему нужно было сделать, - это найти причины этой идеи и подвергнуть

ее мощному влиянию своего аналитического ума.

Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически:

бесконечное как таковое нельзя ни признать, ни отрицать, но из этого не

следует, как сказал бы Гераклит, что оно существует и не существует.

Это значит, что нет бесконечности как таковой, что бесконечность

бесконечности различна и что то, что истинно для одной бесконечности,

абсурдно для другой. Именно здесь Аристотель вводит действительную

и потенциальную бесконечность.

Аристотель отрицает действительную бесконечность, под которой

он понимает бесконечное чувственно воспринимаемое тело и величину.

Он признает только потенциальную бесконечность. Величина может

быть только потенциально бесконечной, превосходящей все своей

малостью, непрерывно делимой (в отличие от числа, которое, имея

предел в направлении наименьшего, не имеет предела, будучи

мыслимым, в направлении наибольшего, величина имеет предел по

отношению к наибольшему, но не имеет предела по отношению к

наименьшему). Но число на самом деле не может быть бесконечным.

Аристотель понимает бесконечность как процесс - не может быть

бесконечного числа, но всегда может быть число больше данного.

Меньшего значения быть не может, но всегда может быть значение

меньше заданного. Эти весьма плодотворные идеи Аристотеля могли бы

лечь в основу дифференциального исчисления, но этого не произошло.

Высшая математика также отрицает бесконечно малое и бесконечно

большое как законченное, застывшее, она понимает бесконечно малое

как нечто, что может быть меньше любой постоянной величины, а

бесконечно большое как нечто, что может быть больше любой

постоянной величины. Подводя итог, Аристотель говорит: "то, вне чего

всегда что-то есть, есть бесконечное." Все это не укладывается в ту

статичную картину мира, которую мы обсуждали выше в связи с

математикой. Поэтому Аристотель относится к бесконечности со

страхом, он говорит, что бесконечное непознаваемо и неопределенно.

Начнем с понятия бесконечности как результата сложения

конечных величин. Вводя это понятие, Аристотель сразу же отбрасывает

бесконечность пространства. Но время бесконечно. С этим различием

связаны понятия действительной и потенциальной бесконечности.

Аристотель отвергает возможность чувственно воспринимаемого тела

бесконечных размеров (фактически бесконечного тела), но допускает

существование потенциальной бесконечности. Его нельзя понять в том

смысле, в каком, например, статуя потенциально заключена в меди.

Такой взгляд означал бы, что потенциальная бесконечность в конце

концов становится действительной. Потенциально бесконечное все

время остается конечным и постоянно изменяется, и этот процесс

изменения может продолжаться сколь угодно долго.

Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что

всегда берется что-то другое и что-то еще, и то, что берется, всегда

конечно, но всегда различно и различно."

Действительная бесконечность-это бесконечный размер тела в тот

момент, когда оно появляется как чувственно воспринимаемый объект.

Другими словами, это бесконечное пространственное расстояние между

пространственными точками, связанными с одним объектом в какой-то

момент времени. Это чисто пространственное, одновременное

разнообразие. Согласно Аристотелю, реальное тело не может быть

таким одновременным разнообразием бесконечных измерений.

Реальным эквивалентом бесконечности может быть бесконечное

движение, процесс, который происходит в бесконечное время и состоит

из бесконечного увеличения определенной величины, которая остается

конечной все время. Таким образом, понятие потенциальной

бесконечности, текущей во времени, имеет реальный эквивалент. Нет

бесконечного "сейчас", но есть бесконечная последовательность

конечных"сейчас".

Действительная бесконечность - это некая величина, имеющая

реальное физическое существование и достигшая в данный момент

бесконечного значения. Если выражение "данный момент" понимать

буквально, то действительный бесконечный объект следует понимать

как мир, существующий на мгновение, то есть пространственное

многообразие. Аристотель, говоря о действительной бесконечности,

обыкновенно имеет в виду бесконечное пространство или, вернее,

бесконечную протяженность реального чувственно воспринимаемого

тела.

"И что бесконечное существует, уверенность исследователей в

нем исходит прежде всего из пяти [причин]: [1] из времени (ибо оно

бесконечно); [2] из деления величин (ибо математики тоже используют

бесконечное); [3] далее, что только если есть бесконечное, откуда

берется возникающее, не перестает возникать и Аннигиляция; [4] Далее,

из того, что ограниченное всегда граничит с чем-то, так что необходимо,

чтобы не было предела, так как одно всегда обязательно граничит с

другим [5]. Но больше всего, и самое главное - что является общей

трудностью для всех - на том основании, что мышление [никогда] не

останавливается [ни на чем] и число кажется бесконечным, и

математические величины, и то, что за небом. Рассмотрение

бесконечного имеет свои трудности, поскольку как отрицание его

существования, так и признание его приводят ко многим невозможным

последствиям.

Далее, как существует бесконечное: как сущность или как

свойство, присущее определенной природе? Или ни то, ни другое, но все

же бесконечное существует - либо как бесконечное [по размеру], либо

как неисчислимое множество. Однако для физика наиболее важно

рассмотреть вопрос о том, существует ли бесконечная чувственно

воспринимаемая величина.

И поэтому, прежде всего, нам нужно определить, в каком

количестве значений мы говорим о бесконечном. В одном смысле это то,

что не может быть пройдено, потому что это естественно невозможно

сделать, так же как невозможно увидеть голоса; в другом, это то, что

прохождение которого не может быть завершено, потому ли, что это

едва осуществимо, или потому, что, будучи естественно проходимым,

оно не имеет конца прохода или предела. Тогда все бесконечное может

быть таковым или в предположении сложения, или в отношении

деления, или в обоих отношениях.

Далее, как возможно, чтобы бесконечное было чем-то, что

существует само по себе, если в нем самом нет числа и величины,

которым бесконечное присуще как состояние? В конце концов, для него

менее необходимо существовать самому по себе, чем для числа или

величины. Следовательно, она не имеет частей и неделима. Однако

бесконечное не может существовать в реальности, потому что в этом

случае оно должно быть определенным количеством. Следовательно,

бесконечное существует как свойство.

И очевидно, что многое невозможно, если вообще отрицать

существование бесконечного. Тогда у времени тоже будет начало и

конец, и величины не будут делиться на величины, и числовые ряды не

будут бесконечными. Когда при таком положении вещей начинает

казаться, что ни одно из решений не является неприемлемым, возникает

необходимость в арбитре, и [в конце концов] становится очевидным, что

в одном смысле [бесконечное] существует, а в другом-нет.

Ибо о бытии можно говорить либо в возможности, либо в

реальности, а бесконечное получается либо сложением, либо

вычитанием. Уже было сказано, что величина в действительности не

может быть бесконечной, но она может быть делимой (так как нетрудно

опровергнуть теорию неделимых линий); таким образом, остается

бесконечное в возможности.

Бесконечное при сложении в известном смысле то же самое, что

бесконечное при делении, а именно при сложении к конечному

количеству происходит обратное: в той мере, в какой оно, очевидно,

переходит в бесконечность при делении, оно также будет казаться

переходящим к определенной [ценности] при сложении. Если мы

возьмем известную часть от конечной величины и прибавим к ней

другие части, находящиеся в том же отношении друг к другу, но не

прибавим опять ту же часть целого, то конечная величина не может быть

пройдена; но если мы увеличим отношение настолько, что прибавим все

время одну и ту же величину, то мы можем пройти, так как всякая

конечная величина может быть исчерпана любым иным способом,

бесконечное не существует; оно существует только таким образом - в

возможности и в уменьшении. И бесконечное путем сложения, которое

мы назвали в известном смысле тождественным с бесконечным путем

деления, существует в возможности таким же образом, так как из него

всегда можно что-то извлечь. Однако она не будет превышать никакой

определенной величины, как бесконечное посредством деления

превосходит любую определенную величину, меньше которой оно

всегда будет. Таким образом, невозможно превзойти любую величину

путем прибавления даже в возможности, если в действительности не

существует бесконечного в смысле свойства [тела].

Следует с полным основанием признать, что бесконечное при

сложении не оказывается больше любой величины, а бесконечное при

делении именно таково. Ибо в той мере, в какой нечто может

существовать в возможности, оно допустимо и в действительности.

Таким образом, поскольку ни одна чувственная величина не бесконечна,

невозможно превысить какую-либо конкретную величину.

Вообще очевидно, что нельзя говорить о существовании

бесконечного тела и в то же время об определенном месте для тел, если

каждое чувственно воспринимаемое тело имеет либо тяжесть, либо

легкость, и если оно тяжелое, то естественно движется к центру, а если

легкое, то движется вверх: необходимо, чтобы бесконечное было одним

и тем же, но далее, каждое чувственно воспринимаемое тело находится

в каком-то месте, и типы и различия этого места-вверху и внизу, спереди

и сзади, справа и слева-также определяются в пространстве.целиком.

Однако в бесконечном теле такие различия невозможны. В общем, если

невозможно существование бесконечного места, и каждое тело

находится в каком-то месте, то невозможно существование любого

бесконечного тела. Следовательно, если никакое количество не может

быть бесконечным, поскольку количество есть нечто определенное,

например, два локтя или три локтя в длину (ибо это означает

количество), то таким же образом [бесконечным не будет] то, что

находится в каком-либо месте, потому что оно "где-то", что означает

выше, или ниже, или в любом другом из шести направлений, и каждое

из них имеет определенный предел. Итак, из сказанного ясно, что не

может быть никакого действительного бесконечного тела.

Наш аргумент, отрицающий значимость бесконечного по

отношению к возрастанию, поскольку оно не является полностью

проходимым, не лишает математиков их исследования, ибо они не

нуждаются теперь в таком бесконечном и не используют его:

[математикам] нужно только, чтобы ограниченная линия была такой

большой, какой они хотят, и в том же соотношении, в котором делится

наибольшее количество, может быть разделена любая другая. Таким

образом, для доказательств бесконечное не будет для них никакой

пользы, и бытие будет найдено в [действительных] существующих

количествах."

Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически:

бесконечное как таковое не может ни признаваться, ни отрицаться, но из

этого не следует, как сказал бы Гераклит, что оно существует и не

существует. Это означает, что нет бесконечности как таковой, что

бесконечность бесконечности отличается, и что то, что истинно для

одной бесконечности, абсурдно для другой. Именно здесь Аристотель

вводит действительную и потенциальную бесконечность. Он сравнил

действительное бесконечное с действительным бесконечным телом и не

узнал его. Но он распознал потенциал. Потенциально бесконечное все

время остается конечным и все время меняется, и этот процесс

изменения может продолжаться в течение любого промежутка времени.

"Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда

берется что-то другое и что-то другое, а то, что берется, всегда конечное,

но всегда разное и разное." Разделение действительной и потенциальной

бесконечности является главным достижением Аристотеля в этой

области, которое было поддержано всеми последующими философами.

НИКОЛАЙ КУЗАНСКИЙ О БЕСКОНЕЧНОМ

Одним из виднейших представителей философии Возрождения

был Николай Кузанский (1401-1464). Подобно большинству философов

своего времени, он придерживался неоплатонической традиции. Однако

в то же время он переосмыслил учение неоплатоников, начав с

центрального понятия единого. Он заявляет, что "ничто не противостоит

единому", и из этого делает характерный вывод: "единое есть все" -

формула, звучащая пантеистически. Здесь появляется новый,

возрожденческий подход к проблемам онтологии. Из утверждения, что

у единого нет противоположности, Кузанский делает вывод, что единое

тождественно бесконечному, бесконечному.

По мнению Н. Кузанского, Бог-это не персонифицированная

личность. Он-Абсолют, тот, кто вне всякой оппозиции. Философ ищет

понятие, которое могло бы описать единство противоположностей, так

как понятия, для которых всегда можно найти их противоположности,

конечны. Поэтому искомое понятие (для описания Бога) должно быть не

конечным: "приходящий к вам должен быть возвышен над всяким

пределом и концом, над всем конечным" [7, С.45]. Он уподобляет Бога

пределу, на котором сходятся бесконечно большое и бесконечно малое.

Бесконечное-это то, за пределами чего ничего не может быть, вот

почему Куза называет его "максимумом"; единое-это "минимум"."

Николай Кузанский, таким образом, открыл принцип совпадения

противоположностей-максимума и минимума. Действительная

бесконечность есть сочетание противоположностей-единого и

бесконечного.

"Когда исследование проводится в рамках конечных вещей, мы

можем сравнить их с чем-то знакомым нам, и нетрудно сделать

суждение о познаваемом. Но это не тот случай, когда исследование

касается бесконечного. Бесконечность превосходит всякую

соразмерность, сходство и различие; нам не с чем ее сравнивать, и

потому она остается нам неизвестной. Наш конечный ум, двигаясь по

пути подобий, не может постичь истину вещей. В конце концов, истина

не больше и не меньше и не может быть измерена ничем, кроме самой

истины.

Только через постоянное усилие познать Бога мы приходим к

пониманию того, что он непознаваем. Истина неуловима и непостижима

в своей чистоте, но даже в этом случае, чем более изучено "незнание

истины", тем ближе мы подходим к ней. Ум движется к истине, и этот

процесс бесконечен, подобно тому как многоугольник, вписанный в

окружность, приближается к окружности с бесконечным увеличением

числа сторон, но не становится кругом. Поэтому ум никогда не сможет

полностью постичь истину, хотя он будет бесконечно приближаться к

ней" [7, pС. 55-57].

"В математике, конечно, все, иначе не было бы ничего даже

вообразимого. Если мы хотим использовать конечное в качестве

примера для восхождения к максимальной простоте, мы должны сначала

рассмотреть конечные математические фигуры вместе с изменениями,

которые они претерпевают; затем перенести эти основания

соответственно на те же фигуры, доведенные до бесконечности; и, в-

третьих, поднять эти основания бесконечных фигур еще выше, до

простой бесконечности, которая абсолютно отделена от любой фигуры.

Только тогда наше невежество непостижимо осознает, как нам

надлежит, блуждая среди загадок, правильнее и истиннее думать о

высшем.

Итак, я говорю, что если бы существовала бесконечная линия, то

это была бы прямая линия, это был бы треугольник, это был бы круг и

это был бы шар; точно так же, если бы существовал бесконечный шар,

то это был бы круг, треугольник и линия; и то же самое должно быть

сказано о бесконечном треугольнике и бесконечном круге.

Во-первых, очевидно, что бесконечная линия будет прямой

линией: диаметр круга-прямая линия, а круг-криволинейная линия,

большая, чем диаметр; если эта кривая меньше по своей кривизне, чем

больше круг, то окружность максимального круга, которая не может

быть больше, минимально искривлена, а следовательно, максимально

прямая. Таким образом, минимум совпадает с максимумом. Даже на глаз

видно, что максимальная линия обязательно должна быть как можно

более прямой и как можно более кривой. Таким образом, мы видим, что

максимальная и бесконечная линия обязательно совершенно прямая, и

кривизна не противоположна ей; более того, кривизна в этой

максимальной линии есть прямолинейность. Это было первое, что

нужно было доказать.

Во-вторых, как уже говорилось, бесконечная линия-это

максимальный треугольник, круг и шар. На самом деле уже доказано,

что только одно может быть максимальным и бесконечным. Также ясно,

поскольку каждые две стороны любого треугольника не могут быть

меньше третьей в сумме, что если одна из сторон треугольника

бесконечна, то две другие не будут меньше. Тогда, поскольку любая

часть бесконечности бесконечна, для треугольника с одной бесконечной

стороной другие также обязательно будут бесконечными. Но нет

множественных бесконечностей, и за пределами воображения вы

трансцендентально понимаете, что бесконечный треугольник не может

состоять из нескольких линий, хотя этот максимальный, несоставный и

простейший треугольник есть самый истинный треугольник, который

обязательно имеет три линии, и поэтому одна бесконечная линия

обязательно оказывается тремя, а три - одна, самая простая. То же самое

относится и к углам: в нем будет только один бесконечный угол, и этот

угол-три угла, а три угла-один. Этот максимальный треугольник не

будет состоять из сторон и углов, но бесконечная линия и угол в нем-это

одно и то же, поэтому линия-это угол, так как весь треугольник-это

линия.

Восхождение от количественного треугольника к

неколичественному также поможет вам понять это. Каждый

количественный треугольник, как мы знаем, имеет три угла, равные

двум прямым, и чем больше один угол, тем меньше другие. Хотя каждый

угол треугольника может увеличиваться только до двух прямых

исключительно, а не до максимума, в соответствии с нашим первым

принципом, однако мы предполагаем, что он увеличивается до

максимума двух прямых включительно, оставаясь треугольником. Тогда

получается, что треугольник имеет один угол, который равен трем, а три

образуют один. Точно так же вы можете убедиться, что треугольник-это

линия.

Любые две стороны количественного треугольника складываются

до тех пор, пока третья-до тех пор, пока угол, который они образуют,

меньше двух прямых линий; например, поскольку угол b намного

меньше двух прямых линий, линииVA и AC складываются намного

длиннее солнца. Таким образом, чем больше этот угол, например

уголBDC, тем меньше линии BD и DC превышают линиюСолнца и тем

меньше поверхность. Если предположить, что этот угол равен двум

прямым, то весь треугольник превращается в простую прямую.

Используйте это предположение, которое невозможно для

количественных треугольников, чтобы подняться к неколичественным,

где, как вы видите, невозможное становится абсолютно необходимым

для количественных. Из этого также ясно, что бесконечная линия

является максимальным треугольником, как это было необходимо

доказать.

Теперь давайте более ясно покажем, что треугольник-это круг.

Предположим, что треугольник ABC образуется вращением прямойAB

вокруг неподвижного A до тех пор, пока не произойдет совпадениев C,

S. Нет сомнения, что если бы линияAB была бесконечной и B описывала

полный круг, возвращаясь к началу, то был бы получен максимальный

круг, частью которого является BC. Но таккак Солнце есть часть

бесконечной дуги, то солнце есть прямая линия; и так как каждая часть

бесконечности бесконечна,то солнце не меньше, чем вся дуга

бесконечного круга. Таким образом, BC будет не только частью, но и

всей окружностью, а это значит, что треугольник ABC обязательно

является максимальным кругом. А кругСолнца как прямая линия не

длиннее бесконечностиАВ, так как ничто не может быть больше

бесконечности; они небудут Солнцем иАВ и двумя [отдельными]

линиями, потому что не может быть двух бесконечностей. Поэтому

бесконечная линия, будучи треугольником, есть также круг, который

необходимо было установить.

Наконец, то, что бесконечная линия является шаром, показано

следующим образом. ЛинияАВ-это окружность максимальной

окружности и, кроме того, сама окружность, как уже доказано. Согласно

вышесказанному, она рисуется треугольником от B до C. НоBC-это

бесконечная линия, как было также только что доказано; поэтомуAB

возвращается в C, совершая полный оборот вокруг себя. Когда это

происходит, шар обязательно появляется из циркуляции круга вокруг

себя.

Итак, если выше было доказано, что ABC-это круг, треугольник и

линия, то теперь мы доказали, чтоABC также имеет воздушный шар. Это

то, что мы искали.

Так как, следовательно, все эти фигуры заключены в возможности

конечной прямой, а бесконечная линия есть в действительности все то,

что конечная линия представляет как возможность, то бесконечная

линия есть треугольник, круг и шар, что и требовалось доказать.

Если рассматривать два угла - один тупой, другой острый, то по

мере того, как один из них увеличивается, другой будет уменьшаться.

Когда один будет максимальным, а другой минимальным, они

оба сольются с прямой линией. Как мне назвать этот угол?"Он

абсолютно острый и абсолютно глупый, и в то же время он ни острый,

ни глупый." Таким образом, этот угол сочетает в себе максимум с

минимумом, он является причиной всех углов.

Итак, мы перенесем наше умозрение - а мы вывели его из того,

что бесконечная кривизна есть бесконечная прямолинейность,-на

простейшую и бесконечную сущность максимума. Она есть

простейшая сущность всех сущностей; все сущности настоящих,

прошлых и будущих вещей всегда и вечно актуальны в этой сущности,

так что все сущности есть как бы сама всеобщая сущность; сущность

всех вещей есть всякая другая сущность таким образом, что она есть

одновременно все они, и ни одна отдельно; и как бесконечная линия

есть самая точная мера всех линий, так и для максимума, который не

противостоит минимуму, необходимо самая точная мера всего - не

больше, чем любая вещь, так как минимум, и не меньше, чем он, так

как минимум, максимум - а все измеримое находится между

максимумом и минимумом, так что бесконечная сущность есть самая

верная и точная мера всего.

И чтобы увидеть это еще яснее, подумайте, что если бы одна

бесконечная линия состояла из бесконечного числа отрезков пролета, а

другая из бесконечного числа двухпролетных отрезков, то они все

равно обязательно были бы равны, так как бесконечность не может

быть больше бесконечности. Соответственно, как один пролет в

бесконечной линии не меньше двух пролетов, так и бесконечная линия

не становится больше при добавлении двух пролетов, чем при

добавлении одного. Более того, поскольку любая часть бесконечности

также бесконечна, один пролет бесконечной линии так же

преобразуется во всю бесконечную линию, как и два пролета. Точно

так же, поскольку каждая сущность в максимальной сущности есть

сама эта максимальная сущность, максимум есть не что иное, как

наиболее точная мера всех сущностей. Более того, нет никакой другой

точной меры любой сущности, кроме этой; ибо все остальные

недостаточны и могут быть более точными, как ясно показано выше.

Конечная линия делима, а бесконечная линия неделима, потому

что бесконечность, где максимум совпадает с минимумом, не имеет

частей. Но так как, как было показано выше, невозможно прийти к

минимуму, меньше которого не может быть ничего, то конечная

прямая не делится на нелинейности, так что основание конечной

прямой-это бесконечная прямая! Так что максимум прост-основа всего.

Подобно тому, как бесконечная линия, основа конечной линии,

неделима и потому неизменна и постоянна, так и основа всех вещей,

Бог благословенный, вечна и неизменна.

Мы находим три максимальные линии длины, ширины и

глубины, сходящиеся в центре бесконечного шара. Но центр

максимальной сферы равен диаметру и окружности, и поэтому ее центр

равен этим трем линиям; или, скорее, центр-это все эти линии, то есть

длина, ширина и глубина. Точно так же простейшим и бесконечным

максимумом будет всякая длина, ширина и глубина, которая в нем есть

единая и простейшая максимальная неделимость. Как центр, он

предшествует всей ширине, длине и глубине, а также является их

концом и серединой, поскольку в бесконечной сфере центр, ширина и

окружность тождественны. Как бесконечная сфера совершенно

реальна

и совершенно проста, так и максимум совершенно и просто

актуален, и как сфера есть реальность линии, треугольника и круга, так

максимум есть действительность всего: всякое реальное существование

получает от нее всю свою действительность, и всякое существование

существует реально ровно настолько, насколько оно остается в своем

бесконечном акте. Следовательно, максимум-это форма форм и форма

бытия, или максимальное действительное бытие.

Николай Кузанский различает два типа бесконечного:

отрицательно бесконечное и приватно бесконечное. "Только

абсолютный максимум отрицательно бесконечен, только он есть то,

чем он может быть во всей потенции. Напротив, Вселенная,

охватывающая все, что не является Богом, не может быть отрицательно

бесконечной, хотя она не имеет предела и, следовательно, приватно

бесконечна." Отрицательная бесконечность Бога есть бесконечность

действительного, то, что Николай Кузанский чаще всего называет

абсолютным максимумом. С другой стороны, приватная бесконечность

скорее соответствует тому, что мы теперь называем потенциальной

бесконечностью. Действительно, Вселенная приватно бесконечна,

поскольку, по словам Николая Кузанского, она "не имеет предела."

Такого рода потенциально бесконечное-это нечто, что всегда может

быть в действительности больше, но это просто признак конечности,

потому что действительная бесконечность не может стать больше или

меньше, добавляя к ней или вычитая из нее какую-либо величину.

Конечная величина не может стать бесконечной, постепенно

увеличиваясь. Такая конечность, которая может бесконечно

увеличиваться, но никогда не может превратиться в действительную

бесконечность, есть потенциальная бесконечность. Она может расти

без предела, потому что нет предела бесконечному всемогуществу

Бога, который создал ее.

Николай Кузанский разработал теорию бесконечного и доказал

ее математически. Он обнаружил, что свойство бесконечного числа

бесконечного увеличения превращает геометрические фигуры в

бесконечную линию. То есть в бесконечности многообразие

геометрических фигур едино. Бесконечное-это то, за пределами чего

ничего не может быть, вот почему Куза называет его "максимумом";

единое-это "минимум"." Действительная бесконечность есть сочетание

противоположностей-единого и бесконечного. Конечная линия делима,

а бесконечная линия неделима, потому что бесконечность, где

максимум совпадает с минимумом, не имеет частей.

Николай Кузанский возвращает нас к Зенону с его парадоксами

бесконечности, но с той разницей, что Зенон видел в парадоксах

инструмент разрушения ложного знания, а Кузанский-средство

создания истинного знания. Правда, само это знание имеет особый

характер - это "мудрое неведение".

БОЛЬЦАНО " ПАРАДОКСЫ БЕСКОНЕЧНОГО"

В 1851 году посмертно вышла книга чешского математика и

философа Б. Больцано "парадоксы бесконечного", в которой он сделал

первую попытку исследовать свойства действительной бесконечности.

Больцано признал существование бесконечной величины, изучил

ее и пришел к выводу :" само название показывает, что бесконечное

противостоит всему конечному. Тот факт, что мы выводим имя

бесконечного из имени конечного, указывает на то, что мы представляем

себе понятие бесконечного как производное от понятия конечного путем

добавления к нему нового компонента (такой частью является понятие

простого отрицания). Оба эти понятия относятся к многообразиям, к

количествам (то есть к многообразиям единиц), а следовательно, и к

количествам, и этого нельзя отрицать по той самой причине, что именно

в математике, то есть в науке о количествах, мы чаще всего говорим о

бесконечном, рассматривая конечные и бесконечные множества и делая

предметом нашего исследования и даже вычислений наряду с

конечными не только бесконечно большие, но даже бесконечно малые

величины. Я назову бесконечную величину величиной большей, чем

всякая конечная, то есть величиной такого рода, что всякое конечное

многообразие представляет собой лишь ее часть. Величина, которая

больше любого числа тех, которые взяты за единицу, называется

бесконечно большой. Величина настолько малая, что каждое ее кратное

меньше единицы, называется бесконечно малой. Кроме этих двух видов

бесконечного и кроме производных от них родов бесконечно больших и

бесконечно малых величин высшего порядка, которые все вытекают из

одного и того же понятия, для него не существует ничего бесконечного.

Это понятие бесконечного, столь хорошо известное математикам,

не удовлетворяет некоторых философов, особенно современных, таких

как Гегель и его последователи. Они называют его презрительно дурным

бесконечным и думают, что знают несравненно более высокое,

истинное, качественное бесконечное, которое они находят только в Боге

и вообще в абсолюте. Если они, подобно Гегелю, Эрдману и другим,

представляют себе математическую бесконечность только как величину,

которая изменяется и не имеет пределов в своем увеличении (что

принимается некоторыми математиками за определение этого понятия),

то я готов присоединиться к их отрицательному отношению к этому

понятию величины, которая только бесконечно увеличивается, но

никогда не достигает бесконечности. Действительная бесконечная

величина, например, длина всей прямой, неограниченная с обеих сторон

(т. е. протяженность, охватывающая все точки, определяемая только

отношением к двум данным точкам, выраженным в понятиях), не

должна быть переменной, чего на самом деле нет в приведенном здесь

примере.

Чего я не допускаю, так это того, что философ должен знать о

каком-либо объекте, которому он имеет право приписывать свою

бесконечность как качество, не обнаружив предварительно в этом

объекте в некотором отношении бесконечной величины или

бесконечной величины. Если я могу доказать, что даже говоря о Боге,

которого мы считаем всесовершенным, можно указать точки зрения, с

которых мы видим в нем бесконечное число, и что эти точки зрения

позволяют нам приписывать ему бесконечность, то едва ли нужно далее

доказывать, что такие соображения лежат также в основе всех других

случаев, когда понятие бесконечности правильно употребляется. Я

говорю вам, что мы называем Бога бесконечным, потому что мы должны

признать, что он обладает силами более чем одного рода, которые имеют

бесконечную величину.

Математик позволяет себе прибавлять к каждой величине, также к

бесконечно большой, другие величины, и не только конечные, но даже

бесконечные; он даже повторяет бесконечную величину бесконечное

число раз и т. д. Если некоторые все еще спорят, правомерно ли это, то

какой математик - если только он не отрицает все, что бесконечно,-

откажется признать, что длина прямой, ограниченной с одной стороны,

но простирающейся до бесконечности с другой, бесконечна и тем не

менее может быть увеличена добавлениями с первой стороны.

"Если каждое число, - можно было бы сказать, - по самому

понятию числа есть только простое конечное множество, то как может

существовать бесконечное множество всех чисел?

Когда мы рассматриваем ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

затем мы замечаем, что множество чисел, которое содержит этот

ряд, начиная с первого (одного), до некоторого другого, например, до

числа 6, всегда выражается этим последним числом. Следовательно,

множество всех чисел должно быть точно таким же большим, как и

последнее из них, и, следовательно, само должно быть числом, а не

бесконечностью. Обманчивость этого вывода исчезает, как только мы

вспоминаем, что в множестве всех чисел в натуральном ряду нет

последнего числа и что понятие последнего (высшего) числа есть, таким

образом, беспредметное понятие, потому что оно содержит

противоречие. Ибо, согласно закону образования этого ряда, данному в

его определении, каждый член ряда имеет последующий. Одно это

замечание разрешает этот парадокс.

Мы говорим о бесконечно больших и бесконечно малых

величинах, если под бесконечно большой величиной мы подразумеваем

только такую величину, которая, когда единица основана на ней,

является целым, по отношению к которой каждое конечное множество

этих единиц является только частью; а под бесконечно малой величиной

мы подразумеваем такую величину, по отношению к которой сама

единица является целым, из которого каждое конечное множество

множества всех чисел является бесспорным примером бесконечно

большой величины. Я говорю величины, а не бесконечно большое

число, потому что, как мы отмечали в предыдущем разделе, это

бесконечно большое множество ни в коем случае не является числом.

Но если мы возьмем бесконечно большую величину по сравнению с

другой величиной, взятой в качестве единицы, и используем ее для

измерения величины, которую мы раньше принимали за единицу, то эта

последняя величина покажется нам бесконечно малой.

И что мы не должны считать все бесконечные многообразия

равными друг другу в отношении их множественности? Напротив, одни

из них больше, другие меньше, то есть одна бесконечная разновидность

может содержать в себе другую как часть (или, наоборот, сама может

быть частью другой). Для кого, например, не будет ясно, что длина

прямой, простирающейся бесконечно в направлении aR, бесконечна, но

что прямая bR, простирающаяся из точки b в том же направлении,

больше aR на отрезке ba? и, наконец, что прямая линия, простирающаяся

бесконечно в обоих направлениях aR и aS, должна быть названа большей

на величину, которая сама бесконечна, и т. д.

Две бесконечные разновидности могут находиться в таком

отношении друг к другу, что, с одной стороны, можно соединить

каждую вещь одной разновидности с некоторой вещью другой в паре

таким образом, что в обеих разновидностях не останется ни одной вещи,

не связанной в паре, и ни одна вещь не будет включена в две или более

пар. С другой стороны, возможно, что одна из этих разновидностей

содержит другую просто как часть, так что множества, которые они

представляют, если мы рассматриваем составляющие их вещи как

равные, то есть как единицы, имеют большое разнообразие отношений

друг с другом.

Теперь я перехожу к утверждению, что бесконечное существует не

только среди вещей, не имеющих реальности, но и в самой сфере

реального. Бесконечное бытие существует не только в одном

отношении, в своем знании, в своей воле, в своем внешнем влиянии, то

есть в своей силе. Это существо, которое знает бесконечно много

(совокупность всех истин), желает бесконечно много (сумма всех

возможных благ в себе) и осуществляет все, что хочет, силой внешнего

воздействия в действительности. Из этого последнего свойства Бога

вытекает еще одно следствие, что кроме него существуют тварные

существа, которых мы будем называть, в противоположность ему,

конечными существами, в которых, однако, мы можем видеть нечто

бесконечное. В самом деле, само разнообразие этих существ должно

быть бесконечным; точно так же и разнообразие состояний,

переживаемых каждым из этих существ индивидуально, даже в

кратчайшее возможное время, должно быть бесконечным (потому что

каждый интервал времени содержит бесконечное число мгновений) и т.

д.

Сама концепция исчисления бесконечности, Я признаю, кажется,

содержит противоречие. Действительно, вычислять-значит пытаться

определить с помощью чисел. Но как можно попытаться определить

бесконечное посредством чисел, то бесконечное, которое, согласно

нашему собственному определению, должно быть чем-то, состоящим из

бесконечно многих частей, то есть таким разнообразием, которое

больше любого числа и которое, следовательно, не может быть

определено никаким числом? Однако это сомнение исчезнет, как только

мы поймем, что правильное исчисление бесконечного не направлено на

вычисление того, что неопределимо в бесконечности каким-либо

числом (а именно, не вычисление бесконечного множества в себе): цель

этого исчисления-определить отношение между одним бесконечным и

другим, которое осуществимо. Тот, кто признает существование

бесконечных множеств и, следовательно, бесконечных величин вообще,

не будет оспаривать существование бесконечных величин, которые

очень различны по размеру. Эти несколько примеров уже достаточно

показали, что существует исчисление бесконечно большого, так же как

существует исчисление бесконечно малого.

Поэтому, если мы не хотим ошибиться в наших вычислениях

бесконечного, мы никогда не должны позволять себе предполагать, что

две бесконечно большие величины, полученные из сложения членов

двух бесконечных рядов, равны или что одна больше или меньше другой

только на том основании, что каждый член одного ряда соответственно

равен, больше или меньше, чем мы имеем столь же мало права считать

одну сумму большей только потому, что она содержит все члены другой

суммы и, кроме того, есть много, даже бесконечно много других

(положительных) членов, которые не присутствуют в другой сумме.

Несмотря на все это, первая сумма может быть меньше, даже бесконечно

во много раз меньше, чем вторая. В качестве примера приведем очень

хорошо известную сумму квадратов всех натуральных чисел.

Всякое бесконечное многообразие, а не только многообразие

точек, образующих прямую, может быть разложено на части, которые

сами заключают в себе бесконечные многообразия, даже на

бесконечное число таких частей. Действительно, если ∞∞ означает

означает бесконечное разнообразие, то ∞/2, ∞/4, ∞/8. также будут

бесконечные многообразия. Это лежит в понятии бесконечного.

При рассмотрении поверхностей, которые могут быть

произвольно уменьшены путем уменьшения их ширины при

постоянной длине, а также в случае тел, которые при одинаковой длине

и ширине могут быть произвольно уменьшены путем уменьшения их

высоты, наблюдается конечное значение их площадей.

Хочу обратить ваше внимание на тот факт, что множество точек,

в котором содержится, по крайней мере, на короткое видео аздолжны

рассматриваться в качестве набора, который, в бесконечно большое

число раз больше бесконечных множеств, полученных от первой

следующим образом: начиная с одного конца, с точками a, возьмите

небольшое расстояние до второй точки Б, за ней, на небольшом

расстоянии, третью точку С, и так далее без конца, уменьшение этих

расстояний в соответствии с настоящим Законом, их бесконечное

разнообразие в сумме, равной или меньше, чем расстояние Аризона.

Прямой, простирающейся бесконечно в обоих направлениях, мы

должны приписать бесконечную длину и множество точек, которые

будут бесконечно во много раз больше множества точек прямой, взятого

за единицу и равного Е..

Мы должны также признать, что все такие линии имеют

одинаковую длину и одинаковый набор точек, поскольку определяющие

их части, которые могут быть использованы для определения для двух

таких линий двух точек, через которые они проходят (если мы возьмем

одинаковое расстояние между этими точками), будут не только похожи

друг на друга, но и (геометрически) равны.

Прямая линия, простирающаяся бесконечно в обоих

направлениях, вообще не имеет середины, то есть у нее нет точки,

которую можно определить только ее отношением к этой линии,

выраженным в понятиях. Плоские поверхности, которую подкладывают

между ними две параллельные линии, неограниченная с обеих сторон (т.

е. множество всех тех точек, которые содержат перпендикулярные

линии от одной точки к одной из этих параллельных линии на другую),

мы должны приписывать бесконечно большие и набор точек, которая в

бесконечное количество раз больше, чем набор точек в квадрате

значение Е

и принимается на единицу пространства. Всем таким

полосам, ограниченным параллельными линиями, если они имеют

одинаковую ширину (длину перпендикуляра), мы должны присвоить

равное значение и равный набор точек.

Пространство, которое заключают между собой две параллельные

бесконечные плоскости (т. е. множество всех тех точек, которые все

перпендикулярные линии от каждой точки одной плоскости на другую),

это (если это так можно назвать) безграничные телесных слоя, мы

должны рассмотреть, во всяком случае, бесконечно большим,

независимо от его ширины (т. е. длина перпендикуляра)" [2, C с.15-149].

Таким образом, философ и математик Больцано впервые развил

теорию бесконечных величин, дал определение бесконечной величине,

указал на возможность ее исчисления, применил бесконечную величину

к геометрии, развил ее свойства и привел доказательства своих взглядов.

Бользано назвал бесконечную величину бесконечным множеством,

потому что он не мог представить ее как число, потому что, по его

мнению, само число конечно. Бользано различал действительную и

потенциальную бесконечность. Под действительной бесконечностью он

понимал "величину, большую, чем всякая конечная, то есть такую

величину, что всякое конечное многообразие представляет только часть

ее". Потенциальная бесконечность определяется из следующего

высказывания Больцано: "я присоединяюсь к тем, кто отрицательно

относится к этому понятию величины, которая только бесконечно

возрастает, но никогда не достигает бесконечности." Он пытался

ответить на многие вопросы, связанные с таинственным бесконечным.

В его книге были предвосхищены многие концепции теории

бесконечных множеств, но они еще не получили той точности и ясности,

которые были даны им два десятилетия спустя в работах Г. Кантора.

ГЕОРГ КАНТОР О БЕСКОНЕЧНОМ МНОЖЕСТВЕ ЧИСЕЛ

Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор,

сказал: "бесконечное множество-это множество вещей, которые мы

мыслим как одно."

Георг Кантор обнаружил, что свойства конечных и бесконечных

множеств полностью отличаются друг от друга: многие операции,

невозможные для конечных множеств, легко выполняются для

бесконечных. "Попробуйте, например, разместить больше арендаторов

в отеле, где каждый номер занимает один гость, чтобы в каждом номере

снова жил только один человек. Это не работает? Так это только потому,

что количество гостиничных номеров ограничено! Что, если у него

бесконечно много чисел?. Но такие отели можно найти только в

рассказах межзвездного странника Йоц Тичи.

Первый вопрос, который мы сейчас обсудим, - это вопрос

сравнения бесконечных множеств друг с другом. Для конечных

множеств задача сравнения решается просто. Чтобы узнать, одинаково

ли число элементов в двух наборах, просто сосчитайте их. Если вы

получаете одинаковые числа, это означает, что в обоих наборах есть

равные элементы. Но для бесконечных множеств этот метод не

подходит, потому что если мы начнем считать элементы бесконечного

множества, то рискуем посвятить этой задаче всю свою жизнь и все

равно не закончить начатое предприятие.

Но даже для конечных множеств метод пересчета не всегда

удобен. Представьте, что мы на танцполе. Откуда мне знать, есть ли

здесь равное количество мальчиков и девочек? Для этого мы попросим

оркестр сыграть танец, который все умеют танцевать. Тогда мальчики

пригласят девочек на танец, и наша задача будет решена. Ведь если

окажется, что все мальчики и все девочки танцуют, то есть если всех

молодых людей разделить на танцевальные пары, то понятно, что на

площадке ровно столько же мальчиков и девочек.

Мы научились определять, что два конечных множества имеют

одинаковое число элементов, не прибегая к пересчету этих множеств.

Этот метод также может быть использован для бесконечных множеств.

Только здесь вы уже не сможете прибегнуть к помощи "оркестра", а вам

придется самому расставлять элементы двух сравниваемых наборов в

"танцующих парах".

Итак, пусть у нас есть два множества A и B, Говорят, Что между

ними установлено Говорят, что между ними устанавливается взаимно

однозначное соответствие, если элементы этих множеств объединены

попарно (a,b) так, что:

) элемент а принадлежит множеству а, а элемент в -множеству в;

2) каждый элемент обоих множеств входит в одну и только одну

пару.

Например, если множествоа состоит из юношей на танцполе, а

множествоБ -из девушек на одной площадке, то пары {а, б)

формируются из юношей и девушек, танцующих друг с другом.

Читатель легко может придумать различные примеры таких

соответствий между множествами равных чисел" [5, pС. 48-53]. Самым

важным поворотным моментом в теории множеств было то, что Кантор

решил применить идею взаимно однозначного соответствия для

сравнения бесконечных множеств. Другими словами, согласно Кантору,

два бесконечных множестваA иB имеют равное число элементов, если

между элементами этих множеств может быть установлено взаимно

однозначное соответствие.

- Давайте зададимся новым вопросом: часть равна целому?

Основной догмой, от которой пришлось отказаться, было положение,

установленное еще на заре математики: часть меньше целого. Это

утверждение, конечно, верно для конечных множеств, но оно больше не

справедливо для бесконечных множеств. Вспомните, как директор

необычной гостиницы расселил космозоологов по четным номерам. Во

время этого поселения арендатор из №п переехал в № 2П, и мы

согласились предположить, что бесконечные множества, между

которыми может быть установлено взаимно однозначное соответствие,

содержат одинаково много элементов. Это означает, что бесконечное

множество натуральных чисел содержит столько же элементов, сколько

и его часть-бесконечное множество четных чисел.

В общем случае между множеством всех натуральных чисел и

любой его бесконечной частью всегда может быть установлено взаимно

однозначное соответствие. Для этого просто перенумеруйте номера из

этой части по порядку.

Мы уже выяснили, что означают слова "два бесконечных

множества имеют равные элементы". Теперь давайте выясним, что

означает "один бесконечный набор имеет больше элементов, чем

второй". Для конечных множеств это также можно выяснить, не

прибегая к подсчету. В этих случаях мы делали следующее:

устанавливали взаимно однозначное соответствие между одним

набором и частью другого набора. Если это было успешно, то из этого

следовало, что второй набор содержал больше элементов, чем первый.

Используя этот метод, легко установить, например, что в океане меньше

рыб, чем атомов на земном шаре (хотя оба эти множества конечны, их

трудно сосчитать). Для этого каждой рыбе достаточно сопоставить один

атом, являющийся частью ее тела. Таким образом, будет установлено

взаимно однозначное соответствие между множеством всех рыб и

частью множества всех атомов на земном шаре.

К сожалению, для бесконечных множеств это не так просто

сделать. В конце концов, мы уже видели, что бесконечное множество

может иметь столько же элементов, сколько и его часть. Таким образом,

только из того факта, что бесконечное множествотак как a имеет

столько же элементов, сколько часть бесконечного множества B, мы не

можем заключить, что оно имеет меньше элементов, чем все множество

Мы говорим, что если a можно поставить в взаимно однозначное

соответствие с частью бесконечного множества B, то бесконечное

множествоB имеет по крайней мере столько же элементов, сколько

бесконечное множество A.можно доказать, что это отношение обладает

всеми свойствами неравенств:

) каждое бесконечное множество имеет по крайней мере столько

же элементов, сколько и само;

) если одно бесконечное множество имеет по меньшей мере

столько же элементов, сколько второе, а второе имеет по меньшей мере

столько же элементов, сколько третье, то первое бесконечное множество

имеет по меньшей мере столько же элементов, сколько третье;

) если каждое из двух бесконечных множеств имеет по крайней

мере столько же элементов, сколько и другое, то оба имеют равное

количество элементов.

Первое свойство следует из того, что, поставив в соответствие

каждому элементу бесконечного множестваи самому этому элементу,

мы получаем взаимно однозначное отображениеи на себя. Смысл

второго собственность тоже прозрачно: еслили могут быть

сопоставлены одно-к-одному с частью бесконечного множества B, А B в

часть бесконечного множества С, то есть один-к-одному сопоставленияв

части С. А третье свойство, при всей простоте своей формулировке,

значит, довольно сложное суждение: если бесконечное множество

может быть отображен один-к-одномулишь часть бесконечного

множества В, и бесконечное множество, Если B является частью

бесконечного множества в, то есть один-к-одному сопоставления всего

бесконечного множестваВ до Б.

Давайте теперь выясним, в каких случаях говорят, что мощность

бесконечного множестваа меньше мощности бесконечного множества

В. Может случиться так, что бесконечное множествоВ имеет по меньшей

мере столько же элементов, сколько бесконечное множество А, но эти

бесконечные множества не эквивалентны. Другими словами, может

случиться так, что существует взаимно однозначное соответствие между

бесконечным множествомА и частью бесконечного множества В, но нет

однозначного соответствия междуА и всем бесконечным множеством В.

В этом случае мы будем говорить, чтоА имеет меньше элементов, чем В.

Мы уже говорили, что любая бесконечная часть множества

натуральных чисел счетна. Это означает, что не может быть

бесконечного множества, мощность которого меньше мощности

Счетного множества. Докажем теперь, что в каждом бесконечном

множестве существует счетное подмножество. Отсюда следует, что

мощность Счетного множества не больше мощности любого

бесконечного множества, т.

Чтобы выбрать счетное подмножество из бесконечного множества

А, мы делаем следующее. Выберем один элемент х

- Это можно сделать,

так как множествоа бесконечно и, во всяком случае, не пусто. Ясно, что

после удаления элемента X

множествоA не исчерпывается , и мы

сможем выбрать из него второй элемент

. Затем выберите третий

элемент x

и так далее. В результате мы извлекаем из множестваAnd

счетное и подмножество нумерованных элементов. Слегка улучшив это

доказательство, можно добиться того, что после удаления Счетного

подмножества остается бесконечное множество. Для этого после

извлечения подмножества X верните обратно все элементы с четными

числами. В результате мы извлекли счетное подмножество, а оставшееся

множество все еще содержит бесконечное множество элементов и,

возможно, множество других элементов.

Нетрудно доказать следующие теоремы:

Мощность бесконечного множества не изменяется при

добавлении к нему Счетного множества.

Мощность неисчислимого множества не изменяется после

удаления из него Счетного множества.

Эти теоремы еще раз подтверждают, что счетные множества

являются наименьшими из бесконечных множеств.

Все построенные до сих пор множества оказались счетными.

Отсюда возникает вопрос: не все ли бесконечные множества вообще

счетны? Если бы это оказалось так, то жизнь математиков была бы

легкой: все бесконечные множества имели бы равное число элементов,

и никакого анализа бесконечности не требовалось бы. Но оказалось, что

дело обстоит гораздо сложнее: бесчисленные множества существуют и,

кроме того, могут иметь очень разную мощность. Одно неисчислимое

множество хорошо известно каждому - это множество всех точек на

прямой. Но прежде чем говорить об этом множестве, поговорим о

другом множестве, тесно связанном с нимL вариантов наполнения

необыкновенной гостиницы" [5, pС. 53-63].

Заметим, что доказать, что множество вообще неисчислимо, не

так-то просто. В конце концов, доказать, что множество счетно, значит

просто придумать правило, по которому его элементы нумеруются. А

доказать, что множество неисчислимо, значит доказать, что такого

правила нет и быть не может. Другими словами, независимо от того,

какое правило мы придумаем, в наборе всегда будет ненумерованный

элемент." Чтобы доказать несчетность множеств, Кантор придумал

очень оригинальный метод, называемый диагональным процессом.

Метод доказательства Кантора становится ясен из рассказа ионы Тихона

"несостоявшаяся перепись".

"Пока читатель не знаком с удивительными свойствами

бесконечных множеств, ответ на вопрос:" Где больше точек, на отрезке

длиной 1 мм или на отрезке длиной 1 м?" - Не думаю, что я вызвал бы у

него хоть малейшие сомнения." Понятно, что точек на отрезке 1 м

гораздо больше, потому что он в 1000 раз длиннее. Но теперь, возможно,

читатель будет осторожен, чтобы не делать таких категоричных

утверждений - свойства бесконечных множеств слишком отличаются от

того, чему учит обычная жизнь. И действительно, на очень коротком и

очень длинном отрезке точек поровну! Другими словами, всегда можно

установить взаимно однозначное соответствие между точками этих

отрезков.

Трудно поверить, что дорога длиной в миллион световых лет

имеет столько же точек, сколько радиус атомного ядра! Но еще более

неожиданным было то, что даже на всей бесконечной прямой точек не

больше, чем на отрезке, то есть что между множеством точек на прямой

и множеством точек на отрезке может быть установлено взаимно

однозначное соответствие." [5, С.65-66].

С тем, что точек на бесконечной прямой столько же, сколько и на

отрезке, математики неохотно смирились. Но следующий результат

Кантора оказался еще более неожиданным. В поисках набора, который

имеет больше элементов, чем отрезок линии, он обратился к набору

точек квадрата. В результате не было никаких сомнений: ведь весь

сегмент помещается на одну сторону квадрата, а множество всех

сегментов, на которые сам квадрат может быть разложен, имеет ту же

мощность, что и множество точек сегмента.

Георг Кантор пришел к выводу, что бесконечное множество точек

на квадрате имеет не больше мощности, чем бесконечное множество

точек на отрезке прямой. Но сила его не меньше, и потому эти силы

совпадают. Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколько

отрезок линии. В общем случае любая геометрическая фигура,

содержащая хотя бы одну линию, имеет столько же точек, сколько и

отрезок линии. Такие бесконечные множества называются

множествами мощности континуума (от латинского continuum -

непрерывный).

"До сих пор самая большая сила, которую мы знаем, - это сила

бесконечного множества точек на прямой линии, то есть сила

континуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек Куба не

имеют большей мощности. Разве мощность континуума не самая

большая? Оказывается, что это не так. Более того, нет набора самой

большой емкости вообще. Для любого бесконечного множестваA-это

бесконечное множество, сила которого больше силы A. это множество,

например, бесконечное множествово всех функциях, определенных на

бесконечном множествеA и принимающих значения 0 и 1.

Итак, для любого набораAnd можно и построить наборв большей

емкости. Таким образом, бесконечное множество наибольшей

мощности не существует. Начиная с наименьшей из бесконечных сил -

силы бесконечного множества натуральных чисел, мы сначала получим

силу континуума, затем силу бесконечного множества всех функций,

определенных на множестве действительных чисел, и будем бесконечно

подниматься по этой головокружительной лестнице все возрастающих

бесконечных сил" [5, pС. 71-72].

Кантор, как и Больцано, настойчиво объяснял разницу между

действительной и потенциальной бесконечностями. Согласно

определению Кантора, потенциально бесконечная "означает

переменную конечную величину, которая растет за пределами любых

конечных границ". Кантор называет математическую потенциально

бесконечную "неисключенно бесконечной". Она появляется в

математике в форме дифференциалов первого или высшего порядка, или

в форме сумм бесконечных рядов, или в форме других предельных

процессов. Как объяснил Кантор, "потенциально бесконечное" - это

простое вспомогательное понятие нашего мышления. Это "понятие

отношения, которое, согласно его определению, содержит идею

изменчивости и которое, следовательно, никогда не может быть

выражено в собственном смысле этого слова. Оно "не означает никакой

идеи само по себе." Кантор сразу же указывает, что даже в этом смысле

- как понятие отношения - потенциально бесконечное " благодаря

дифференциальному и интегральному исчислению, открытому

Лейбницем и Ньютоном, обнаружило свое огромное значение как

средства познания." (5, с. 84).

Кантор признал полную плодотворность для науки этой давней

концепции потенциальной бесконечности. Он возражал против

презрительного обозначения потенциальной (неправильной)

бесконечности как "плохой бесконечности" и находил, что бесконечно

малые величины, до сих пор употреблявшиеся в математике только как

"неправильно-бесконечные", были очень полезны, так как они

"доступны всем тем различиям, модификациям и отношениям, которые

используются в исчислении бесконечно малых величин и в теории

функций и с помощью которых они собирают богатый урожай

аналитических истин" (5, с. 80). Но как бы ни было велико значение

"потенциальной бесконечности" для науки, эта бесконечность

оставалась по существу лишь некоторой переменной - то возрастающей

за все пределы, то уменьшающейся до произвольной малости, всегда

конечной величины.

Отсюда был сделан вывод, что в этом и подобных случаях вполне

правомерно " думать. бесконечное, как находящееся в некоторой четко

определенной точке." Такое бесконечное, которое предстает в

противоположность потенциально бесконечному в таком четко

определенном виде, Кантор стал называть "на самом деле

бесконечным"или" на самом деле бесконечным".

Под фактически бесконечным, в противоположность

потенциально бесконечному, Кантор понимает "некоторую постоянную,

замкнутую в себе, но лежащую по ту сторону всех конечных величин,

величину." (5, с. 85). Кантор называет На самом деле бесконечным

"величину, которая, с одной стороны, не является переменной, но

определенно и неизменно во всех своих частях и представляет собой

истинную постоянную величину, а с другой, в то же время превосходит

по своей величине любую конечную величину того же рода." Примером

действительной бесконечности является совокупность всех точек,

лежащих на данной окружности. Это множество есть, по выражению

Кантора, "некоторая вещь для себя и образует-помимо естественного

ряда связанных с ней чисел-некоторую величину, неизменную во всех

своих частях и определенную, которую, очевидно, следует назвать

большей, чем всякую конечную величину."

В свою очередь, в сфере фактически бесконечного Кантор

различал две его формы. Это "трансфинитное" на самом деле

бесконечное и абсолютное. По Кантору, эти формы на самом деле

бесконечного резко отличаются друг от друга. Трансфинитное следует

мыслить как " бесконечное, но в то же время доступное еще большему

числу." Напротив, абсолют "следует считать недоступным для

увеличения и потому математически неопределенным" (16, 86).

Согласно Кантору, предметом математики является только

трансфинитное бесконечное. Мы можем думать об идеальном пределе

конечного не как об абсолютном, а только как о трансфинитном, "и по

крайней мере как о трансфинитном (соответствующем наименьшему

сверхконечному числу)" (16, 87). Это число Кантор обозначил греческой

буквой "омега".

Кантор сделал наблюдение, что бесконечные вещественные целые

числа не принадлежат "потенциальной бесконечности", "не-сущностно

бесконечному". Было установлено, что они имеют тот же характер

определенности, что и при рассмотрении бесконечно удаленной точки

(в теории аналитических функций), и что, следовательно, они также

принадлежат к типам "собственно бесконечности" или "действительной

бесконечности". Но в то время как бесконечно удаленная точка

комплексной числовой плоскости противопоставляется только всем

точкам, находящимся на конечных расстояниях, при рассмотрении

бесконечных целых чисел мы получаем "не одно-единственное

бесконечное целое, а бесконечный ряд сходных чисел, резко

отличающихся друг от друга и находящихся в регулярных числовых

отношениях друг к другу и к конечным целым."

Новое понятие действительной бесконечности было введено в

математику Георгом кантором. Бесконечность Кантора - это

фактическая бесконечность, которая не является исчисляемым

неисчислимым множеством. Первоначальная идея Кантора состоит в

том, чтобы определить набор по содержанию. Набор может быть

определен путем перечисления всех его элементов. Бесконечное

множество не может быть определено таким образом. Однако набор

можно определить по-разному, указав некоторые функции, которые

должны иметь все элементы набора. Точно так же в терминах

содержания можно определить бесконечное множество.

Георг Кантор разделил потенциальную и действительную

бесконечности. Кантор действительно называет бесконечной величину,

которая, с одной стороны, не изменчива, но определенно и неизменно во

всех своих частях и представляет собой истинную постоянную

величину, а с другой стороны, в то же время превосходит по своей

величине любую конечную величину того же рода." Согласно

определению Кантора, потенциально бесконечное "означает

переменную конечную величину, которая выходит за любые конечные

границы". Кантор называет математическое потенциально бесконечное

"неискоренимо бесконечным".

Кантор также вводит арифметику бесконечности. Он определил

операции сложения и умножения для бесконечных степеней. Для

бесконечных степеней он также установил операцию экспоненции с

бесконечным показателем. Не все законы обычной арифметики

переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил,

что законы арифметики бесконечности радикально отличаются от

зависимостей, преобладающих в области конечного, а свойства

конечных и бесконечных множеств различны. Георг Кантор был

ответственен за появление трансфинитных чисел, он ввел понятие

мощности бесконечного множества, разделил счетные и несчетные

бесконечные множества и ввел взаимно-однозначное соответствие для

бесконечных множеств, что позволило нам оперировать этими

понятиями. Георг Кантор-величайший математик, проливший свет на

тайны бесконечного, он сделал наибольшее число открытий в этой

области, и поэтому его роль велика как в математике, так и в философии.

ВЫВОД

Концепция бесконечной величины, с одной стороны, таинственна

и загадочна, а с другой-манит и притягивает своей неизученностью.

Философы долго думали о существовании бесконечности,

рассматривали ее с разных сторон, но мало кто изучал бесконечную

величину и ее свойства.

Левкипп и Демокрит, основатели атомизма, были одними из

первых, кто использовал бесконечное количество в своих работах. Они

ввели неделимую частицу материи-атом и считали, что число атомов

бесконечно. Атомы бесконечно разнообразны по форме и, двигаясь в

бесконечном пространстве, сталкивались друг с другом и, соединяясь,

образовывали сложные тела. Но Левкипп и Демокрит использовали

бесконечное количество для построения своей философской картины

мира и не исследовали ее свойств.

Зенон уже использовал свойство бесконечной величины для

бесконечного увеличения, то есть он применил свойство потенциальной

бесконечности, доказывая свои знаменитые положения о движении,

времени, скорости, пространстве и точке.

Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически:

бесконечное как таковое нельзя ни признать, ни отрицать, но из этого не

следует, как сказал бы Гераклит, что оно существует и не существует.

Это означает, что нет бесконечности как таковой, что бесконечность

бесконечности различна и что то, что истинно для одной бесконечности,

абсурдно для другой. Именно здесь Аристотель вводит действительную

и потенциальную бесконечность. Он сравнивал действительное

бесконечное с действительным бесконечным телом и не узнавал его. Но

он распознал потенциал. Потенциально бесконечное все время остается

конечным и все время меняется, и этот процесс изменения может

продолжаться в течение любого промежутка времени. "Вообще говоря,

бесконечное существует таким образом, что всегда берется что-то

другое и что-то другое, а то, что берется, всегда конечное, но всегда

разное и разное." Разделение действительной и потенциальной

бесконечности является главным достижением Аристотеля в этой

области.

Николай Кузанский использовал бесконечное количество для

построения своей философской картины мира, раскрывал новые

свойства бесконечного количества и сравнивал действительную и

потенциальную бесконечность. Он верил, что единое есть все, ничто не

противоположно единому, и поэтому единое тождественно

бесконечному. Единое-это минимум, а бесконечное-максимум, поэтому

противоположности совпадают. Николай Кузанский различает два типа

бесконечного: отрицательно бесконечное и приватно бесконечное.

"Только абсолютный максимум отрицательно бесконечен, только он

есть то, чем он может быть во всей потенции." Отрицательная

бесконечность Бога есть бесконечность действительного, то, что

Николай Кузанский чаще всего называет абсолютным максимумом. С

другой стороны, приватная бесконечность скорее соответствует тому,

что мы теперь называем потенциальной бесконечностью. Эта

конечность, которая может бесконечно возрастать, но никогда не

превратится в действительную бесконечность, есть потенциальная

бесконечность. Бесконечное-это то, за пределами чего ничего не может

быть, вот почему Куза называет его "максимумом"; единое-это

"минимум"." Н. Кузанский показал, что свойство бесконечного числа

бесконечно увеличиваться превращает геометрические фигуры в

бесконечную линию. То есть в бесконечности многообразие

геометрических фигур едино. Кроме того, конечная линия делима, а

бесконечная линия неделима, потому что бесконечность, где максимум

совпадает с минимумом, не имеет частей.

В 1851 году посмертно вышла книга чешского математика и

философа Б. Больцано "парадоксы бесконечного", в которой он сделал

первую попытку исследовать свойства действительной бесконечности.

Он первым разработал теорию бесконечных величин, дал определение

бесконечной величине, развил ее свойства, указал на возможность

исчисления ее, применил бесконечную величину к геометрии и доказал

свои взгляды. Больцано называл бесконечную величину бесконечным

множеством, потому что он не мог представить ее в виде числа, потому

что, по его мнению, само число конечно. Больцано различал

действительную и потенциальную бесконечность. Под действительной

бесконечностью он понимал "величину, большую, чем всякая конечная,

то есть такую величину, что всякое конечное многообразие представляет

только часть ее". Потенциальная бесконечность определяется из

следующего утверждения Больцано: "я присоединяюсь к тем, кто

отрицательно относится к этому понятию величины, которая только

бесконечно увеличивается, но никогда не достигает бесконечности." Он

пытался ответить на многие вопросы, связанные с таинственным

бесконечным. В его книге были предвосхищены многие концепции

теории бесконечных множеств, но они еще не получили той точности и

ясности, которые были даны им двумя десятилетиями позже в работах

Г.

Больцано был гением, пролившим свет на неизвестную

бесконечную величину, на ее свойства, но он не был принят

современниками и его труды не воспринимались всерьез, не изучались

и не использовались.

Оригинальная идея Кантора-определить набор по содержанию.

Набор может быть определен путем перечисления всех его элементов.

Бесконечное множество не может быть определено таким образом.

Однако набор можно определить по-разному, указав некоторые

функции, которые должны иметь все элементы набора. Точно так же с

точки зрения содержания можно определить бесконечное множество.

Георг Кантор разделил потенциальную и действительную

бесконечности. Кантор действительно называет бесконечной величину,

которая, с одной стороны, не изменчива, но определенно и неизменно во

всех своих частях и представляет собой истинную постоянную

величину, а с другой стороны, в то же время превосходит по своей

величине любую конечную величину того же рода." Согласно

определению Кантора, потенциально бесконечное "означает

переменную конечную величину, которая выходит за любые конечные

границы". Кантор называет математическое потенциально бесконечное

"неискоренимо бесконечным".

Кантор также вводит арифметику бесконечности. Он определил

операции сложения и умножения для бесконечных степеней. Для

бесконечных степеней он также установил операцию экспоненции с

бесконечным показателем. Не все законы обычной арифметики

переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил,

что законы арифметики бесконечности радикально отличаются от

зависимостей, преобладающих в области конечного, а свойства

конечных и бесконечных множеств различны. Георг Кантор был

ответственен за появление трансфинитных чисел, он ввел понятие

мощности бесконечного множества, разделил счетные и несчетные

бесконечные множества и ввел взаимно-однозначное соответствие для

бесконечных множеств, что позволило нам оперировать этими

понятиями. Георг Кантор-величайший математик, проливший свет на

тайны бесконечного, он сделал наибольшее число открытий в этой

области, и поэтому его роль велика как в математике, так и в философии.

Потенциальная бесконечность абстрагируется от фактической

неосуществимости неограниченного построения математических

объектов, таких как натуральные числа, и постулирует, что их ряды

могут продолжаться бесконечно. Неявно это понятие В. уже

использовалось в античности. тем не менее, он приобрел особое

значение в период кризиса бесконечно малого анализа и был явно

включен в теорию пределов, где бесконечно малое рассматривалось как

потенциальное значение, стремящееся к нулю в качестве своего предела.

Однако в последней четверти 19 века было установлено, что теория

пределов и последующая арифметизация анализа основаны на

концепции действительной бесконечности, которая была заложена г.

кантором в основу его теории множеств. Поэтому место становления,

потенциальной бесконечности в математике занимает завершенная,

действительная бесконечность. Однако это уподобление бесконечного

множества конечному впоследствии привело к парадоксам и вызвало

новый кризис в основах математики. Интуитивисты и конструктивисты

видят выход из нее в возвращении к идее потенциальной бесконечности,

но большинство математиков пытаются сохранить канторову теорию

множеств, исключающую формирование слишком обширных множеств

специальными постулатами аксиоматической системы. Трудности,

возникающие при рассмотрении математической бесконечности, по-

видимому, связаны с противопоставлением бесконечного и конечного,

которые выражают в идеализированной форме различные, но

взаимосвязанные аспекты реальной бесконечности. Потенциальная

бесконечность в абстрактной форме отражает становление и

возникновение, действительная бесконечность-ее результат, бытие.

Это тот извилистый путь, который проделала человеческая мысль,

пытаясь овладеть самой противоречивой концепцией бесконечности,

"укротить" ее и использовать для понимания реальности.

РЕКОМЕНДАЦИИ

1. Асмус В. А. античная философия. Москва: 1996, С. 35-38, 47-48.

Больцано Б. парадоксы бесконечного. Перевод Бурцева Б. И. Одесса,

2003, с. 15-149.

3. столпотворение Черного огня <http://warrax.net>. Библиотека

<http://warrax.net/Satan/library.htm>http://khazarzar. skeptik.net/

<http://khazarzar.skeptik.net/><http://khazarzar.skeptik.netапория Зенона.

от.8-29.

4. введение в философию. Учебник для вузов Под ред. И. Т. Фролова. -

м.: Республика, 2004. - с. 24, 35-36, 89.

Виленкин Н. Я. в поисках бесконечности. Академия Наук СССР, М.:

Наука, 1983, с. 48-75.

Гаранов П. С. 500 шагов к мудрости. Книга 1. М.: 1996, С. 35-40.

Кузанский Н.О научном невежестве. Очерки в 2-х томах, М.: 1980, с.

40-106.

Маковецкий А. О. древнегреческий атомизм. Баку, 1946.

Молодой В. Н. Очерки по философским вопросам математики. - М.:

Просвещение, 1989. - с. 57-64.

Тажуризина З. А. философия Николая Кузанского. - М.: Изд-во МГУ,

1993. - с. 25-29, 34-37, 48-50.