МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина»
Физико-математический факультет
Кафедра математики и методики преподавания математических дисциплин
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Методика преподавания математики»
Планиметрические задачи школьного курса
математики в условиях реализации ФГОС
Выполнила:
студентка 5 курса, группа 3503
направления подготовки
44.03.05 «Педагогическое
образование»
направленность (профиль)
«Математика и физика»
Гриднева Анастасия
Викторовна
Научный руководитель:
канд. физ.-мат. наук, доцент
Бельман Светлана Александровна
Дата защиты:____________________
Оценка: _____ (____________ ) _________________ (_______________)
Подпись научного руководителя (расшифровка подписи)
Рязань, 2020
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ
ПЛАНИМЕТРИИ В ШКОЛЕ ............................... Error! Bookmark not defined.
1.1 Исторический аспект развития методики преподавания планиметрии в
школе ..................................................................................................................... 5
1.2. Виды и методика решения планиметрических задач с учетом
реализации ФГОС .............................................................................................. 13
ГЛАВА II. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ В УСЛОВИЯХ
РЕАЛИЗАЦИИ ФГОС .......................................................................................... 17
2.1. Начальные планиметрические задачи 7-9 классов .................................. 17
2.2. Методика подготовки учащихся к решению планиметрических задач
ЕГЭ ...................................................................................................................... 25
ГЛАВА III. ВЛИЯНИЕ СОВРЕМЕННЫХ СРЕДСТВ ИКТ НА КАЧЕСТВО
ЗНАНИЙ ШКОЛЬНИКОВ ................................................................................... 41
3.1. Особенности визуализации планиметрического материала................... 41
3.2. Проведение педагогического эксперимента ............................................ 46
3.3. Анализ результатов педагогического эксперимента ............................... 59
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................. 66
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................. 68
ПРИЛОЖЕНИЕ А .............................................................................................. 71
ВВЕДЕНИЕ
Математические знания, представления о роли математики в
современном мире стали необходимыми компонентами общей культуры.
Факультативные занятия углубляют знания школьников по основному курсу,
дают учащимся возможность приобрести навыки для решения более
сложных и разнообразных задач.
Предметом рассмотрения является довольно сложный раздел школьной
программы - геометрия. Как показывает практика, именно данный раздел
вызывает наибольшие трудности для учащихся при сдаче экзамена по
математике. Можно выделить следующие недостатки в подготовке
выпускников: формальное усвоение теоретического содержания курса
геометрии, невозможность использования изучаемого материала в ситуации,
отличной от общепринятой.
Для успешного выполнения этих задач требуются глубокие знания
основных геометрических фактов и опыт решения геометрических задач.
При изучении математики необходимо систематизировать знания,
полученные учащимися в основной школе, выделить общие методы и
приемы решения геометрических задач, продемонстрировать прием решения
геометрических задач и закрепить навыки решения геометрических задач. В
связи с этим необходимо сосредоточиться не только на усвоении
теоретических фактов, но и на развитии навыков решения геометрических
задач разного уровня сложности, и правильной их математической записи.
Повторение геометрического материала по разделам позволяет
реализовать широкие возможности для дифференцированного обучения
студентов. Поэтому все вышеперечисленное определяет актуальность
выбранной темы дипломной работы.
Объект работы – процесс обучения геометрии по школьной программе
в условиях реализации ФГОС.
4
Предметом исследования являются методики решения
планиметрических задач школьного курса математики для учащихся 7-9
классов.
Целью данной работы является разработка обучающего модуля по теме
планиметрических задач школьного курса математики в условиях реализации
ФГОС.
Для реализации намеченной цели были поставлены следующие задачи:
рассмотреть исторический аспект развития методики
преподавания планиметрии;
привести и охарактеризовать виды и методику решения
планиметрических задач с учетом реализации ФГОС;
изучить базовые планиметрические задачи 7-9 классов, а также
провести сравнительную характеристику школьных учебников;
обозначить методику подготовки учащихся к решению
планиметрических задач ЕГЭ;
выявить особенности визуализации планиметрического
материала;
провести педагогический эксперимент;
сделать анализ результатов педагогического эксперимента.
Теоретической основой исследования послужили методические
рекомендации ФГОС, учебные и периодические публикации и статьи,
ведущих отечественных и зарубежных математиков по изучаемой теме
работы.
Структура работы работа состоит из введения, 3-х глав, заключения,
списка литературы и приложения.
5
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ
ПРЕПОДАВАНИЯ ПЛАНИМЕТРИИ В ШКОЛЕ
1.1. Исторический аспект развития методики преподавания
планиметрии в школе
При изучении школьного курса, геометрия обычно начинается с
изучения планиметрии. Планиметрия является частью геометрии, в которой
изучаются свойства линий и фигур на плоскости.
Исходные понятия геометрии, такие как плоскость, прямая, точка,
фигура, изначально считаются данными и не требуют специального
определения.
Термин «планиметрия» происходит от латинского слова Planum, что
означает плоскость. В этом разделе геометрии рассматриваются формы,
которые находятся на одной плоскости [1].
Как понятие «метод» (от греческого слова methodos – исследование),
так и сам термин широко используются в различных областях знаний,
особенно в повседневной практической жизни. В философском смысле метод
определяется как «способ приближения к реальности, способ изучения,
изучения явлений природы и общества». В обучении метод определяется как
путь, заранее запланированный для достижения цели.
Первоначальное накопление методологических взглядов, правил и
стандартов происходит в учебной литературе; это также служит средством
распространения методологических установок и идей.
Уже с середины XVIII века методическая школа Эйлера через
опубликованные учебники требовала систематического изучения основ
элементарной геометрии и отказа от догматизма в обучении, и заботилась не
только о передаче геометрических фактов, но и о развитии ума, логического
мышления, развития дедуктивной системы. Эта школа также разработала
национальную терминологию в области геометрии и других математических
дисциплин [6].
6
В последней четверти XVIII века в преподавании существовала
разница в зависимости от типа школы. Принцип визуализации нашел
широкое применение при представлении исходной информации о геометрии;
установлена тесная связь между теорией и практикой, особенно в
геодезических работах.
О значительном прогрессе методологического мышления в начале XIX
века свидетельствует работа выдающегося учителя математики,
оригинального мыслителя Гурьева С. Е. «Опыт совершенствования
элементарной геометрии» 1798 года – первая русская работа, учитывающая
вопросы философии математики. Эта книга имеет методическое значение.
Методические мнения ученого нашли выражение в других его работах.
Гурьев С. Е. утверждает, что человек получает первые геометрические
знания с помощью чувств, на которые влияют окружающие тела, где
первыми свойствами тел являются растяжение и движение. Это взгляды
материалиста. Основываясь на общих взглядах, Гурьева С.Е. разработал
проект системы математического образования: обучение должно начинаться
с детской арифметики и детской геометрии, затем изучение реальной
геометрии и науки о числах, содержащей основы реальной арифметики и
простой алгебры, наконец, перейти к изучению высшей математики [15].
Вопрос преподавания начальной арифметики и подготовительного
курса геометрии проясняется. Обучение последнему основано на ясности и
лабораторном методе. Впервые признана необходимость в подготовительном
курсе по геометрии. Относительно положения материала в «реальной
геометрии» Гурьев С.Е. не удовлетворен евклидовой системой и рекомендует
такую презентацию, чтобы ученик мог осознать необходимость
переключения с одного материала на другой. Это первое утверждение по
вопросу о генетическом методе разоблачения геометрии.
В 1804 г. Гурьев С. Е. реализует свои взгляды на преподавание в книге
«Основы геометрии». Этот учебник интересен с точки зрения дизайна,
гармонии, естественного расположения материала, но отличается большим
7
объемом, сложностью и чрезвычайно сложным языком. Он не подходит в
качестве учебника, хотя в нем используется определенный дистрибутив [15].
Методические положения нашли свое место и были накоплены в
высказываниях и трудах выдающихся деятелей народного образования.
Блестящий математик, создатель неевклидовой геометрии,
Лобачевский Н. И., как ректор Казанского университета, был председателем
школьного комитета Казанского школьного округа и руководил школьными
делами этого района. В 1830 году Лобачевский Н. И. составил «Учебник для
учителей математики в гимназиях». Эта заметка не была опубликована когда-
то, но оказала влияние на преподавание математики в районных гимназиях.
Лобачевский Н.И. настаивал на том, чтобы сенсорные восприятия должны
быть взяты за основу для усвоения математических понятий и должны
отвлекаться от них, что учитель должен всеми возможными способами
избегать механического запоминания математических фактов и искать их
понимания, и осознавать, что такое условие важно и для усвоения. Материал
академической дисциплины пригоден и для плодотворного применения на
практике, преподавание математики важно как для развития ума, так и для
приобретения полезных навыков [9].
Лобачевский Н. И., не возражая против классического образования,
которое было имплантировано в его время, смело выдвигал идею дать
студентам выбор специализироваться в изучении реальных дисциплин, в том
числе математических. Его методологические положения не потеряли своего
значения до нашего времени [9].
С середины XIX века начала издаваться специальная литература по
методологии геометрии.
В 1851 г. Буняковский В. Я., выдающийся ученый и просветитель,
написал работу «Программа и краткое изложение исходной геометрии», в
которой изложены принципы технологии геометрии и ряд конкретных
инструкций для иллюстрации некоторых геометрических вопросов [4] .
8
Талантливый методист и математик Острогорский А. Н. опубликовал
первую книгу по методологии систематического курса по геометрии.
Острогорский А.Н., основываясь на критическом обзоре национальных и
переведенных учебников, рассматривает основные проблемы преподавания
геометрии; в нем рассматривается формирование концепций, учет аксиом с
материалистических позиций, подробно раскрываются логические основы
курса геометрии и правильно разъясняются основные проблемы методологии
[11].
Во второй половине XIX века была разработана методология для
обучения начальной и сокращенной математической системы, чтобы развить
ее для полной политехнической школы неполного среднего образования, для
других основных типов учебных заведений, обеспечивающих полное среднее
образование.
«Основной задачей советской школы было подготовить учащихся к
жизни, общественно-полезному труду, еще больше повысить уровень общего
и политехнического образования, подготовить образованных людей, которые
хорошо знают основы науки, воспитать молодежь в духе глубокого уважения
к принципам социалистического общества, в духе идей коммунизма».
Математические дисциплины школьной программы, включая
геометрию, являются неотъемлемой частью политехнического образования и
важным фактором подготовки к общественно – полезной работе.
Основными целями обучения геометрии являются: информирование
учащихся об элементарных фактах о пространственных формах и
пространственных отношениях в соответствии с масштабной программой по
геометрии; развить навыки применения геометрических фактов для решения
практических задач, доступных для школьников, особенно тех, которые
связаны с производством, технологиями и измерениями на поверхности
земли.
Однако преподавание геометрии не ограничивается только
представлением геометрических фактов о пространственных формах и их
9
взаимосвязях, практическим применением этих фактов. Наиболее важной
целью обучения геометрии является то, что молодые поколения овладевают
основами элементарной геометрии, принципами геометрической науки. Это
требует систематического представления основ курса геометрии в
логической системе, доступной для школьников.
В результате представлены другие цели обучения геометрии. Наиболее
важными являются следующие: развитие логического мышления,
ознакомление с построением дедуктивной дисциплины, овладение методами,
используемыми в элементарной геометрии [5].
Любое обучение основам науки органически связано с образованием.
Одна из основных образовательных задач. Задача обучения основам
математических наук и, в частности, геометрического образования, состоит в
том, чтобы сформировать основы марксистско-ленинского мировоззрения у
молодого поколения.
Развитие пространственного воображения, которое лежит в основе
многих видов технического творчества, имеет большое значение для
обучения геометрии.
Обучение геометрии имеет и другие важные цели с точки зрения
главной задачи советской школы. Необходимо ознакомить учащихся с
инструментами рисования и их тестированием, чтобы дать им первые навыки
для их использования, информировать геометрические основы изображения
форм трехмерного пространства на плоскости, развивать и совершенствовать
в этом навыки, учить читать чертежи. По этим предметам преподавание
геометрии и рисования переплетаются и дополняют друг друга. Учащиеся
должны быть ближе знакомы с практикой измерения геометрических
величин – сегментов, углов, поверхностей и объемов. Разумное преподавание
геометрии позволяет достичь нескольких других целей: оно способствует
развитию деятельности, инициатив, творческих элементов, развивает навыки
и умение читать книгу по математике, дает возможность познать некоторые
факты из истории геометрии.
10
Для достижения целей геометрического образования необходимо
руководствоваться принципами, на которые указывает советская дидактика.
Преподавание основ геометрической науки должно отличаться
коммунистической идеологией, доступной для молодого поколения
благодаря научной, систематической и явной связи теории и практики,
раскрывающей применение геометрии в производстве. При обучении
геометрии необходимо учитывать возрастные особенности подростков и
молодежи, она должна быть доступна для их развития и основываться на
сознании. Необходимо дать солидные знания и навыки, развивать
коллективизм в деятельности студентов и не пропускать индивидуальный
подход к каждому из них. Нет необходимости комментировать каждый из
дидактических принципов, но желательно сделать несколько замечаний.
На самом деле школьный курс геометрии является основой геометрии
фигур. В последние годы в образовательной литературе наблюдается
тенденция замены геометрии фигур геометрией чертежей. То же самое
можно наблюдать в практической деятельности некоторых учителей: при
передаче геометрических понятий, при определении теорем, при решении
задач это, как правило, не фигура, а чертеж; должны прочитать и услышать
«мы свернем чертеж по прямой линии», «мы повернем чертеж вокруг точки»,
«мы наложим чертеж».
Непрактично сводить курс школьной геометрии к геометрии чертежей:
такая замена искажает основы элементарной геометрии, расширяет
геометрию до масштаба, ограничивает образовательную ценность ее
изучения, в частности мешает с развитием пространственного воображения.
Геометрия школы является и должна оставаться геометрией фигур, а
роль чертежа сводится к важным наглядным пособиям, которые находят
широкое и полезное применение при представлении геометрии фигур.
Чертеж не идентичен геометрической фигуре: это приблизительное
изображение последней. В связи с политехническим обучением роль
черчения возрастает: язык черчения является технологическим. Черчение -
11
язык и геометрия фигур. Конструкция, как термин, является сигналом для
второй системы сигнализации, но она не идентична фигуре сигнализации.
Поэтому, когда мы учим, нам приходится говорить не о чертежах, а о
фигурах: геометрия в школе - геометрия фигур.
Некоторые учителя математики считают, что школьный курс
геометрии логически совершенен, и считают это реализацией научного
принципа.
Необходимым условием построения курса по безупречной логической
геометрии является введение полной аксиоматики. Это необходимое условие,
но еще не достаточное. При представлении доказательств нельзя полагаться
на «доказательства», вызванные черчением фигуры или ее изображением,
нельзя полагаться на интуицию, то есть на знания без обширных
рассуждений, из-за ранее приобретенного опыта и практической
деятельности.
Изучение систематического курса геометрии в школе начинается с 12
лет. Современная аксиоматическая конструкция геометрии такова, что она
недоступна для учащихся этого возраста или более. Школьные курсы по
геометрии основаны на неполной системе аксиом. Если мы сравним аксиомы
обычного школьного курса с системой аксиом данной Гильбертом Д., то в
школьном курсе мы найдем группу I – аксиомы связи (она представлена
достаточно полно), группу IV – аксиома параллельности и, в лучшем случае,
группа V – аксиомы непрерывности, а чаще всего только первая из них –
аксиома Архимеда или аксиома измерения. В школьном курсе используют
только около половины всех аксиом, введенных Гильбертом Д., в частности,
нет абсолютно никакой группы II – аксиомы порядка - и группы III –
аксиомы конгруэнции или движения. Неполнота аксиоматики приводит к
необходимости использовать интуитивные представления, несогласованные
и бессознательные аксиомы. По этой причине ход геометрии баланса не
может быть логически строгим [10].
12
При повторении геометрии в старшей школе или на уроке математики
желательно познакомить учащихся со схемой построения дедуктивной науки
и с полной системой аксиом элементарной геометрии.
Если школьный курс геометрии не является логически строгим,
возникает вопрос, поддерживает ли его изучение логическое развитие
учащихся. Практика преподавания геометрии в течение длительного периода
времени показывает, что логически неполные курсы геометрии являются
хорошей школой для развития логического мышления. Переход от
специфически индуктивного мышления, присущего детям, к дедуктивному
мышлению в подростковом и раннем подростковом возрасте не может быть
осуществлен немедленно, шаг за шагом: необходим длительный
подготовительный переходный период, в течение которого метод
специфической индукции постепенно ослабевает, его использование
ограничено, а дедуктивный метод совершенствуется. Время для изучения
геометрии в школе – это переходный период, который готовит вас к
изучению более абстрактных и логически более строгих курсов математики.
В этом смысле следует отметить, что курс школьной геометрии,
изучаемый подростками и молодыми людьми в возрасте от двенадцати до
восемнадцати лет, конечно, не может быть одинаково устойчивым. В классах
7 – 8 логические элементы представлены меньше, а начиная с класса 9 они
усиливаются. Это иллюстрируется использованием аксиомы Архимеда.
Учащиеся измеряют длины отрезков уже в 7 – м классе, и это считается
интуитивно понятным процессом, и аксиома измерения вводится только в
начале 9-го класса, в котором необходимо пересмотреть вопрос об измерении
в порядке сделать некоторые логические основания. В последние годы была
предпринята попытка ввести аксиому непрерывности Кантора в 8 – м классе,
и, по сути, учащиеся используют непрерывность линий и кругов уже в 7-м
классе. Иногда учитель подкрепляет обоснование началом изучения
стереометрии. Эти факты показывают, что в логическом отношении
13
школьный курс геометрии неравномерен, что в нем происходит постепенное
усиление элементов обоснования.
1.2. Виды и методика решения планиметрических задач с
учетом реализации ФГОС
Геометрия является наиболее уязвимой частью школьной математики.
Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учащихся. Это
связано как с обилием различных типов задач, так и с разнообразием методов
их решения.
В отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, которые
можно решить в соответствии с моделью. Почти все задачи требуют
«индивидуального» подхода.
В методической литературе существуют различные классификации
методов решения геометрических задач. Вслед за Гусевым В.А., Литвиненко
В.Н. и Мордкович А.Г., будем исходить из того, что существуют
геометрические, алгебраические, векторные и координатные методы решения
планиметрических задач [8].
Геометрический метод решения планиметрических задач делится на
два типа: метод дополнительных построений и метод геометрических
преобразований. Каждый из этих методов не может быть алгоритмизирован,
но существуют критерии, которые можно использовать для определения
перспектив использования определенного метода.
Метод дополнительных построений является наиболее
распространенным методом решения планиметрических задач. Знакомство с
этим методом происходит в ходе геометрии 7 класса, здесь различные
дополнительные конструкции используются как для доказательства теорем,
так и для решения задач повышенной сложности. Кроме того, такие задачи
обычно получают указание того, какой тип дополнительной конструкции
14
должен быть сделан. Обычно линия проходит через две точки или линию,
параллельную определенной линии через точку.
В 8 классе, когда изучается фактический материал, дополнительные
конструкции становятся более разнообразными. Становится возможным не
только выделить соответствующие конфигурации, распознавание которых
позволяет систематически искать соответствующие дополнительные
конструкции, но и познакомить учащихся с методом «удвоения» медианы, с
методом срединных линий и методом вспомогательного круга.
В девятом классе желательно систематизировать все дополнительные
конструкции, известные в соответствии с типичными конфигурациями в
действиях. Для этого можно использовать таблицу 1.1. [12].
Таблица 1.1 – Типовые конфигурации для выбора дополнительного
построения
Геометрическая конфигурация
Рекомендуемые дополнительные построения
Трапеция, в которой известны
длины всех сторон
1. Разделить трапецию на прямоугольник и
прямоугольные треугольники, построив две высоты от
концов меньшего основания.
2. Разделить трапецию на параллелограмм и
треугольник на отрезок, параллельный одной стороне
трапеции.
Трапеция, в которой заданы
длины диагоналей и(или) угол
между ними
Используя параллельную передачу одной из
диагоналей трапеции, постройте вспомогательный
треугольник, две стороны которого являются
диагоналями трапеции, а третья сторона равна сумме
длин оснований трапеции.
Трапеция, в которой сумма
острых углов при большем
основании даёт 90ºС
Чтобы завершить трапецию в треугольнике, продолжая
со всех сторон до пересечения, или разделите
трапецию на параллельный грамм и треугольник через
отрезок, параллельный одной из сторон трапеции.
Окружность вписана в много-
угольник
Построить центр окружности и провести радиусы в
точки касания («скелетный» чертеж).
Внутреннее или внешнее
касание окружностей
Построить линию центров, проходящих через точку
касания, и использовать зависимость расстояния между
центрами окружностей от суммы радиусов
окружностей при внешнем контакте и разности
радиусов окружностей с внутренним контактом.
Окружность вписана в угол
Определите положение центра круга, построив
биссектрису и нарисуйте радиусы в точках касания
круга со сторонами угла.
Две окружности имеют общую
внутреннюю касательную
Нарисовать линию центров, радиусы к точкам касания,
выбрать прямоугольную трапецию, нарисовать в ней
высоту и использовать соотношения в полученном
15
прямоугольном треугольнике.
Две окружности имеют общую
внутреннюю касательную
Чтобы нарисовать линию центров, радиусов в
касательных точках, выберите прямоугольные
треугольники и используйте их сходство.
Окружность проходит через
две заданные точки А и В
Определить местоположение центра окружности,
построив серединный перпендикуляр к отрежу АВ
Окружность проходит через
три заданные точки А, В и С,
не лежащие на одной прямой
Определить положение центра круга, построить
пересечение середины перпендикулярно отрезкам AB и
BC или построить треугольник ABC, вписанный в
круг, и использовать его свойства.
Задана медиана треугольника
Удвоить медиану с последующим завершением
треугольника, чтобы сформировать параллелограмм и
использовать свойства параллелограмма.
Имеется середина одной или
нескольких сторон
многоугольника
Добавьте средние точки других сторон и посмотрите
на средние линии соответствующих треугольников или
трапеций (метод «средних линий»).
Требуется найти отношение от-
резков AM : MB, полученных
при пересечении данных
отрезков в многоугольнике
Провести через точку М и (или) через концы отрезка
АВ прямые, параллельные сторонам этого
многоугольника или имеющимся отрезкам.
Использовать теорему Фалеса о пропорциональных
отрезках или подобие треугольников.
Имеется четырехугольник,
сумма противоположных углов
которого равна 180 ºС
Рассмотрим вспомогательный круг, описываемый
четырехугольником, хорошо, используйте свойства
центрального и вписанного углов.
По одну сторону от прямой
имеются два равных угла,
опирающихся на один и тот же
отрезок
Рассмотреть вспомогательный круг, для которого эти
углы будут вписаны, воспользоваться свойствами
вписанных углов.
По одну сторону от прямой
имеются два угла, опирающихся
на один и тот же отрезок,
причём величина одного из них
в два раза больше величины
другого и вершина большего
угла равноудалена от концов
отрезка
Рассмотреть вспомогательную окружность, для
которой данные углы будут являться соответственно
вписанным и центральным, воспользоваться
свойствами центрального и вписанного утлое.
Второй разновидностью геометрического метода является метод
геометрических преобразований (центральная и осевая симметрия,
параллельный перенос, вращение, гомотетия), который делится на метод
движений и метод подобия.
Движения широко используются для решения задач доказательства
равенства фигур и построения.
Метод подобия чаще встречается в школьной практике для решения
контурных задач. Теоретической основой для применения этого метода
16
является определение похожих фигур и треугольников, в частности,
признаков сходства треугольников, свойств похожих фигур. С помощью
подобия обычно можно решить вычислительные задачи (например, углы,
длины сегментов, отношения сегментов). Обычно это задачи, в которых
только один из данных является сегментом, а все остальные данные – это
углы или доля сегментов.
Помимо геометрического метода, в практике решения самых первых
задач систематического курса геометрии используется алгебраический метод
– общее название метода ступенчатого решения и метода составления
уравнений. Метод ступенчатого решения является неотъемлемой частью
решения любой геометрической задачи. Полу алгоритмические проблемы
чаще всего решаются исключительно этим методом, который состоит из
последовательного перехода от условия к требованию задачи [7].
В более сложных задачах невозможно перейти от заданных элементов к
желаемым, поскольку недостаточно известных элементов или они
«разбросаны» по разным фигурам. В таких случаях на помощь приходит
алгебра: отсутствующий элемент называется неизвестной величиной x, а
другие элементы существующих фигур выражаются через него. После этого
обнаруживается связь, которая позволяет составить уравнение или систему
уравнений. Важно понимать, что для решения геометрической задачи не
всегда нужно стремиться решить полученную систему или уравнение в
алгебраическом смысле. Иногда решение проблемы появляется очень
неожиданно, и главное здесь – распознать подобную ситуацию и
«остановиться» во времени.
Геометрические и алгебраические методы являются классическими
методами решения контурных задач. В школьном курсе геометрии 9-го
класса учитываются два других метода – метод координат и векторный
метод. Эти методы являются очень эффективными для решения многих
контурных задач. Однако в школьной практике они не получили должного
признания и учитываются только с образовательной точки зрения.
17
Поэтому успешное обучение невозможно без правильно
организованного повторения того, что вы узнали раньше. В геометрии
каждый шаг вперед основан на ранее полученных знаниях.
ГЛАВА II. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ
ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА
МАТЕМАТИКИ В УСЛОВИЯХ РЕАЛИЗАЦИИ ФГОС
2.1. Начальные планиметрические задачи 7-9 классов
Рассмотрим наиболее популярные учебники по геометрии для уровней
с 7 по 9 классы, в которых мы анализируем поток теоретического материала
и систему упражнений. Обратимся к 3-м учебникам для 7-9 классов авторов:
1) Атанасяна Л.С.;
2) Шарыгина И.Ф.;
3) Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
В учебниках Атанасяна Л.С. реализовал аксиоматический подход к
построению курса геометрии. Как и многие авторы, он предлагает изучать
геометрию с 7 класса. Есть теоретическая часть: ряд аксиом, основные
теоремы и их последствия. На начальном этапе теорема может быть доказана
с помощью суперпозиции, например, знаков равенства треугольников, что
оправдано на начальном этапе изучения и освоения нового предмета
студентами. Некоторые теоретические факты, используемые в дальнейшем
изложении, даны не в виде теорем, а в виде задач, что затрудняет ссылки на
них в последующей работе. Теоремы о средней линии треугольника и
трапеции могли бы появиться раньше. Но этот момент учитель при желании
может компенсировать, предложив учащимся другой способ доказательства в
начале 8 класса, а вот изучение площади до подобия оправдано. Учебники
также привлекают внимание к практическому применению геометрии, ее
18
связи с архитектурой. Теоретический материал представлен кратко и
подробно.
Особенность Шарыгина И.Ф. это отказ от аксиоматического подхода. В
нем уменьшена роль формально-логических рассуждений, больше внимания
уделено методам решения задач. [21]. Наглядно-эмпирическое построение
курса позволяет на раннем этапе обучения решать содержательные,
интересные и красивые задачи.
Планиметрические задачи рассматриваются не только на плоскостных,
но и на пространственных объектах. Это дает возможность не тормозить
формирование пространственного (трехмерного) видения геометрических
объектов, пространственного мышления школьников, а развивать их. Этому
способствует продуманное использование наглядности в учебнике.
Интересен исторический аспект развития учебного материала,
доказательства фактов, полученных великими математиками древности. Все
это работает на воспитание интереса учащихся к предмету и уважения к
классикам геометрии.
Доступность изложения, наглядная подача материала и большое число
увлекательных разноуровневых заданий выделяют линию учебно-
методических комплектов по геометрии для 7–9 классов, созданных
авторским коллективом под руководством А. Г. Мерзляка. Занятия по этим
учебникам позволяют сделать уроки насыщенными, значительно повысить
мотивацию ребят, показать красоту математического доказательства, развить
у детей пространственное мышление и стремление к логичному и
последовательному изложению мыслей.
Рисунки гармонично дополняют текст учебников, что делает изучение
сложного предмета наглядным. Той же цели служит структура учебников:
определения, теоремы, следствия, свойства выделены цветом,
продублированы в вопросах после параграфа и в итогах каждой главы, что
облегчает повторение материала в конце каждого раздела. В учебники
включены: интересные исторические экскурсы, справочник по
19
происхождению математических терминов, алфавитно-предметный
указатель, важные геометрические сведения на форзацах.
Разнообразный дидактический материал, представленный большим
количеством задач, удобен для организации дифференциации и
индивидуального подхода. Задачи сгруппированы по четырем уровням:
немного простых, задачи среднего уровня в большом количестве, два уровня
задач повышенной сложности. Для значительной части задач предусмотрены
близкие по содержанию «парные» задания, которые можно рассматривать
как домашние.
Проанализируем методические материалы учебников в таблице 2.1.
Таблица 2.1 - Анализ учебников и методических материалов по теме
«Планиметрические задания» в 7-9 классах
Геометрическая
конфигурация
Шарыгина И.Ф
Атанасяна Л.С.
Треугольник и
окружность.
Начальные
сведения
7 класс
1) Треугольник;
2) Равнобедренный
треугольник;
3) Признаки
равенства
треугольников;
4) Неравенства в
треугольнике.
5) Окружность.
Касание окружности
с прямой и
окружностью.
8 класс
1) Подобные
треугольники;
2) Признаки
подобия
треугольников;
3) Замечательные
точки треугольники.
4) Метрические
соотношения в
треугольнике и
окружности
9 класс
7 класс
1) Треугольник;
2) Первый признак
равенства
треугольников;
3) Перпендикуляр к
прямой;
4) Медины, биссектрисы
и высоты треугольника;
5) Свойства
равнобедренного
треугольника;
6) Второй признак
равенства
треугольников;
7) Третий признак
равенства
треугольников;
8) Сумма углов
треугольника;
9) Соотношения между
сторонами и углами
треугольника;
10) Прямоугольный
треугольник;
11) Построение
треугольника по трем
элементам.
20
1) Площадь
треугольника.
2) Длина
окружности
12) Окружность.
8 класс
1) Площадь
треугольника;
2) Определение
подобных
треугольников;
3)Признаки подобия
треугольников;
4)Применение подобия к
доказательству теорем и
решению задач;
5) Соотношение между
сторонами и углами
прямоугольного
треугольника.
9 класс
1) Соотношения между
сторонами и углами
треугольника;
2) Теорема о площади
треугольника.
Сравнивая строки из учебников Л.С. Атанасьяна, И.Ф. Шарыгина и
Мерзляк А.Г., Полонского В.Б., Якир М.С., вы можете заметить
существенную разницу. Во-первых, это разные подходы к теоретическому
изложению материала. Во-вторых, они сильно различаются по длине курса,
но не все они включены в ФПУ. В настоящее время почти во всех
общеобразовательных школах основным автором учебников по геометрии
является Л.С. Атанасян.
Таблица 2.1 – Типы задач по теме «Построение треугольника по трем
элементам» в учебниках геометрии 7 классов
Тип задачи
Л.С. Атанасян
И.Ф. Шарыгин
Мерзляк А.Г.,
21
Полонский В.Б.,
Якир М.С
«Построение произвольного
треугольника с учетом
медианы»
№ 287, 295. Доп.
задачи: №313*.
№401.
№139*, №157*,
№158
«Построение произвольного
треугольника с учетом
биссектрисы»
№ 286.
-
№140*.
«Построение произвольного
треугольника с учетом высоты»
№ 293, 294.
Задачи повы-
шенной труд-
ности: №351.
№ 397.
136*, 137*, 138.
«Построение произвольного
треугольника с учетом
медианы и высоты»
Доп. задачи:
№316, 320.
-
-
«Построение произвольного
треугольника с учетом
биссектрисы и высоты»
Доп. задачи:
№319.
-
-
«Построение произвольного
треугольника с учетом радиуса
описанной окружности»
-
-
-
«Построение произвольного
треугольника с учетом
периметра»
Задачи повы-
шенной труд-
ности: №360,
361.
-
145*.
«Построение треугольника по
трем сторонам»
п.2.4.
п.4.2.
-
«Построение треугольника по
стороне и двум прилежащим к
ней углам»
п.7.2.
-
-
«Построение треугольника по
двум сторонам и углу между
ними»
-
-
-
«Построение прямоугольного
треугольника»
№4.20,5.37.
№ 392
-
«Построение равнобедренного
треугольника»
-
-
205*, 207*.
«Построение произвольного
треугольника»
-
-
-
Из трех рассмотренных учебников Л.С. Атанасян, И.Ф. Шарыгина, и
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М. С. с точки зрения правильного
построения школьного курса, разграничения сложных и простых задач по
разработке теоретического и практического материала, лучшей книгой по
геометрии определений является учебник Л. С. Атанасяна.
22
Стадия формирования концепции построена правильно, диапазон задач
разнообразен, есть задачи теоретические и практические задачи для каждого
параграфа, дополнительные задачи для каждого параграфа, дополнительные
задачи для каждой главы и, наконец, задачи с повышенной сложностью.
Уровень задач варьируется от простого до сложного, что помогает учителю
ориентироваться при решении проблем и дает ученику рекомендации о том,
как оценивать себя при решении задач [3].
Таблица 2.2 – Типы задач по теме «Построение треугольника по трем
элементам» в учебниках геометрии 8 классов
Тип задачи
Атанасяна Л.С.
Шарыгина И.Ф
Мерзляк А.Г.,
Полонский В.Б.,
Якир М. С.
«Построение прямоугольного
треугольника»
-
-
-
«Построение равнобедренного
треугольника»
Задачи
повышенной
трудности: №
871.
-
-
«Построение произвольного
треугольника»
Задачи
повышенной
трудности: №
873.
-
-
«Построение произвольного
треугольника с учетом медианы»
-
-
-
«Построение произвольного
треугольника с учетом
биссектрисы»
Задачи
повышенной
трудности: №
872
-
-
«Построение произвольного
треугольника с учетом высоты»
Задачи
повышенной
трудности: №
900(а).
-
-
«Построение произвольного
треугольника с учетом медианы и
высоты»
-
-
-
«Построение произвольного
треугольника с учетом медианы,
биссектрисы и высоты»
-
№ 1018.
-
«Построение произвольного
треугольника с данной описанной
окружностью и точками на ней,
через которые проходят прямые
содержащие высоту, биссектрису и
медиану треугольника,
проведенные из одной вершины»
Задачи
повышенной
трудности: №
901.
-
-
23
«Построение произвольного
треугольника с учетом периметра»
Задачи
повышенной
трудности: №
900(б).
-
-
На применение метода
геометрических мест
-
п.5.3. Задача 4
(решена). №
597, 598, 599,
601, 603, 607,
608.
На применение метода подобия
п.66 Задача 3
(решена). №
586, 587, 588,
589, 590. Доп.
задачи: № 627,
629, 630.
п.8.3.Задача 4,
№ 1053, 1058,
1059, 1060,
1061, 1062,
1065.
«Построение произвольного
треугольника с учетом двух
высот»
-
-
«Построение треугольника по
трем высотам»
Задачи
повышенной
трудности: №
874.
-
«Построение треугольника по
трем медианам»
-
№ 1019.
Приведены несколько примеров по теме «Построение треугольника по
трем элементам» в учебниках по геометрии 7–9 классов:
Шарыгина И.Ф
Задача 18 [21, c. 276]. «Постройте треугольник по трем медианам».
А
B
C
M1
M2
M3
О
О1
Рис.1
Построение.
24
Строим треугольник АОО
1
по трем сторонам
(
АО =
3
2
АМ
3
, AO
l
=
3
2
СМ
2
, OO
l
=
3
2
ВМ
1
). Затем проведем медиану AM
1
(ОM
1
= M
l
О
l
=
3
1
ВМ
1
) и
продлим ее до точки С (СМ
1
= М
1
А), затем продлим сторону OM
1
до точки В
(ВО = 2ОM
1
),затем соединим вершины А, В, С.
Треугольник ABC — искомый (Рис. 1.).
Задача 5 [3, c. 84]. «Постройте треугольник по двум сторонам и высоте
к третьей стороне».
А
B
C
А
B
C
M1
M2
M3
N1
N2
N3
H H
Рис.1. Рис.2. Рис.3.
Решение.
Даны отрезки М
1
N
1
, М
2
N
2
, М
3
N
3
, (Рис. 1.). Построим треугольник АВС,
у которого две стороны, предположим АВ и АС, равны соответственно
отрезкам М
1
N
1
и М
2
N
2
, а высота АН равна отрезку М
3
N
3
.
Анализ. Допустим, что искомый треугольник АВС построен (Рис. 2.).
Сторона АВ и высота АН являются гипотенузой и катетом прямоугольного
треугольника АВС. Значит, чтобы построить треугольник, сначала нужно
построить прямоугольный треугольник АВН и достроить его до искомого
треугольника АВС.
Построение. Строим прямоугольный треугольник АВН, у которого
гипотенуза АВ равна данному отрезку М
1
N
1
, а катет АН равен отрезку М
3
N
3
.
25
Далее проводим окружность с центром в точке А и радиусом равным М
2
N
2
.
Буквой С обозначим одну из точек пересечения этой окружности с прямой
ВН. Проводим отрезки ВС и АС. Треугольник АВС – искомый (Рис. 3.).
Доказательство. По построению АВ= М
1
N
1
, АС= М
2
N
2
, АН= М
3
N
3
.
Исследование. Если хотя бы один из отрезков М
1
N
1
и М
2
N
2
меньше,
М
3
N
3
то задача не будет иметь решение, так как наклонные АВ и АС не
могут быть меньше перпендикуляра АН. Также задача не будет иметь
решения, если М
1
N
1
=М
2
N
2
=М
3
N
3
.
Если М
1
N
1
> М
3
N
3
, а М
2
N
2
=М
3
N
3
, то задача будет иметь единственное
решение, так как сторона АС совпадет с высотой АН. В этом случае искомый
треугольник будет прямоугольным. Также задача будет иметь единственное
решение, если М
1
N
1
> М
3
N
3
, М
1
N
1
=М
2
N
2
. В данном случае треугольник АВС
– равнобедренный.
Задача будет иметь два решения, если М
1
N
1
>М
3
N
3
, а М
2
N
2
> М
3
N
3
,
М
1
N
1
М
2
N
2
.
2.2. Методика подготовки учащихся к решению
планиметрических задач ЕГЭ
Методика подготовки учащихся к единому государственному экзамену
по математике в основном включает решение задач по определенной теме. С
точки зрения подготовки детей к решению геометрических задач на
экзамене, есть больше трудностей, чем при решении алгебраических задач.
Невозможно решить все возможные геометрические проблемы, которые
могут возникнуть на экзамене. Хотя выбрать такой минимум вполне реально.
В методической литературе они называются ключом, базой. Ключевой
задачей является своего рода поддержка для решения других задач, в том
числе нестандартных.
Как показывает практика, геометрические проблемы вызывают у
школьников наибольшую сложность при сдаче экзамена по математике.
26
Результаты экзамена показывают, что учащиеся плохо выполняют эти
задания или вообще не справляются с ними.
Можно выделить следующие недостатки в подготовке выпускников:
формальное усвоение теоретического содержания курса геометрии,
невозможность использования изучаемого материала в ситуации, отличной
от стандартной.
Для успешного выполнения этих задач необходимы глубокие знания
основных геометрических фактов и опыт решения геометрических задач.
При изучении математики в высшей школе на уровне профиля необходимо
систематизировать знания, полученные учащимися в начальной школе,
выделить общие методы и приемы решения геометрических задач,
продемонстрировать методику решения геометрических задач и закрепить
навыки решения задач. геометрические проблемы. В связи с этим
необходимо сосредоточиться не только на усвоении теоретических фактов,
но и на развитии навыков решения геометрических задач разного уровня
сложности и правильной их математической записи. Повторение
геометрического материала по разделам позволяет реализовать широкие
возможности для дифференцированного обучения школьников.
На всех уроках геометрии следует предполагать, что изучение этого
предмета не только направлено на достижение объективных целей - знание
различных геометрических форм и их свойств, но и на решение более
важных задач, определенных в федеральном образовательном стандарте -
воспитание личности и развитие учащегося. Его логическое мышление,
умение четко, точно и компетентно выражать свои мысли обосновывают
сделанные высказывания и всестороннее развитие творческих способностей
ученика. Курс 9-го класса является последним звеном в изучении
планиметрии. За последние два года студенты приобрели геометрические
знания и навыки, изучили свойства отрезков, углов, треугольников,
четырехугольников, окружностей и познакомились с понятиями
определения, теоремы и доказательства. Все это позволяет нам
27
интенсифицировать учебный процесс, внедрить элементы лекционных и
семинарских занятий и увеличить долю самостоятельной работы,
выполняемой студентами.
Поскольку изучение курса геометрии позволяет учащимся получить
опыт дедуктивного мышления, оно учит их умению демонстрировать
основные теоремы курса, проводить основанные на доказательствах
аргументы в решении задач, в специализированной (продвинутой)
математической подготовке эта линия это становится еще более
значительным в связи с расширением существенного компонента курса
геометрии. Рассмотрение выбранных теорем о макете, которые выходят за
рамки структуры основного курса, а также решение задач, выбранных
различными методами, подчеркивают красоту содержания материала,
способствуют эстетическому восприятию геометрии и помогают выбрать
наиболее рациональное решение среди всех известные методы или решения.
Известно, что геометрическая линия является одной из центральных
линий курса математики. Он предполагает систематическое изучение свойств
геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных
представлений, развитие логического мышления и подготовку необходимого
аппарата для изучения смежных дисциплин (физика, рисование и т. Д.) И
курса стереометрии.
При решении геометрических задач обычно используются три
основных метода [19]:
геометрический – если искомое утверждение получено из ряда
известных теорем с использованием логических рассуждений;
алгебраический – когда требуемый геометрический размер
рассчитывается на основе различных зависимостей между элементами
геометрических фигур напрямую или с использованием уравнений;
комбинированный – если в одних фазах решение выполняется по
геометрическому методу, а в других - по алгебраическому методу. Какой бы
28
путь ни был выбран, успех его использования, естественно, зависит от знания
теорем и умения их применять.
Алгебраический метод является основным методом решения
геометрических задач, который стоит освоить и разработать в первую
очередь. Алгебраический метод, точнее его основные модификации, может
быть достаточно алгоритмизирован.
1. Метод опорного элемента
Метод опорных элементов является основным методом построения
уравнений в геометрических задачах и состоит в следующем: один и тот же
элемент (сторона, угол, площадь, радиус и т. Д.) Выражается через известные
и неизвестные величины два разных способа, и полученные выражения
выровняются. Довольно часто площадь фигуры выбрана в качестве опорного
элемента. Затем они говорят, что метод площади используется для
составления уравнения.
Название предполагает, что основным предметом этого метода
является область. Для многих фигур, например для треугольника, площадь
просто выражается различными комбинациями элементов фигур
(треугольник). Следовательно, методика очень эффективна при сравнении
различных выражений для области данной фигуры. В этом случае создается
уравнение, содержащее известные и востребованные элементы фигуры,
решая то, что мы определяем неизвестным. Именно здесь проявляется
главная особенность метода площади - из геометрической задачи, которую
он «создает» алгебраически, сводя все к решению уравнения (а иногда и
системы уравнений). Сравнение выражений для самой области рисунка
может быть другим. Иногда площадь фигуры представляется как сумма
площадей ее частей. В других случаях выражения, основанные на разных
формулах площади, приравниваются к одному и тому же рисунку, что
позволяет получить связь между его элементами. Суть метода площади не
ограничивается методикой, описанной выше. Иногда полезно учитывать
29
пропорции площади фигур, одна из которых (или обе) содержит нужные
элементы.
2. Способ ввода вспомогательного элемента или параметра
а) вспомогательный отрезок.
Предполагается, что длина конкретного сегмента, включенного в
задачу о числе, равна, например, x, и тогда искомое значение найдено. Более
того, в некоторых случаях вспомогательная величина в процессе решения
задачи «исчезает» (уменьшается), а в других ее следует определять исходя из
этих условий и вводить полученное выражение для требуемой суммы.
б) вспомогательный треугольник
С дополнительной конструкцией (продление отрезка, геометрическое
преобразование) получим треугольник, который решит задачу. Как правило,
такой треугольник имеет два важных свойства для решения проблемы:
1) его элементы так или иначе связаны с элементами, возникающими в
состоянии проблемы;
2) для его элементов легче найти признаки, которые позволяют найти
решение, чем для фигур, непосредственно определяемых условием.
3. Метод дополнительного построения
Во многих случаях решение геометрических задач помогает вводить в
чертеж дополнительные линии, так называемые дополнительные
конструкции. В некоторых случаях эти конструкции предлагаются. При
решении нестандартных задач найти удачную вспомогательную
конструкцию не так просто. Это требует большого опыта, изобретательности,
геометрической интуиции. Спецификации для решения геометрических
задач с помощью дополнительного метода построения уже очевидны на
этапе построения чертежа. Довольно часто используются так называемые
«скелетные рисунки». Очень часто в задачах, в которых появляются круги,
сами круги не рисуются, а фиксируются только центр и радиус.
Дополнительная стандартная конструкция в трапециевидных задачах: мы
либо рисуем два перпендикуляра у основания и получаем прямоугольник и
30
два прямоугольных треугольника, либо рисуем линию, параллельную
стороне, и получаем параллелограмм и произвольный треугольник.
а) Удвоение медианы треугольника;
Очень часто, когда медиана треугольника появляется в проблемном
состоянии, может быть полезно расширить его за точку на стороне
треугольника на отрезок, равный самой медиане. Получающаяся новая точка
соединяется с вершинами исходного треугольника, в результате чего
получаются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов
этих треугольников помогает найти неизвестное значение или
продемонстрировать предлагаемое утверждение.
б) Проведение вспомогательной окружности;
4) Метод подобия.
Безусловно, проводится урок повторения курса планиметрии 7-9 класс
«В одной задаче - вся планиметрия», приведенный в приложении А.
Актуальность темы: выявить общие подходы к решению задач
планиметрии, используя теоретический материал, необходимый для
успешного решения задачи C-4 на экзамене с целью углубления их знаний по
геометрии.
Памятка для решения геометрических задач.
1) Прочитать условия задачи.
2) Выполнить чертеж с буквенными обозначениями.
3) Краткая запись условий (база знаний).
4) Деталировка – вычерчивание отдельных частей на дополнительных
чертежах; первоначально сложное задание делится на несколько простых
заданий.
5) Разработка цепочки действий.
6) Реализация алгоритма решения.
7) Проверка точности решения (логика доказательства, найденные
значения имеют геометрический смысл).
8) Ответ.
31
1. Треугольники
По пропорциям треугольники делятся на разносторонние и
равнобедренные (в том числе равносторонние).
Треугольники по градусной мере делятся на остроугольные,
прямоугольные и тупоугольные.
Признаки равенства треугольников:
1. По двум сторонам и углу между ними:
111
СВААВС
,
11
ВААВ
,
11
СААС
,
1
АА
2. По стороне и двум прилежащим к ней углам:
111
СВААВС
,
11
СВВС
,
1
ВВ
,
1
СС
3. По трем сторонам:
111
СВААВС
,
11
ВААВ
,
11
СВВС
,
11
АССА
Признаки подобия треугольников:
1.
111
СВААВС
, если
1
АА
и
1
ВВ
.
2.
111
СВААВС
, если
1
АА
,
1111
СА
АС
ВА
АВ
.
3.
111
СВААВС
, если
111111
СА
АС
СВ
ВС
ВА
АВ
.
Средняя линия – это линия, соединяющая средние точки двух сторон
треугольника.
Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с
центром противоположной стороны.
Биссектриса – это отрезок, который проходит от вершины
треугольника и делит угол пополам.
Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на
сегменты, пропорциональные соседним сторонам.
Высота – отрезок, идущий от вершины треугольника и
перпендикулярный противоположной стороне.
32
Серединный перпендикуляр – это прямая линия, проведенная через
середину стороны треугольника, перпендикулярно этой стороне.
Четыре замечательные точки треугольника:
1. Медианное пересечение (медианы пересекаются в одной точке).
2. Пересечение биссектрис является центром вписанной окружности
(биссектрисы пересекаются в одной точке).
3. Точка пересечения высот (высоты пересекаются в одной точке).
4. Пересечение центральных перпендикуляров является центром
ограниченного круга (центральные перпендикуляры пересекаются в одной
точке).
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не
пересекаются.
Аксиома параллельных линий: только одна параллельная линия
проходит через точку, которая не находится на данной линии.
Если полова пересекает две параллельные прямые линии, то лежащие
углы равны, соответствующие углы равны, а сумма односторонних углов
равна 180 °.
2. Четырехугольники
Четырехугольники могут быть выпуклыми и невыпуклыми.
Выпуклые четырехугольники по наличию параллельных сторон
делятся на параллелограммы (2 пары параллельных сторон), трапециевидные
(1 пара параллельных сторон) и общий вид (без параллельных сторон).
Специальные типы параллелограммов включают прямоугольники (4
прямых угла), ромбы (4 стороны равны), квадраты (имеют свойства
прямоугольников и ромбов).
Свойства параллелограмма:
1) У любого параллелограмма противоположные стороны равны,
противоположные углы равны, диагонали в точке пересечения делятся
напополам.
2) В прямоугольнике диагонали равны.
33
3) В ромбе диагонали равны.
Характер параллелограмма:
1. Если две стороны в квадрате одинаковы и параллельны, этот квадрат
является параллелограммом.
2. Если противоположные стороны в квадрате равны попарно, этот
квадрат является параллелограммом.
3. Если диагонали пересекаются в квадрате и делятся пополам
пересечением, этот квадрат является параллелограммом.
Некоторые типы трапеций включают равнобедренные (стороны
одинаковы) и прямоугольные (одна из сторон перпендикулярна основаниям).
Характеристики:
1) Средняя линия трапеции (отрезок, который соединяет средние точки
сторон) параллельна основаниям трапеции, а ее длина равна половине длины
оснований.
2) В равнобедренной трапеции диагонали одинаковы, углы у одного и
того же основания одинаковы.
3. Окружность и круг
Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек
плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Круг – это часть плоскости, ограниченной окружностью.
Радиус – отрезок, который соединяет центр круга с точкой окружности.
Хорда – это отрезок, который соединяет две произвольные точки в
окружности.
Диаметр – это хорда, которая проходит через центр круга.
Центральный угол – это угол, находящийся в центре окружности, его
значение совпадает со значением дуги, на которую он опирается.
Вписанный угол – угол с вершиной на окружности, измеряется
половиной меры дуги, на которую он опирается. Если проведены две хорды
AB и CD окружности, пересекающиеся в точке Р, то выполняется равенство:
PDСРРВАР
.
34
Если две хорды окружности параллельны, то меры степени дуг,
заключенных между ними, равны.
Касательная к окружности – это линия, которая имеет одну общую
точку с окружностью. Радиус, проведенный к точке касания,
перпендикулярен касательной.
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку
окружности, измеряется половиной градуса измерения дуги, заключенной
между касательной и хордой.
Теорема Птолемея для вписанных четырехугольников: произведение
длин диагоналей вписанного четырехугольника ABCD равно сумме
произведений длин пар противоположных сторон:
ADBCCDАВBDАС
Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его
противолежащих углов равны 180°.
Если четырехугольник ABCD описан около окружности, то суммы
длин его противоположных сторон равны.
Основные формулы
1. Произвольный треугольник (
cba ,,
– стороны;
,,
-
противолежащие им углы;
- полупериметр;
R
- радиус описанной
окружности;
r
- радиус вписанной окружности; S - площадь;
a
h
- высота,
проведенная к стороне :
p
S
r
,
S
abc
R
4
cos2
222
bccba
– (теорема косинусов);
R
cba
2
sinsinsin
– (теорема синусов).
2. Прямоугольный треугольник (
ba,
– катеты; с – гипотенуза;
cc
ba ,
–
проекции катетов на гипотенузу;
c
h
– высота, проведенная к гипотенузе):
35
abS
2
1
,
c
chS
2
1
2
cba
r
,
2
c
R
222
cba
– (теорема Пифагора);
3. Равносторонний треугольник:
4. Произвольный выпуклый четырехугольник (d
1
и d
2
– диагонали;
–
угол между ними; S – площадь):
5. Параллелограмм (a и b – смежные стороны;
– угол между
ними; h
a
– высота, проведенная к стороне a; S – площадь):
6. Ромб:
21
2
2
1
sin ddaahS
a
.
7. Прямоугольник:
sin
2
1
21
ddabS
.
8. Квадрат (d – диагональ):
2
2
2
d
aS
.
9. Трапеция (a и b– основания; h– расстояние между ними;
– средняя
линия; S – площадь):
10. Описанный многоугольник (p – полупериметр; r – радиус
вписанной окружности; S – площадь):
prS
11. Правильный многоугольник (a
n
– сторона правильного n –
угольника; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной
окружности; S – площадь):
12. Окружность, круг (r – радиус; C – длина окружности; S – площадь
круга):
rС
2
,
2
rS
13. Сектор (
– длина дуги, ограничивающей сектор; n°– градусная
мера центрального угла;
– радианная мера центрального угла; r – радиус; S
– площадь):
36
Образцы решения задач
Задача 1. В прямоугольном треугольнике (рис. 1) точка касания
вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти
катеты треугольника.
А
M
B
C
N
P
Рис. 1
Решение:
АМ = 5; ВМ = 12. Пусть радиус вписанной окружности равен r см.
По свойствам отрезков касательных, проведенных к окружности из
внешней точки: BM = BN, AM = AP.
Тогда BC = BN + NC = 12 + r,
AC = AP + PC = 5 + r, AB = BM + MA = 12 + 5 = 17.
По теореме Пифагора АВ
2
= АС
2
+ ВС
2
.
(r + 12)
2
+ (r + 5)
2
= 17
2
.
Упростив уравнение, получим r
2
+ 17 r - 6 = .
Его корни r
1
= - 2 (посторонний) и r
2
= 3.
Тогда АС = 5 + 3 = 8; ВС = 12 + 3 = 15.
Ответ: 8 см, 15 см.
Задача 2. В параллелограмме ABCD (рис.2) со стороной AD = 25
проведена биссектриса угла А, проходящая через точку Р на стороне ВС.
Найдите периметр трапеции APCD, если ее средняя линия равна 15, а
диагональ
465AC
.
37
M
А
B
C
D
P
N
Рис. 2
Решение:
1)
PADBAP
, так как АР – биссектриса; тогда
АВР –
равнобедренный (АВ = ВР);
2) MN – средняя линия трапеции APCD: 2MN = AD + PC; AD + PC =
30; PC = 5; BP = 20; AB = 20.
По теореме косинусов:
3) В
АВР: AP
2
= AB
2
+BP
2
- 2AB, BP,
cosAВР.
4) В
АВC: AC
2
= AB
2
+ BC
2
- 2AB
2
, BC,
cosAВР.
Из 4) находим
cos AВР =
8
1
; подставив найденное значение в 3),
получим АР
2
= 900, АР = 30.
5) P
APCD
= AP + РС + CD + DА = 30 + 5 + 20 + 25 = 80.
Ответ: 80.
Задача 3. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна
332
.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, где точки М, Р,
К - середины сторон шестиугольника ABCDEF соответственно.
Решение: Для наглядности изобразим правильный шестиугольник
(рис.3).
A
B
C
D
E
F
M
P
K
Рис. 3
38
1) По свойствам правильного шестиугольника BE = 2 AF =
364
.
2) ABEF - равнобедренная трапеция, в которой МК - средняя линия:
.348232
2
3
AF
2
3
2
BEAF
MK
3) Радиус искомой вписанной окружности
.24348
6
3
MK
6
3
r
Ответ: 24.
Задача 4. Углы при одном из оснований трапеции равны 75 и 15, а
разность квадратов длин ее оснований равна 8. Найти площадь трапеции.
Решение:
В трапеции ABCD
С
=15,
D
=75°(рис.4).
А B
C
D
P
Рис. 4
Продолжим боковые стороны AD и ВС до пресечения их в точке Р.
CРD – прямоугольный, так как
P
= 180°- (15°+75°) = 90°
S
ABCD
= S
CPD - S
BPA
Пусть AB = b, CD = a; по условию a
2
– b
2
= 8, ABIICD.
S
CPD =
2
1
; CP, DP, S
BPA =
2
1
BP, PA.
CP=a
15cos
, DP=a
15sin
, BP=b
15cos
.
AP=b
15sin
18
8
1
8
1
8
1
8
1
2222
babaABCD
Ответ: 1.
39
Домашнее задание № 1
1. В равнобедренном треугольнике АВС (рис 1) сторона АВ = ВС = 14,
медиана АD = 9. Найдите площадь треугольника АВС.
D
А
B
C
Рис. 1
Ответ: 72.
2. В равнобедренном треугольнике (рис. 2) основание равно 16, а
боковая сторона 10. Найдите расстояние между центрами его вписанной и
описанной окружностей.
А
B
C
О
Е
Рис.2
Ответ: 5.
40
3. Высота, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма (рис.
3 делит сторону, к которой проведена, на отрезки 2 и 8, считая от вершины
острого угла. Найдите площадь параллелограмма.
А
B
C
D
Е
Рис. 3
Ответ: 20.
4. В четырехугольнике ABCD длина стороны АВ составляет 12 см; sin
BAC =0,33; sin
ADB =0,44. Сумма углов
BAD и
BCD составляет.
Найдите длину стороны ВС.
А B
CD
Рис. 4
Ответ: 9.
5. Один из углов трапеции равен 60
0
(рис.5). Найдите меньшую
боковую сторону трапеции, если средняя линия трапеции равна 10 см, а одно
из оснований 8 см.
41
А
B C
D
M N
Рис. 5
Ответ: 6,8 см.
6. Найдите периметр правильного восьмиугольника ABCDEFGH (рис.
6), если площадь четырехугольника AСEG =
2238
.
A
B
C
D
E
F
G
H
Ответ: 32.
Вышеуказанные задачи не исчерпывают всех возможных типов задач
№6, №16, которые могут быть предложены на экзамене. Показаны некоторые
методы решения задач повышенной сложности, которые могут быть
использованы учителями математики при подготовке студентов к успешной
сдаче экзамена ЕГЭ.
ГЛАВА III. ВЛИЯНИЕ СОВРЕМЕННЫХ СРЕДСТВ ИКТ
НА КАЧЕСТВО ЗНАНИЙ ШКОЛЬНИКОВ
3.1 Особенности визуализации планиметрического
материала
42
В наше время в школах актуально использовать информационно-
коммуникативные технологии не только при изучении информатики, но и на
других предметах. Это происходит в связи со стремительным темпом
развития компьютерных технологий и Интернета.
Учитель, рационально использующий ИКТ на своих уроках, может
решить ряд проблем:
- повысить мотивацию школьников к изучению предмета
- визуализировать материал
- смоделировать различные ситуации, процессы и т.д.
- использовать разнообразные методы и формы обучения
По статистике, людям (включая детей школьного возраста),
свойственно запоминать 5% услышанного и 20% увиденного.
Если сопровождать объяснение материала аудио- и видеофайлами, то
запоминаемость материала увеличится до 40-50%. В настоящее время,
благодаря ИКТ, информацию можно подавать в разнообразной форме, что
делает процесс обучения более интересным, понятным, а значит,
эффективным. Отведенное на объяснение материала время значительно
сократится, а знания, полученные на уроке, надолго сохраняются в памяти
ребёнка.
Выше было сказано, что новые технологии позволяют визуализировать
изучаемый материал. Метод визуализации основан на одном из основных
дидактических принципов — принципе наглядности. Впервые наглядность
как принцип обучения ввел в теорию и практику обучения Я. А. Коменский.
По его мнению, наглядность является источником накопления знаний.
Песталоцци считал наглядность средством развития способностей и
духовных сил ребенка. Русский педагог К. Д. Ушинский доказал, что
наглядность отвечает психологическим особенностям детей школьного
возраста.
Без наглядности не обходится преподавание математики, а в
особенности геометрии. Формирование и развитие математических
43
способностей учащихся основано на развитии наглядно-действенного,
наглядно-образного, а в дальнейшем и абстрактного мышления. Реализовать
принцип наглядности, сделать математические факты зримыми и более
понятными учителю помогут «интерактивные геометрические среды» (ИГС).
В настоящее время известно большое количество программ
динамичной геометрии, которые имеют свои отличия.
Например, программа «GeoGebra». Данная среда является свободно
распространяемой и доступна для использования, как учителем, так и
учащимися всех уровней образования при различных формах проведения
занятий и при различной компьютерной оснащенности учебного класса.
Среда включает в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и
арифметику.
GeoGebra завоевала несколько образовательных наград в Европе и
США. Программу можно свободно скачать на компьютер, установить на
планшет или смартфон, а также использовать как приложение вашего
браузера. Модели, созданные в приложениях для мобильного телефона или
планшета, можно отправлять на e-mail или сохранять на диске. GeoGebra
обладает простым пользовательским интерфейсом и переведена на многие
языки мира. Работать с нею интересно и увлекательно, охватывает
аудиторию от 5 до 11 класса.
Примеры применения программы «GeoGebra» на уроках геометрии в 7
классе. Программу можно использовать при изучении темы «Градусная мера
улов». Работу по измерению величин различных улов можно
автоматизировать, что позволит сократить время и наглядно
продемонстрировать учащимся, что прямой угол равен 90 градусов,
развернутый – 180 градусов и так далее (рис. 1).
44
Рис. 1.
Так же с помощью данной программы можно реализовать и
визуализировать задачи на построение с помощью циркуля и линейки, в этом
поможет инструмент «Циркуль».
Задача: отложить от данного луча, угол равный данному (рис. 2).
Решение:
1. Провести окружность произвольного радиуса с центром в вершине
данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С.
2. Провести окружность того же радиуса с центром в начале данного
луча. Она пересекает луч в точке D.
3. Построить окружность с центром D, радиус которой равен ВС.
Окружности пересекаются в двух токах. Одну из них обозначим Е.
4. Угол ЕОМ — искомый.
Убедиться в правильности решения можно измерив данный и искомый
угол с помощью инструмента «Угол». Также можно убедиться, что чертеж
получился динамичным, изменяя с помощью мыши положение одного
объекта, меняется и положение другого.
45
Рис. 2.
Задача на построение циркулем и линейкой. В программе «GeoGebra»
есть прекрасная возможность показывать и скрывать необходимое объекты с
помощью флажков. Эту возможность можно реализовать, например, при
изучении темы «Медиана, биссектриса и высота треугольника». Заранее
подготовив, наглядный материал в среде «GeoGebra», с помощью флажков
скрывать или показывать изучаемый объект на уроке, тем самым
демонстрируя разницу между этими понятиями. (рис. 3).
Рис. 3
Можно развивать творческие способности учащихся, с помощью
дополнительных заданий, которые учащиеся могут выполнить дома
самостоятельно. Программа «GeoGebra» — это хороший инструмент для
визуализации решения различного рода задач не только геометрии, но и
алгебры, с помощью которого можно повысить интерес к изучаемому
предмету у слабо успевающих учащихся. повысить уровень самооценки,
46
развить навыки самоконтроля, побудить к открытию и изучению нового в
сфере информационных технологий, желанию поделиться с товарищами
своими знаниями.
В данном параграфе были рассмотрены примеры положительного
влияния визуализации на уроках геометрии.
3.2. Проведение педагогического эксперимента
Педагогический эксперимент проведён среди учащихся 7«а» и 7«б»
классов. Качество знаний 7 «а» класса – 74%, качество знаний 7 «б» класса
72%. Оба класса хорошо успевают по всем предметам, не имеют
аутсайдеров, выражен повышенный уровень мотивации к учёбе.
Целью эксперимента является изучение влияния визуализации, ИКТ на
усвоение новой информации школьниками.
Задачи эксперимента:
1. Провести урок у 7«а» класса с применением ИКТ
2. Провести урок у 7 «б» класса без применения ИКТ
3. Сравнить результаты путем проверки самостоятельных работ по
пройденной теме.
Чтобы узнать, как влияет применение ИКТ на восприятие нового
материала у школьников, был проведен педагогический эксперимент. Суть
эксперимента заключается в проведении двух уроков по геометрии у 7«а» и
7«б» классов. У 7«а» урок должен быть проведен с использованием
технических средств визуализации материала, у 7«б» должен быть проведён
традиционный урок. Тема урока: «Окружность и её элементы». Использован
учебник по геометрии 7-9 класс, авторы – Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф.,
Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Учащимся уже известна данная тема, они встречались с ней еще в 5
классе. Новым будет понятие «хорда» и решение задач.
На следующем уроке нужно провести самостоятельную работу по
данной теме и сравнить результаты двух классов.
47
Так как классы имеют приблизительно одинаковое качество знаний, то
результат будет иметь небольшую погрешность.
Если 7 «а» класс напишет работу лучше, чем 7 «б», значит технологии
влияют на усвоение материала, причем влияют положительно.
Конспект урока для 7 «а» класса.
Тема урока: окружность и её элементы
Тип урока : урок обобщения и систематизации
Цель урока: Систематизировать знания учащихся по теме окружность и ее
элементы.
Задачи:
Образовательные: отработка навыка решения задач по теме окружность,
уметь работать с текстом учебника по выделению главного, существенного;
Развивающие: развивать умение пересказывать, выделять главное, задавать
вопросы, оценивать;
Воспитательные: воспитывать познавательный интерес к предмету и
самостоятельности в суждениях; воспитывать умение работать в паре.
Структура урока
1) Организационный этап. Мотивация учебной деятельности учащихся (3
мин)
2) Постановка цели и задач урока. (1 мин)
3) Актуализация знаний (10 мин)
4) Применение знаний и умений в новой ситуации (10 мин)
5) Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.(11
мин)
6) Информация о домашнем задании. Инструктаж по его выполнению.(2 мин)
7) Рефлексия (1 мин)
8) Анализ и содержание итогов работы, формирование выводов по
изученному материалу. (2 мин)
Ход урока
1) Организационный этап. Мотивация учебной деятельности учащихся.
48
Сегодня на уроке мы систематизируем известные нам сведения о самой
простой из кривых линий. Древние греки считали эту фигуру венцом
совершенства. В каждой своей точке эта фигура устроена одинаковым
образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство стало
толчком к возникновению колеса. О какой фигуре мы говорим? (Слайд 1)
Ученики. Окружности (Слайд 2)
Действительно, самая простая из всех кривых линий - окружность. Как вы
считаете, какие предметы в нашем мире имеют форму окружности? (слайд 3).
Сформулируем тему сегодняшнего урока
Ученики. «Окружность и её элементы».
2) Постановка цели и задач урока.
Учитель. Сформулируйте цель урока.
Ученики (формулируют с помощью учителя): Систематизировать
знания учащихся по теме окружность и ее элементы
3) Актуализация знаний
Учитель. С окружностью и ее элементами мы знакомы из курса
математики, поэтому вы можете самостоятельно повторить данную тему,
прочитав п. 21 стр 42 учебника и ответить на следующие вопросы:
(Слайд 4)
4) Применение знаний и умений в новой ситуации
49
(Слайд 5)
Ответы:
1. Труегольников
3. АВ=СD
4. Радиусы
5. Равные
6. По третьему
7. ⦟АОВ = ⦟СОD
(Слайд 6)
Ответы:
1. Треугольники
2. Угла
5. По первому
6. MN=PK
50
(Слайд 7)
5) Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.
Учащимся предлагается решить задачу из учебника н. 147.
6) Информация о домашнем задании. Инструктаж по его выполнению:
(Слайд 8)
1. Выучить определения с. 42
2. н. 143, 146.
7) Рефлексия (подведение итогов занятия)
51
(Слайд 9)
8) Анализ и содержание итогов работы, формирование выводов по
изученному материалу (повторение определений).
Данный урок был построен на основе презентации в программе
PowerPoint. Слайды для презентации были подготовлены с помощью
программы GeoGebra, о которой было изложено в параграфе 3.1. Используя
данные программы, можно не тратить время на чертёж на доске. Дети видели
идеально ровные линии и контуры. По нажатию кнопки появлялась фигура, о
которой говорит учитель, таким образом, исключается вероятность того, что
ребёнок посмотрит на доску и не поймет, где находится данная фигура.
Можно перелистнуть слайд назад и показать снова, вместо того чтобы
стирать чертёж с доски и чертить снова. Это экономит много времени на
уроке для решения задач. Урок получается более продуктивным.
Конспект урока 7 «б» класса.
Цель урока: Систематизировать знания учащихся по теме окружность и ее
элементы.
Задачи:
Образовательные: отработка навыка решения задач по теме окружность,
уметь работать с текстом учебника по выделению главного, существенного;
Развивающие: развивать умение пересказывать, выделять главное, задавать
вопросы, оценивать;
Воспитательные: воспитывать познавательный интерес к предмету и
самостоятельности в суждениях; воспитывать честность, умение работать в
паре.
Тип урока: Урок систематизации знаний.
52
Структура урока
1) Организационный этап. Мотивация учебной деятельности учащихся (3
мин)
2) Постановка цели и задач урока. (1 мин)
3) Актуализация знаний (10 мин)
4) Применение знаний и умений в новой ситуации (10 мин)
5) Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.(12
мин)
6) Информация о домашнем задании. Инструктаж по его выполнению.(2 мин)
7) Рефлексия (2 мин)
Ход урока
I. Организационный момент
Учитель. Вокруг нас огромное множество разнообразных предметов, и
каждые из них можно сопоставить с одной или несколькими
геометрическими фигурами. Сегодня на уроке мы систематизируем
известные нам сведения о самой простой из кривых линий. Интересным
фактором, связанным данной геометрической фигурой было необычное
явление обнаружено в 2008 году в Великобритании, появление на полях
элементов данной фигуры, которые соединены диаметральными ступеньками
говорят, что они кодирует первые десять цифр знаменитой математической
константы Пи. Однако до конца это явление не было изучено и истинная
причина появления этой геометрической фигуры пока неизвестна. Кроме
того, это одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности
придавали ей большое значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из
которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться
по самой совершенной линии. Сотни лет астрономы считали, что планеты
двигаются по этой кривой линии. Это ошибочное мнение было опровергнуто
лишь в XVII в. учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.
Конечно, вы догадались, какую геометрическую фигуру мы будем
изучать.
53
Итак, о какой геометрической фигуре мы будем сегодня говорить?
Ученики. Об окружности.
Учитель. Действительно, самая простая из всех кривых линий -
окружность. Запишем тему урока «Окружность и её элементы».
Сформулируйте цель урока.
II. Изучение нового материала.
Учитель. С окружностью и ее элементами мы знакомы из курса
математики, поэтому вы можете самостоятельно повторить данную тему,
прочитав п. 21 стр 43 учебника.
I вариант
А теперь, заполните пропуски так, чтобы утверждения были верными:
1. Геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на
заданном расстоянии от данной точки, называется _________________.
2. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности,
называется _____________________.
3. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется
___________________.
4. Хорда, проходящая через центр окружности, называется ____________.
5. Часть окружности, ограниченная двумя точками, называется
__________________.
54
II вариант
Соедините линями соответствующие части высказываний:
1. Диаметр окружности –
это …
… геометрическая фигура,
состоящая из всех точек,
расположенных на заданном
расстоянии от данной точки.
2. Дуга окружности – это
…
… отрезок, соединяющий
центр с какой-либо точкой
окружности.
3. Окружность – это …
… хорда, проходящая через
центр окружности.
4. Радиус окружности – это
…
… отрезок, соединяющий две
точки окружности.
5. Хорда окружности – это
…
… часть окружности,
ограниченная двумя точками.
Учитель. После выполнения теста, обменяйтесь вариантами в паре, и
оцените знания соседа.
III. Закрепление изученного материала.
Решим задачи по готовым чертежам. Чертеж к задаче на доске.
Учащимся предлагается обсудить решение в паре. Затем решение
обсуждается с классом.
Задача 1.
55
Дано: АВ и СЕ – диаметры
окружности
Доказать, что АЕ=СВ.
Задача 2.
Дано:
АОВ=90
0
, СВ –
диаметр
Доказать, что АС=АВ
Физкультминутка. (Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.)
Гимнастика для глаз
• Движение глаз по горизонтальной линии вправо-влево.
• Движение глаз по вертикальной линии вверх-вниз.
• Круговые движения открытыми глазами по часовой и против часовой
стрелке.
• Сведение глаз к переносице, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз к кончику носа, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз ко лбу, затем смотреть в даль.
Упражнения для верхнего грудного отдела
позвоночника
• «Нахмурившийся ёжик»: плечи вперёд, подбородок к груди; плечи назад,
голову назад.
• «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять положение рук.
• Поднимание и опускание плеч вверх и вниз.
56
• Круговые движения плечами вперёд и назад.
IV. Самостоятельное применение знаний
3. № 147 – решаем самостоятельно по вариантам; двое учеников
решают за доской.
V. Подведение итогов урока
1. Сформулируйте понятие окружности и покажите на рисунке все
её элементы.
2. Устно решить задачи по готовым чертежам:
1.
Дано:
На рисунке хорды АВ и СD равны.
Докажите, что ∠АОВ = ∠СОD.
2.
Дано:
На рисунке ∠ MON = ∠ QOP.
Докажите, что хорды MN и QP равны.
57
3.
Дано:
На рисунке O – центр окружности.
Через концы отрезка АВ проведены АD и
ВС, перпендикулярные к прямой АВ.
Докажите, что ∠ АDО = ∠ ОСВ.
Выставляются оценки.
VI. Домашнее задание
1. П. 21, Ответьте на вопрос № 16 стр. 50 № 144, № 146
2. Задачка для любознательных: AB и CD – два диаметра окружности
с центром и точке О. Луч ОЕ – биссектриса угла АОС. ОЕ
пересекает окружность в точке К, причем КЕ = КО. Периметр
треугольника КСО в три раза больше радиуса окружности.
3. Подготовить сообщение по теме: «Интересные факты о
геометрической фигуре - окружность»
VII. Рефлексия
Учитель. Удовлетворены ли вы своей работой на уроке?
Если «Да» чертим окружность, если «Нет» - овал.
На следующий урок учащимся предлагается самостоятельная работа.
58
В данном параграфе было рассмотрено описание педагогического
эксперимента, небольшой анализ классов, конспекты уроков.
3.3. Анализ результатов педагогического эксперимента
После проведения самостоятельной работы были получены следующие
результаты.
Ученик 7 «а»
Отметка
Аванесов Д.
4
Андрианова А.
3
Бабкина П.
5
Баблакова К.
5
Баутина А.
5
Белая Ю.
3
Белоногова С.
5
Бородяев М.
4
Воробьёва С.
5
Воротилов И.
5
Горбачев Е.
4
Данилов Д.
4
Коврыжко К.
5
Кузьминова Е.
5
Куркин С.
4
Лутченко А.
5
59
Минаков И.
5
Новикова К.
5
Оразаев Е.
4
Орехов А.
4
Разинкина А.
5
Солонкина И.
3
Степанова Е.
5
Тарасова А.
4
Терещенко Е
4
У А.
3
Успенская Ю.
5
Царева С.
5
Шепелев К.
5
Ученик 7 «б»
Отметка
Агафошина А.
3
Алексеев Д.
5
Афанасьев К.
4
Бесштанов С.
4
Борисова В.
5
Веряев С.
5
Володина А.
5
Гусева З.
3
Дерендяева И.
3
Жарова А.
4
Зотова С.
5
Зубкова П.
4
0
1
2
3
4
5
6
Аванесов Д.
Андрианова
…
Бабкина П.
Баблакова К.
Баутина А.
Белая Ю.
Белоногова
…
Бородяев М.
Воробьёва С.
Воротилов И.
Горбачев Е.
Данилов Д.
Коврыжко К.
Кузьминова
…
Куркин С.
Лутченко А.
Минаков И.
Новикова К.
Оразаев Е.
Орехов А.
Разинкина А.
Солонкина И.
Степанова Е.
Тарасова А.
Терещенко Е
У А.
Успенская Ю.
Царева С.
Шепелев К.
Результаты работы 7 "а" класса
60
Иванищев А.
3
Ильин А.
5
Канцер Е.
5
Кокорин А.
5
Куликова Д.
4
Лукьянов А.
4
Митронов А.
4
Морозова С.
4
Непляхович К.
5
Николенко Т.
5
Прошляков А.
4
Пчелкина В.
3
Романова Е.
3
Секретарев В.
4
Семенов В.
4
Соколенко К.
4
Яшков Е.
5
Исходя из полученных данных, получим таблицу.
Класс
Отметка «3»
(штук)
Отметка «4»
(штук)
Отметка «5»
(штук)
7 «а»
4
9
16
7 «б»
6
12
11
Исходя из данных таблицы, можно посчитать средний балл класса.
Средний балл 7 «а» класса равен 4,41 балла
0
1
2
3
4
5
6
Результаты работы 7 "б" класса
61
Средний балл 7 «б» класса равен 4,17
Вывод: класс, в котором проводился урок с применением ИКТ, усвоил
информацию лучше, чем класс, в котором проводился традиционный урок.
Рефлексия в конце урока показала, что учащимся очень понравилось
работать с презентацией, это удобно и более понятно.
Рекомендации учителям по применению ИКТ на уроках
Преимущества использования технических средств:
1. Яркое, иллюстративное изложение изучаемого материала делает
учебный процесс разнообразным, нескучным.
2. Учебный материал излагается в доступной форме.
3. Анимированные схемы и презентации помогают лучше разобраться в
большом объёме информации, изучить отдельные аспекты в наглядной
форме, что способствует и лучшему запоминанию.
4. Подборка интерактивных тестов даёт возможность проверить знания
учащихся на основе объективной автоматизированной оценки.
Компьютерные обучающие программы имеют много преимуществ
перед традиционными методами обучения. Они позволяют заинтересовать,
вовлечь в учебный процесс даже самого слабого ученика.
Очень полезно использовать на уроках в процессе объяснения и
закрепления нового материала презентации. Презентация составляется в той
форме, которая кажется учителю наиболее эффективной, есть возможность
составить ее дифференцированно для каждого класса с учетом его
особенностей. Их можно накапливать, постепенно дорабатывать и в итоге
собрать банк по всем основным темам. В средних и старших классах
учащиеся с удовольствием сами участвуют в этом процессе, составляя
презентации по пройденным темам, демонстрируя их классу.
Опыт работы показал, что у учащихся, активно работающих с
компьютером, формируется более высокий уровень самообразовательных
навыков, умений ориентироваться в бурном потоке информации, умение
выделять главное, обобщать, делать выводы. Использование ИКТ на уроках в
62
школе является одним из важных средств формирования информационных
компетенций учащихся. На таких уроках они не получают информацию в
“чистом виде” от учителя, а учатся ее добывать, анализировать, осуществлять
отбор, что и является составляющими частями информационной
компетентности.
Формирование ИКТ - компетентности не просто требование времени, а
необходимость для любого человека, живущего в условиях
информационного общества.
Использование ИКТ на уроках способствует эффективному решению
таких педагогических проблем, как:
- развитие коммуникационных компетенций у всех школьников;
- сближение обучения в школе с повседневной жизнью общества;
- обогащение формального учебного материала, к которому имеют
доступ школьники;
- включение в содержание образования освоение методов,
специфичных для научной деятельности (например, метод проектов),
широкое использование моделирования при изучении различных процессов и
явлений и, в целом, овладение учащимися информационной
компетентностью.
В настоящее время главной задачей учителей, становится обеспечение
условий для широкой межпредметной интеграции и индивидуализации
обучения. Использование ИКТ на уроках - достаточно новое для школы
явление, способствующее выполнению поставленной задачи. В
использовании ИКТ есть как свои плюсы, так и минусы. Начнём с плюсов.
1. В сегодняшних условиях применение компьютера позволяет
значительно расширить границы урока. Создаётся новая система работы с
иллюстративным материалом, возможность его сведения к единому формату.
2. Появляются новые варианты использования, казалось бы,
традиционных форм.
63
3. Это работа самих учащихся. Мои ученики сами активно работают в
данном направлении, они создают авторские презентации, защищают свои
рефераты и исследовательские работы с использованием компьютера.
4. Облегчение физической нагрузки педагога. Вместо кипы журналов и
книг с маленькими, не всегда чёткими и потому не всем видными
иллюстрациями, вместо магнитофона и кассет учитель приходит на урок с
диском или флеш -картой.
5. Грамотный педагог, создавая урок в рамках данной системы,
начинает видеть занятие по-другому, начинает творить, развиваться, а умелое
использование анимации приводит к созданию эксклюзивных методических
приёмов.
Минусы:
Во-первых, техника может отказать, погаснет свет, не включится
вовремя музыка, не сработает анимация в связи с разницей офисных
программ; поэтому не факт, что не пригодится запасной, классический
вариант с доской, магнитофоном и т.д.
Во-вторых, качество оборудования не всегда соответствует задаче
урока. Школы не могут позволить себе дорогие проекторы. Если для урока,
математики цвет объекта не важен, то на уроке истории, особенно при работе
с картой играет значимую роль.
В-третьих, погубить урок может и презентация, в основе которой лишь
прописанные вопросы и картинки к ним, таких сейчас много.
Четвёртый минус вытекает из вышесказанного. На данный момент нет
методического пособия по использованию ИКТ на уроках, не выявлены
основные приёмы и методы работы в данном направлении, и учителю
приходится интуитивно их находить. Трудно и оценивать такие уроки, ведь
применить к ним классические схемы анализа трудно, а новых форм нет.
Каковы же результаты использования ИКТ на уроках?
Это повышение интереса к предмету. Ученики хорошо делают тесты,
участвуют и побеждают на предметных олимпиадах, успешно участвуют в
64
конкурсах, в конкурсах исследовательских работ. Анализ по проблеме
применения информационной технологии в процессе обучения показал, что
важным методическим принципом применения компьютерных программ
является их совместимость с традиционными формами обучения. При
планировании уроков необходимо найти оптимальное сочетание таких
программ с другими (традиционными) средствами обучения. Сейчас
предлагается большое количество медиа-продукции, которую можно
использовать в своей работе, но не вся она отвечает тем требованиям,
которые предъявляются учителями. Не всегда предлагаемый продукт
помогает добиться поставленных целей. Собственный опыт применения
компьютерных технологий на уроках, позволяет говорить о повышении
познавательной активности учащихся, учебной мотивации и, в целом,
формировании информационной компетентности учащихся.
65
Заключение
Сформулируем выводы и полученные результаты проведенного
исследования.
Проблема обучения школьников тому, как решать задачи, всегда была
и остается одной из главных проблем в обучении математике.
Педагогическая практика, а также результаты математических экзаменов
показывают низкое качество геометрических знаний и навыков учащихся.
Это объясняет относительную сложность этого предмета по сравнению с
другими дисциплинами математического цикла и традиционно небольшое
количество времени, затрачиваемое на его изучение. Следует отметить, что
решение проблем является одним из основных направлений деятельности в
преподавании геометрии.
В данной работе были разработаны методические материалы для
подготовки школьников к решению геометрических задач в рамках экзамена
по математике на профильном уровне.
Целью работы была разработка учебного модуля по планиметрическим
задачам школьного курса математики в контексте реализации ФГОС.
В ходе практической работы были проанализированы учебники по
геометрии. Анализ показал, что в учебнике И. Шарыгина реализована
авторская эмпирическая концепция построения курса по школьной
геометрии. Это в основном выражается отказом от аксиоматического
подхода. Вместо аксиом вводятся основные свойства плоскости, уменьшая
роль формальных логических рассуждений. Совместное изучение плоской и
пространственной геометрии. Большое внимание уделяется методам решения
геометрических задач. Планиметрические задачи рассматриваются не только
на плоскости, но и на пространственных объектах. Система заданий
дифференцирована по уровням сложности, в теоретической части разделы
предназначены для углубленного обучения. Количество задач, направленных
на разработку теоретического материала, увеличено. Заключительный тест
включен для оценки знаний учащихся на протяжении всего курса.
66
В учебниках Атанасяна Л.С. реализован аксиоматический подход при
построении курса геометрии. Как и многие авторы, он предлагает изучать
геометрию с 7 класса. Выделяется теоретическая часть: ряд аксиом,
основных теорем и следствий. На начальном этапе теоремы могут быть
подтверждены наложением, например, знаков равенства треугольников, что
оправдано на начальном этапе изучения и усвоения учащимися нового
предмета. Некоторые теоретические факты, которые используются в более
подробном исследовании, даны в форме задач, а не в форме теорем, что
затрудняет их ссылку в более поздних работах. В учебниках также уделяется
внимание практическому применению геометрии, ее связи с архитектурой.
Теоретический материал представлен кратко и строго.
Геометрическая подготовка выпускников школ по-прежнему остается
низкой, поэтому учителям необходимо уделять больше внимания
преподаванию курсов геометрии в начальных и средних школах, чтобы в
процессе обучения учащиеся не только осваивали теоретические факты
курса, но и приобретали способность приводить разумные аргументы в
решении геометрических задач и математически грамотно сохранить
полученное решение.
Методология подготовки школьников к единому государственному
экзамену по математике в основном предполагает решение задач по заданной
теме. Когда дело доходит до подготовки к решению геометрических задач на
экзамене, возникает больше трудностей, чем решение алгебраических задач.
Невозможно решить все возможные проблемы с геометрией, которые могут
возникнуть во время экзамена. Хотя выбор такого минимума вполне
реалистичен. В методической литературе их называют ключевыми, базовыми
Д. Ключевой задачей является своего рода поддержка решения других, в том
числе нестандартных задач.
Таким образом цель достигнута, задачи решены.
67
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебра. Сборник рабочих программ. 7-9 классы. Пособие для
учителей. – М.: Просвещение, 2018.
2. Алексеев В.Б., Галкин В.Я., Панферов В.С. Геометрия. 9 класс: Рабочая
тетрадь к учебнику И.Ф. Шарыгина «Геометрия 7-9» / В.Б. Алексеев,
В.Я. Галкин. - М: Дрофа, 2018.
3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и другие Геометрия 7-9:
Учебник / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов. - М: Просвещение, 2008.
4. Брудно, А.Л. Вокруг циркуля / А.Л. Брудно // Квант, 1974. – № 10. –
5. С. 2-9.
6. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Методическое пособие к
углубленному курсу развивающего математического образования / В.Г.
Болтянский, Г.Д. Глейзер. - М: Институт учебника «Пайдейя», 2018.
7. Вернер, А.Л. Геометрия. Методические рекомендации. 7 класс:
учеб. пособие для общеобразоват. организаций / А.Л. Вернер, В.И.
Рыжик, Т.Г. Ходот. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 132 c.
8. Гордин Р.К. ЕГЭ 2014. Математика. Решение задачи С4. - 3-е изд. доп.
– М.: МЦНМО, 2019. – 448 с.
9. Методика преподавания геометрии: Планиметрия: Пособие для
учителей сред. школы. – М.: Учпедгиз, 1959. - 392 с.
10. Гильберт Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. – М.: Гостехиэдат,
1948.
11. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Геометрия / В.А. Гусев,
В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 1992.- 352 с.
12. Каган В.Ф. Лобачевский. - М.: АН СССР, 1948. - 525 с.
13. Калинченко, А.В. Методика преподавания начального курса
математики: Учебное пособие / А.В. Калинченко. - М.: Academia, 2018.
- 320 c.
14. Карелина, Т.М. О проблемных ситуациях на уроках геометрии /
68
Т.М. Карелина // Математика в школе. – 1999. – №6. – С. 19.
15. Колягин, Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе.
Общая методика [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат.
факультетов пед. вузов / Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я.
Саннинский, Г.Л. Луканкин. – М.: «Просвещение», 1975. – 462 с.
16. Ляпин, С.Е. Методика преподавания математики в восьмилетней
школе / С.А. Гастева, Б.И. Крельштейн, С.Е. Ляпин, М.М. Шидловская;
под общ. ред. С.Е. Ляпина. – М.: Просвещение, 1965. – 742с.
17. Материалы по методике геометрии: Пособие для начинающих препода
вателей / А. Острогорского. – СПб.: тип. М.М. Стасюлевича, 1884. - 176
с.
18. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ:
решение планиметрических задач (С4). – Ростов-на-Дону, Легион,
2014. – 208 с. – (Готовимся к ЕГЭ.).
19. Репьев В.В. Очерки по методике преподавания геометрии.
Планиметрии / В.В. Репьев. – М.: Московская правда. - 1959г. - 275 с.
20. Учебно-методические материалы для председателей и членов
региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий
с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2019 года. ФИПИ.
21. Шарыгин, И.Ф. Геометрия. 7-9 классов: учеб. для общеобразоват.
учреждений / И.Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 2012. – 462 с.
22. Шебанова, Л.П. Развитие пространственного мышления учащихся в
процессе обучения решению геометрических задач на построение /
Л.П. Шебанова, З.И. Янсуфина // Математический вестник педвузов и
университетов Волго-Вятского региона. – 2012. – № 14. – С. 417.
23. Юшкевич А. П. Академик С. Е. Гурьев и его роль в развитии русской
науки: Труды института истории естествознания /А.П. Юшкевич, С.Е.
Академик. - М.: 1947, с. 219-268.
69
24. Проект Федерального государственного образовательного стандарта
основного общего образования - Режим доступа: https://www.preobra.ru
(Дата обращения 11.06.2019).
25. Ященко, И. В. Методические рекомендации для учителей,
подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ
2018 года по математике // Ященко И. В., Семенов А. В., Высоцкий И.
Р. Федеральный институт педагогических измерений. - М.: 2018. - 26 с.
- Режим доступа: http://fipi.ru
70
Приложение А
Урок повторение курса планиметрии 7-9 класс.
«В одной задаче - вся планиметрия »
Цели урока:
Обучающие:
повторить и систематизировать курс планиметрии на примере решения
одной задачи разными способами;
продолжить формирование умений и навыков по решению задач;
проконтролировать степень усвоения знаний, умений и навыков по
теме.
Развивающие:
развитие навыков исследовательской деятельности (анализ, сравнение,
обобщение);
развивать логическое мышление для осознанного восприятия учебного
материала;
продолжить работу по развитию математической речи.
Воспитывающие:
продолжить формирование навыков эстетического оформления записей
в тетради;
развитие познавательного интереса при исследовательской
деятельности, уверенности в собственных силах.
Формирование универсальных учебных действий:
личностные действия: уметь создавать благоприятную
дружескую атмосферу вокруг себя, быть вежливым, воспитанным,
корректным; формирование качеств личности, необходимых человеку для
полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли,
критичность мышления, элементы алгоритмической культуры,
способность к преодолению трудностей.
71
регулятивные действия: уметь планировать свою
деятельность, ставить перед собой задачи, делать выводы,
контролировать свои действия; оценивать полученный результат; быть
внимательным.
познавательные действия: уметь определять применение
различных способов решения задачи; уметь доказывать и опровергать
утверждения, используя очевидные или изученные ранее геометрические
определения, теоремы и свойства геометрических фигур; строить
логические цепочки.
коммуникативные действия: уметь работать в группе,
принимая равное участие; уметь выслушать и помочь товарищу.
Ход урока
1. Организационный момент
Сообщение темы и плана работы на уроке.
2.Фронтальная работа
Повторение необходимого теоретического материала:
- теорема Пифагора;
- формула Герона;
- теорема косинусов;
-соотношения между сторонами и углами прямоугольного
треугольника;
- формула площади трапеции;
- признаки подобия треугольников.
Комплектуются 6 групп по уровню подготовленности учащихся.
Задача.
В трапеции диагонали длиной 6см и 8 см взаимно перпендикулярны.
Найти длину средней линии трапеции.
В ходе проведения мозгового штурма участники
высказывают большое количество способов решения задачи. Создается банк
идей. Примерное время проведения 10 – 15 минут. На этом этапе
72
происходит наработка возможных решений. Все предложения фиксируются
учителем на доске. Происходит коллективное обсуждение, анализ и критика
всех предложений. Желательно в каждой идее найти что-то
положительное, значимое, и рассмотреть возможность ее применения в
иных условиях. Возможно, для этого нужно будет ее немного
подкорректировать, усовершенствовать. Выбираются «удачные идеи».
Группам предлагается решить данную задачу тем или иным способом.
На доске указан способ или примерный план (зависит от уровня
подготовки учащихся) решения задачи.
№1
1. Выполним дополнительное построение: DK II АC.
№2
1. Выполним дополнительное построение: CE II BD.
№3
1. MN-средняя линия трапеции . Проведем МК II BD и соединим
точки N и К.
№4
1. Выполним дополнительное построение. Рассмотрим
четырехугольник с вершинами в серединах сторон трапеции.
№5
1. Рассмотрим треугольники АОD и ВОС.
2. Из подобия этих треугольников выразим стороны ВО через ОС.
3. Из треугольника ВОС найдем ВС.
4. Найдем МN.
№6.(тригонометрический)
1. Рассмотрим треугольники АОD и ВОС.
2. Из подобия этих треугольников выразим стороны ВО через ОС.
3. Найдем tg и cos угла BCO.
4. Из треугольника AOD найдем AD.
Ребята могут найти и другие способы решения этой задачи.
73
3. Работа у доски.
Представитель каждой группы решает задачу своим способом.
Учащиеся записывают этот способ к себе в тетрадь.
4.Рефлексия.
5. Подведение итогов урока.
На этом уроке мы с вами повторили и систематизировали курс
планиметрии на примере решения одной задачи разными способами. Мы
продуктивно поработали. Учитель ставит оценки за урок учащимся.
6.Домашнее задание. Задача.
Земельный участок, имеющий форму трапеции, отдан под спортивный
городок. Найдите площадь земельного участка, у которого основания равны
15см и 5см, а боковые стороны равны 8см и 6см.
Преимущества:
1. Приобщение к важным навыкам жизни (действенное общение,
умение слушать, умение разрешать конфликты, умение работать сообща для
достижения общей цели, умение выслушивать точку зрения другого и т.д.).
2. Формируется мотивация учения и обучения.
3. Работа в группе помогает ребенку не только учиться, но и
проявить себя, так как в группе нет подавляющего авторитета учителя и
внимания всего класса.
4. Воспитывается взаимоуважение.
5. Укрепляется дружба, улучшаются межличностные отношения;
устанавливается психологический комфорт в коллективе.
6. Появляется возможность избежать негативных сторон
соревнования.
7. Ребята убеждаются в ценности взаимопомощи; порождает
взаимную ответственность, внимательность, формирует интерес к работе
товарища.
8. Реализуется принцип деятельности.
9. Достигается всеобщий и всеохватывающий контроль знаний.
74
10. Учащиеся усваивают больший объем материала.
11. Обеспечивается единство воспитания и обучения.