Нестандартные задачи по алгебре как средство организации исследовательской деятельности обучающихся

Подробнее

Размер

773.13K

Добавлен

12.12.2021

Скачиваний

2

Добавил

Tat

Тип работы

Вуз

Текстовая версия:

Содержание


Введение

Актуальность исследования заключается в том, что нестандартные задачи способствуют повышению мотивации к изучению математики; развивают мышление и творческую активность; формируют умения и навыки для решения практических задач; изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к олимпиадам и ГИА (ЕГЭ).

Обновление содержания среднего образования одно из главных условий повышения конкурентоспособности образования и науки, развития человеческого капитала для устойчивого роста экономики России. Будут выработаны новые подходы в формировании у учащихся старших классов прикладных компетенций и до профессиональных знаний и навыков в период подготовки их к профессиональному образованию и деятельности, что является одной из важнейших задач общенациональной идеи.

Одним из основных показателей уровня развития математического и логического мышления учащихся является умение решать математические задачи. Но в учебниках по математике в основном представлены стандартные задачи, т.е. задачи, направленные на формирование и закрепление учебной деятельности конкретных навыков по заданному образцу.

Нестандартными задачами назовем задачи, для которых в курсе математики не имеется общих положений и правил, дающих конкретную программу их решения.

Проблема исследования заключается в необходимости выявления основных подходов к решению нестандартных математических задач.

Цель исследования - создание условий для изучения математики путём создания условий для развития логического мышления, математической культуры и интуиции учащихся посредством решения задач повышенной сложности нетрадиционными методами.

Задачи исследования:

Объект исследования – нестандартные задачи по математике.

Предмет исследования - основы формирования исследовательской деятельности в школе.

Для решения поставленных задач применялись теоретические методы исследования: изучение и анализ литературы, теоретический анализ, методы логических обобщений, методы обработки данных: методы количественного (статистический) и качественного (дифференциация материала по группам, их анализ) анализа; а так же эмпирические методы исследования.

Теоретическая значимость – работы заключается в систематизации и обобщении современных представлений о формировании исследовательской деятельности в школе.

Практическая значимость состоит в том, что была изучена специфика ознакомления детей с нестандартными задачами. Материалы исследования могут быть использованы в деятельности педагогов.

Структура работы

Во введении обозначена актуальность исследования, поставлена цель исследования, определены задачи для ее достижения.

Первая глава раскрывает теоретические основы формирования исследовательской деятельности в школе.

Вторая глава рассматривает нестандартные задачи по алгебре как средство организации исследовательской деятельности обучающихся.

В заключении содержатся выводы по проведенному исследованию

В списке литературы представлен материал по которому проведено исследование.

Глава 1. Теоретические основы формирования исследовательской деятельности в школе

1.1.Понятие исследовательской деятельности

Методологической основой модернизации российской школы является федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС ОО), реализация которого закреплена ФЗ № 273 «Об образовании РФ». Согласно требованиям образовательного стандарта организация учебной деятельности - важнейшая, но достаточно сложная задача [1].

В содержании этого документа подчеркивается, что ведущим видом учебной деятельности обучающихся выступает учебно-исследовательская и проектная деятельность. Программы всех школьных предметов, в том числе по биологии и основам безопасности жизнедеятельности ориентированы на решение этой задачи. Следовательно, каждый обучающийся должен быть обучен способам выполнения указанных видов деятельности.

Под исследованием подразумевают деятельность, связанную с решением обучающимися проблемы с заранее неизвестным решением и предполагающим наличие основных этапов, характерных для научного исследования, и получение в результате объективно новых научных знаний.

Основными этапами исследования являются: постановка проблемы, изучении теории, подбор методик исследования, сбор собственного материала, выводы. Исследовательская деятельность подразделяется на научное исследование и учебное исследование.

Принципиальное отличие учебно-исследовательской деятельности от научного исследования состоит в том, что главным результатом исследовательской деятельности школьников - открытие знаний, новых для них самих, но не для науки [3].

Исследовательская деятельность превращает участника из пассивного наблюдателя и потребителя в успешную, креативную, состоявшеюся личность. Исследовательская деятельность стимулирует мышление. Для развития творческих способностей обучающихся главным является исключение преобладающей роли учителя. Это очень сложно.

Сформировать ключевые компетенции, без которых будет невозможна учебно-исследовательская деятельность обучающихся невыполнимо без взаимодействия, обучающегося с учителем. На первом этапе учитель должен умело подобрать команду учащихся для выполнения определенной задачи, давая всем участникам понять, что без их знаний и умений невозможно обойтись при этом виде работы. Необходимо также подтолкнуть их к четкой формулировке цели и задач проекта.

На дальнейших этапах учитель должен оставаться консультантом, к которому всегда может обратиться любой учащийся, если ему необходима помощь. Учитель должен уметь грамотно направить учащихся в нужную сторону, оказать информационную поддержку, координировать совместную работу команды, выполнять экспертную оценку, определять дальнейший план работы, осуществлять обратную связь [4].

Исследовательская деятельность помогает сформировать у обучающихся навыки практического применения теоретических знаний. Этот вид деятельности помогает развивать мышление и логику. Учит определять цель, ставить перед собой и командой необходимые задачи и находить нестандартные способы их достижения.

Виды исследовательской деятельности: теоретическое исследование: оно выражается в изучении литературы, подготовке докладов, статей, тематических конференций и т. д.; прикладные, опытно-проблемные исследования: индивидуальные эксперименты; системные, комплексные исследования.

Например: проведение школьного мониторинга с целью изучения оценки состояния и слежения за изменениями окружающей среды своей местности [4].

Причины введения исследовательской деятельности в учебный процесс: исследовательская работа позволяет получить дополнительную информацию и знания по предмету; учит публично представлять результаты изысканий на конференциях и семинарах; имеет важное воспитательное значение [30].

Учебно-исследовательская деятельность - это специально организованная, познавательная, творческая деятельность обучающихся, по своей структуре соответствующая научной деятельности, характеризующаяся целеноправленностью, активностью, предметностью и результатом которой является формирование познавательных мотивов, исследовательских умений, субъективно новых для обучающихся знаний и способов деятельности [15].

Определяющими функциями ученического исследования в образовательном процессе являются: способы повышения продуктивности усвоения школьниками знаний; умений, навыков; принятие государственных образовательных программ среднего общего образования и соответствие соответствующим федеральным государственным образовательным стандартам; пути становления и дальнейшего развития психических функций индивида, общих и специальных способностей личности, мотивационных установок обучающихся; варианты профориентации и начальной профессиональной подготовки; средство приобщения молодого поколения к культурным ценностям и традициям научного сообщества [11].

Учебно-исследовательская деятельность - это простейшая исследовательская деятельность, облечённая в учебный процесс, цель которой состоит в обучении школьников началам научного подхода к процессу исследования.

Основными задачами учебно-исследовательской деятельности являются, рисунок 1.

Рисунок 1 - Основные задачи учебно-исследовательской деятельности

Следовательно, учебно-исследовательская деятельность значительно помогает выработать следующие умения: планировать работу; использовать разнообразные виды информации; анализировать собранную информацию; независимо принимать решения; работать в команде, распределяя обязанности; просчитывать результативность; отстаивать собственное мнение; оценивать свои действия.

Специфика учебно-исследовательской деятельности определяет многообразие форм её организации. В зависимости от урочных и внеурочных занятий учебно-исследовательская деятельность может приобретать разные формы.

1.2. "Формирование исследовательской деятельности школьников на уроках математики

Современная реальность образовательного процесса выражается в возросшей потребности продуцирования школой творчески мыслящих людей, ярких личностей, способных к адаптивному взаимодействию по варианту обновления среды, т.е. использующих нешаблонные или неизвестные ранее способы.

Учебно-исследовательская деятельность готовит учащихся к новым общественным отношениям, развивает личностно-значимые качества учащихся, необходимые им для успешного самоопределения в дальнейшем.

Исследовательский метод обучения применим на всех ступенях обучения — с учетом возрастных возможностей и подготовки учащихся. Этот метод применяется в трех направлениях:

- включение элемента поиска во все задания учащихся;

- раскрытие учителем познавательного процесса, осуществляемого учащимися при доказательстве того или иного положения;

- организация целостного исследования, осуществляемого учащимися самостоятельно, но под руководством и наблюдением учителя (доклады, сообщения, проекты, основанные на самостоятельном поиске, анализе, обобщении фактов).

При использовании исследовательского метода меняется роль учителя: из носителя знаний и информации учитель превращается в организатора деятельности, консультанта и коллегу по решению проблемы. Педагог выступает как организатор формы и условий исследовательской деятельности, благодаря которым у ученика формируется внутренняя мотивация подходить к любой возникающей перед ним научной или жизненной проблеме с исследовательской, творческой позиции. Учитель, как организатор учебного процесса, должен проявлять и управленческие способности, и творческий подход. Непосредственное же руководство учебно-исследовательской работой школьника — это тот вид педагогического взаимодействия, в котором максимально раскрываются возможности сотрудничества, соавторства, сотворчества.

В учебном заведении особое место занимают такие формы занятий, которые обеспечивают активное участие в уроке каждого учащегося, повышают авторитет знаний и индивидуальную ответственность учащихся за результаты учебного труда. Эти задачи можно успешно решать через технологию применения активных форм обучения, о которых неоднократно говорилось.

Активные методы обучения позволяют использовать все уровни усвоения знаний: от воспроизводящей деятельности через преобразующую к главной цели - творческо-поисковой деятельности [14].

Творческо-поисковая деятельность оказывается более эффективной, если ей предшествует воспроизводящая и преобразующая деятельность, в ходе которой учащиеся усваивают приемы учения.

Необходимость активного обучения заключается в том, что с помощью его форм, методов можно достаточно эффективно решать целый ряд задач, которые трудно достигаются в традиционном обучении:

Рисунок 2 Задачи традиционного обучения [30]

В педагогической практике используются различные пути активизации познавательной деятельности, основные среди них - разнообразие форм, методов, средств обучения, выбор таких их сочетаний, которые в возникших ситуациях стимулируют активность и самостоятельность учащихся.

Наибольший активизирующий эффект на занятиях дают ситуации, в которых учащиеся сами должны проявлять свои навыки, рисунок 2.

Рисунок 2 – Навыки учеников [15]

На уроках математики при решении практически любой задачи проводится так называемое мини-исследование, где используются основные мыслительные операции - анализ и синтез, индукция и дедукция, сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация;

-при решении задач различными способами

-при решении задач с параметрами также используется исследовательская деятельность: ставится вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представиться в зависимости от значения параметра. При применении исследовательского метода в учебном процессе учитель  не дает готовых знаний, он организует самостоятельную, творческую, поисковую  деятельность обучающихся, которые самостоятельно решают новые для них познавательные задачи или находят в известных для них задачах, теоремах новые способы решения или доказательства. Только в процессе такой деятельности можно развить творческие способности ребенка.

С помощью математических символов можно оформить разные явления, процессы и т.д., они несут большой объем информации, формулы приобретают особую компактность. Недаром говорят, что «математика – царица наук». Ни одна наука не может обойтись без математического аппарата: соединение наук с математикой двигает жизнь вперед.

Математические знания и представления - это свидетельство народной мудрости, свидетельство широкого распространения математики и её важной роли в жизни народа. Без математических знаний нет глубокого логического мышления, наблюдательности, зоркости, богатого воображения, фантазии, умственных способностей [25].

Практика по использованию исследовательской деятельности учащихся на уроках математики показала, что исследовательский метод позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся, повысить их интерес, и приводит к хорошему усвоению материала, к развитию мышления и способностей учащихся. Результатом моей работы по применению данной технологии можно считать победы и призовые места в межрегиональных и российских мероприятиях.

В то же время этому методу присущи следующие трудности и проблемы:

- он требует большей, чем при сообщении готовых знаний, затраты времени;

- при этом методе особенно сильно сказываются индивидуальные различия учащихся: многие из них не успевают решать поставленные проблемы, отвечать на вопросы учителя. А он на уроке не имеет возможности ждать, пока все самостоятельно придут к нужному выводу;

- активное участие в решении проблемы или в беседе принимают лишь отдельные учащиеся, остальные – пассивны.

Глава 2. Нестандартные задачи по алгебре как средство организации исследовательской деятельности обучающихся

2.1. Влияние нестандартных задач на качество образования

Систематическое применение нестандартных задач на уроках математики, на факультативных и кружковых занятиях активизируют умственную и мыслительную деятельность учащихся, способствует повышению познавательного интереса, учит умению обобщать, сравнивать, анализировать, систематизировать.

Нетривиальность приемов решения этих, т.е. нестандартных задач воспитывает у учащихся стремление к исследовательской деятельности, проявлению изобретательности, а также решение нестандартных задач требует от школьников целеустремленности, силы воли, поэтому одним из основных источников побуждения к умственному труду является интерес. Интерес можно поддерживать, используя различные типы нестандартных задач (логические и занимательные задачи, «открытые» задачи, задачи из «повседневной» или «жизненной» практики и др.), а также различные приемы решения подобных задач.

При составлении и отборе нестандартных задач необходимо учитывать возможности учащихся, т.е. задача должна соответствовать уровню теоретических знаний и практической подготовки, чтобы ученики смогли понять задачу и определить ход решения.

Для решения нестандартных математических задач нет каких-либо общих методов, позволяющих решить любую нестандартную задачу, так как эти задачи в какой-то степени неповторимы. Нестандартная задача в большинстве случаев порождает потребность реализовать себя в преодолении препятствия, в развитии творческих способностей.

При исследовании нестандартных задач нами были рассмотрены следующие методы их решения:

Арифметический метод решения требует большого умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию.

Алгебраический метод решения задач развивает творческие способности, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время.

В связи с тем, что современному человеку необходимо иметь представление об основных методах анализа данных и вероятностных закономерностях, играющих важную роль в науке, технике и экономике, в школьный курс математики вводят элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, в которых удобно разбираться при помощи метода перебора. Этот метод доступен даже младшим школьникам, и позволяет накапливать опыт практического решения комбинаторных задач, что служит основной для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул.

Кроме того, в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а, владея приемами систематического перебора, это можно сделать более рационально.

Метод рассуждений можно использовать для решения математических софизмов. Ошибки, допущенные в софизме, обычно сводиться к следующим: выполнению «запрещенных» действий, использованию ошибочных чертежей, неверному словоупотреблению, неточности формулировок, «незаконным» обобщениям, неправильным применениям теорем. Практический метод можно рассмотреть для нестандартных задач на деление.

Выделяют два принципиально различных способа деятельности по решению задач: алгоритмический и неалгоритмический (эвристический). Первый характеризуется тем, что решающий задачу осуществляет свою деятельность в соответствии с некоторым известным ему алгоритмом. Второй характеризуется отсутствием или незнанием такого алгоритма решающим, поэтому деятельность главным образом состоит в поиске плана, способа и метода решения конкретной задачи.

Отметим, что распознавание вида задачи, выбор наиболее удобной формулы для ее решения, составление алгоритма-программы реализации решения – все эти части деятельности по решению задачи, для которой известен алгоритм, носят неалгоритмический характер, так как в них много эвристических элементов. Вместе с тем в решении задач, алгоритм которых неизвестен, содержатся, как правило, алгоритмические элементы в виде составных частей [4].

В соответствии с существующими принципиально различными способами деятельности по решению задач выделяют 2 группы обобщенных приемов умственной деятельности: 1) приемы алгоритмического типа; 2) приемы эвристического типа (эвристические приемы). Формирование приемов мыслительной деятельности алгоритмического типа, ориентирующих на формально-логический анализ задачи, закономерно приводящий к выбору соответствующего конкретного способа решения, является необходимым, но недостаточным условием развития мышления [5].

Приемы алгоритмического типа содействуют совершенствованию репродуктивного мышления как важного компонента деятельности, создают фонд знаний. Они ориентируют человека на установление некоторых связей и отношений между объектами, через которые можно прийти к искомому. Если мы уже знаем, какие связи необходимо учесть при решении задачи, это избавляет нас от повторных открытий.

Однако эти приемы не соответствуют специфике продуктивного мышления, а, следовательно, не стимулируют развитие этой стороны мыслительной деятельности. Кроме того, длительные упражнения в решении задач на основе приемов алгоритмического типа формируют установку на действия по готовому образцу, сковывают поиск решения рамками уже известных приемов, возникает так называемый «барьер прошлого опыта».

В отличие от приемов алгоритмического типа, «эвристические приемы ориентируют не на формально-логический, а на содержательный анализ проблем» [4], то есть именно они соответствуют самой природе, специфике творческого мышления, так как стимулируют поиск решения новых проблем, открытие новых для субъекта знаний. Кроме того, многие эвристические приемы стимулируют включение наглядно-образного мышления в процесс решения задач.

Тем самым используется преимущество этого вида мышления: у человека появляется возможность «увидеть» ситуацию, описанную в условии задачи, что ведет к целостному восприятию проблемы.

Эвристические приемы нацеливают учащихся на использование мыслительного эксперимента, который облегчает постановку и предварительную проверку гипотез, что в конечном итоге приводит к решению задачи. Использование эвристических приемов ведет к появлению новых признаков, свойств объектов, элементы задачи включаются в новые связи, то есть используется оптимальный для творческого процесса «анализ через синтез».

Обучение эвристическим приемам оказывает положительное влияние на уровень готовности учащихся к решению нестандартных задач, так как эти приемы помогают действовать в условиях неопределенности, в принципиально новых ситуациях. Поскольку эвристические приемы самостоятельно формируются лишь у очень немногих учащихся, этому надо специально обучать.

Тогда процесс освоения можно рассматривать как переход от простого ознакомления с их описанием к выработке устойчивых операционных структур, на основе которых развертывается достаточно сложный эвристический поиск [5].

уравнение иметь не может. В специальных исследованиях представлены различные виды и классификации эвристических приемов [16].

Перечислим некоторые эвристические приемы, которые могут использоваться при решении нестандартных задач:

1) конкретизация: ученик придает абстрактным данным более конкретную форму;

2) обобщение: нестандартная задача заменяется более общей, из решения которой непосредственно следует решение данной;

3) упрощение: варьирование состояния объекта при неизменности его качественных характеристик;

4) графический анализ: использование этого приема позволяет вводить наглядные опоры различной степени символизации;

5) абстрагирование: отбрасывание конкретных деталей, выделение данных, их связей и соотношений;

6) варьирование: ученик произвольно отбрасывает или изменяет величину одного из данных (иногда нескольких) и на основе логических рассуждений выясняет, какие следствия вытекают из такого преобразования;

7) аналогия;

8) парадигма: иначе сформулировать задачу и увидеть в ее переформулировке идею решения данной задачи;

9) неполная индукция: непосредственная проверка истинности единичных высказываний, а частные посылки помогают установить общее заключение;

10) моделирование;

11) движение от конца к началу;

12) введение вспомогательных неизвестных с помощью каких-либо соотношений;

13) выдвижение любых гипотез.

Для решения нестандартных задач необходимо сочетание эвристик, причем их разнообразие зависит от специфики задачи. Чем глубже, сложнее отношения и чем более они замаскированы, тем должны быть разнообразнее преобразования, направленные на вычленение скрытых соотношений.

В исследованиях психологов и методистов убедительно показано, что умение школьников решать задачи не пропорционально числу решаемых задач. Действительно, при выделении и усвоении общего способа решения частных задач учащиеся сопоставляют пути их решения, выделяя при этом некоторый общий путь.

Итак, необходимо отметить, что педагогическое управление деятельностью учащихся в процессе решения нестандартных задач должно быть связано с формированием эвристических приемов умственной деятельности. Необходимо обратить особое внимание на самостоятельное составление учащимися нестандартных задач и решение задач несколькими способами.

Перед учителем математики стоит нелегкая задача – преодолеть в сознании учеников возникающее представление о «сухости», формальном характере математики. Одним из способов решения этой проблемы является решение нестандартных задач на уроках математики со всеми учащимися.

2.2. Группировка нестандартных задач по алгебре

Задачи в школьном курсе математики занимают одно из ключевых мест в обучении. Если раньше задача была целью обучения, то сейчас она становится средством обучения. Необходимо стремиться к тому, чтобы от решения типовых задач по определенным правилам, обучающийся переходил к новому этапу - к решению задач, в которых алгоритм решения не известен, при работе над такой задачей развитие мышление у обучающихся происходит наиболее эффективно [2].

Л.М. Фридман считал: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче». Одной из важных целей обучения решению задач является развитие мышления обучающихся, создание условий для самостоятельного открытия знаний. Наиболее эффективно развивают мышление решение нестандартных задач, так как они заставляют обучающегося думать и рассуждать, а не действовать по образцу [6].

Под словами «нестандартные задачи» подразумеваются такие задачи, которые хотя и сформулированы с использованием только обычных понятий элементарной математики, тем не менее, не могут быть решены стандартными приёмами.

Порой такие задачи трудно отличить от стандартных задач, опираясь только на их формулировку, и «нестандартность» задачи выявляется только в ходе её решения. Тем не менее, из ряда имеющихся публикаций по данной теме накопленный опыт в этой области позволил провести некоторую классификацию «нестандартных» задач по методам их решения.

Нестандартные задачи мы сгруппировали по разделам. Данная классификация основана, прежде всего, на получаемых навыках и умениях школьниками. При данной классификации они могут постепенно применять полученные навыки в решении математических задач с учётом класса их сложности.

Метод мини-максов

Данный метод применим к широкому классу «нестандартных задач». Если требуется решить уравнение f (x) =h(x) и на общей области определения E функций f(x) и h(x) выполняются неравенства:

f (x) ≤A; (f (x) ≥A) и h (x)≥A; (h (x) ≤A), то уравнение f (x) =h (x) равносильно системе:

f(x)=A h(x)=A Если нужно решить уравнение f (x, y) =h (x, y) и на области определения Е функции f (x, y) и h (x, y) выполняются неравенства:

f (x, y) ≤A; (f (x, y) ≥A) и h (x, y) ≥A; (h (x, y) ≤A), то уравнение f (x, y) =h (x, y) равносильно системе: f(x,y)=A h(x,y)=A

Конечно, следует понимать, что предложенные схемы не является догмой, а скорее служат руководством к действию.

Часто внешним признаком, побуждающим использовать метод минимаксов, является наличие в одном уравнении или неравенстве функций различной природы, что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов. Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственно видом этой части; тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения (неравенства).

D-метод (дискриминантный метод). Данный метод минимаксов, в основе которого лежит выделение полных квадратов в выражении относительно какой-либо из функций (иногда это требует предварительного преобразования выражения) выделяется среди прочих методов ввиду простоты его применения и широкого распространения в практике вступительных экзаменов.

Схема применения D-метода Если уравнение f (x) =0 или f (x, y) =0 и т. п., можно привести к виду f (x) h² (x) +f (x) h (x) +f (x) =0 (или аналогично в уравнении с двумя неизвестными), причём D=f²–4f×f≤0, при всех допустимых значениях переменных, то уравнение равносильно системе: D=0 и h (x) = -f (x) /2f (x).

D-метод применим в «нестандартных задачах», которые начинаются словами «Решить уравнение (систему) и т. п.» без дополнительных требований к числу решений, их специальному расположению или других требований. Если D-метод не удается применить сразу, то стоит попробовать тождественными преобразованиями добиться, чтобы уравнение или неравенство приобрело вид квадратного трехчлена, относительно какой-либо функции. Если после предварительного анализа условия задачи не выбран метод решения – можно применить D-метод, как универсальный метод с широким спектром применений.

Ученики овладевают системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования; получают интеллектуальное развитие, развитие качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности для преодоления трудностей.

Метод отделяющих констант

Данный метод решения очень похож на метод минимаксов. Чтобы доказать, что на подмножестве ΕR своей области определения уравнение f (x) =g (x) (неравенство f (x) ≤g (x)) не имеет решений, достаточно, например, найти такую константу А, что для всех хΕ справедлива система: f(x)>A g(x)≤A

Наоборот, если на множестве Е выполняется указанная система неравенств, то все точки этого множества удовлетворяют неравенству f (x) >g (x).

Метод отделяющих констант применяется в уравнениях и неравенствах, которые одновременно содержат алгебраические и тригонометрические функции, если попытки применить стандартные приемы не приводят к цели.

Доказать неравенство 
 (1)
Для решения достаточно заметить, что луч  представляющий собой множество значений функции

не пересекается с множеством значений функции

то есть с отрезком 
Можно сказать и иначе: существует такое число с (например,), что для всех  справедливы неравенства  (рис. 1), откуда и следует справедливость не только неравенства (1), но и более сильного
 для любых, то есть всегда

В более сложных примерах уже не удается найти константу с, «отделяющую» значения функции  от значений функции на всей области их задания, но можно разбить числовую прямую на несколько промежутков, на каждом из которых существует своя отделяющая константа.

У учеников формируется представление об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средств моделирования явлений и процессов; воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, формирование понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

Метод тригонометрической подстановки

Решение некоторых уравнений, неравенств и систем существенно упрощается, если заменить неизвестные переменные подходящими тригонометрическими функциями. Так как тригонометрические функции связаны между собой множеством соотношений, это позволяет после замены упростить структуру выражения. Метод тригонометрической подстановки удобно применять в том случае, когда алгебраическая структура выражения напоминает строение каких-либо известных тригонометрических формул.

Ученики приобретают математические знания и умения; овладевают обобщенными способами мыслительной, творческой деятельности; осваивают компетенции (учебно-познавательной, коммуникативной, рефлексивной, личностного саморазвития, информационно-технологической, ценностно-смысловой).

Найти интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку:∫dxsinx∫dxsinx

Это интеграл часто оказывается головной болью для студентов. Казалось бы нельзя взять вручную его, а только компьютером. Но нет! Универсальная тригонометрическая подстановка решит его легко.

Выполняем замену sinx=2t1+t2sinx=2t1+t2 и dx=2dt1+t2dx=2dt1+t2 в интеграле:

∫dxsinx=∫2dt1+t22t1+t2=∫dtt=∫dxsinx=∫2dt1+t22t1+t2=∫dtt=

Как видим, что после сокращения подобных интеграл из тригонометрического превратился в обычный, который является табличным, а значит можно записывать ответ:

=ln|t|+C=ln∣∣∣tgx2∣∣∣+C=ln|t|+C=ln|tgx2|+C

Ответ:

∫dxsinx=ln∣∣∣tgx2∣∣∣+C

Метод геометрической подстановки

Решение некоторых алгебраических уравнений, неравенств, систем и т. п. упрощается, если придать входящим в них выражениям геометрический смысл. Это можно сделать разными способами, например:

Ученики приобретают математические знания и умения; самостоятельно обнаруживать и формировать учебную проблему, определять цель УД; выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных, а также искать их самостоятельно.

Рассмотрим конкретные примеры решения систем линейных уравнений методом подстановки.

  

В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить x через y и подставить полученное выражение вместо x в первое уравнение:

  

Первое уравнение — уравнение с одной переменной y. Решаем его:

5(7-3y)-2y = -16

35-15y-2y= -16

-17y= -51

y=3.

Полученное значение y подставляем в выражение для x:

  

Ответ: (-2; 3).

  

В данной системе проще из первого уравнения выразить y через x и подставить полученное выражение вместо y во второе уравнение:

  

  

Второе уравнение — уравнение с одной переменной x. Решим его:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

3x+6+14x=23

17x=17

x=1.

В выражение для y вместо x подставляем x=1 и находим y:

  

Ответ: (1; -5).

  

Здесь удобнее из второго уравнения выразить y через x (поскольку делить на 10 проще, чем на 4, -9 или 3):

  

  

Решаем первое уравнение:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

6,7x=13,4

x=2.

Подставляем x=2 и находим y:

  

Ответ: (2; 1).

  

Симметрия алгебраических выражений

Иногда уравнение, неравенство, система и т. п. обладает свойством алгебраической симметрии, то есть не меняет своего вида при какой-либо циклической замене переменных местами, изменения их знаков и т. п. Иногда, чтобы выявить симметрию выражения, требуется предварительно его преобразовать (задачи со скрытой симметрией). Метод симметрии удобно применять, когда в формулировке задачи присутствует требование единственности решения задачи или точное указание числа решений. Следует помнить: симметрия позволяет установить лишь необходимые условия, и затем требуется проверка их достаточности.

Найти двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.

Решение. Пусть 10х + у - двузначное число. По условию 10х + у = 2ху, откуда следует, что 10х + у – четно, то есть у – четно. Разделив обе части равенства на , получим: 5 + = , откуда следует, что у 5. Значит, у = 6 или у = 8. Если у = 8, то 5 + = 8 , откуда х = , что невозможно. При у = 6, х = 3. Искомое число: 36.

Доказать, что 3, 5, 7 – единственная тройка последовательных нечетных чисел, каждое из которых простое.

Доказательство. Возьмем любую тройку последовательных нечетных чисел: n, n + 2 и n + 4. Пусть меньшее из них простое и не равно 3, тогда оно не делится на 3, то есть может быть представлено как 3к +1, либо 3к +2. Но тогда либо n + 2, либо n + 4 делится на 3, то есть не являются простыми.

Ученики могут составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта); работая по плану, сверять свои действия с целью и при необходимости исправлять ошибки самостоятельно; в диалоге с учителем совершенствовать.

Координатная плоскость «переменная-параметр» и решение относительно параметра. В задачах с параметром удобно рассматривать переменную и параметр как равноправные величины. В таких задачах бывает нужно рассматривать уравнение или неравенство графически, проводя построения в координатной плоскости с осями «переменная-параметр».

Иногда удается разрешить уравнение или неравенство относительно входящего в него параметра. Следует уделить внимание задачам, в которых роли переменной и параметра намеренно поменяны местами. Метод решения относительно параметра удобно применять, когда выражение имеет высокую степень, как многочлен относительно переменной Х и одновременно является линейным или квадратным выражением относительно параметра. Или если формулировка задачи подсказывает, что переменную по смыслу задачи удобно считать параметром, а параметр считать переменной. Данный метод применим, если геометрическое место точек, определяемое заданным в условии неравенством, удается изобразить на координатной плоскости «переменная-параметр». Бывают и другие случаи использования рассмотренного метода.

Доказать, что для любого натурального числа n удастся найти такое натуральное число m, что число mn + 1 окажется составным.

Доказательство. Проще всего в качестве m выбрать n + 2. Тогда число

mn + 1 выражает собой квадрат натурального числа n + 1.

Как разделить 7 яблок поровну на 12 человек, не разрезая яблоки более, чем на 4 части ?

Решение. Каждое из трех яблок надо разделить на 4 равные части, а каждое из остальных четырех – на 3 равные части. При дележке каждому достанется по четверти и по трети яблока.

После полученных знаний ученик учатся проводить наблюдение и эксперимент под руководством учителя; осуществлять расширенный поиск информации с использованием ресурсов библиотек и Интернета; осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.

Решение нестандартных задач с использованием общих свойств функций

Решение некоторых нестандартных задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, чётности или нечётности и т. п., входящих в них функций. Бывает удобно использовать следующие замечания.

1. Пусть функция f (x) монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда уравнение f (f (x)) =x равносильно на Е уравнению f (x) =x. (можно провести доказательство, определив его ученикам в самостоятельную разработку, но обязательно затем оформить схему доказательства в классе). Аналогичное утверждение справедливо и в случае неравенств.

2. Пусть функция f(x) монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда неравенство f (f (x))˃x, Е, равносильно f (xx, Е. Доказательство ученики проводят самостоятельно, опираясь на схему доказательства 1 замечания.

Данный метод удобно применять, когда алгебраическое выражение в условии задачи разбивается на группы одинаковых по виду членов, которые можно выразить с помощью одной и той же функции f(t), обладающей простыми свойствами. Или если в уравнении, неравенстве участвуют функции с хорошо известными свойствами (монотонность, периодичность, ограниченность и т. п.).

В результате деления двузначного числа на его обратное получились равные частное и остаток. Найти это число.

Решение: Пусть a= 10x +y - искомое число, q – частное, остаток,

тогда 10 x + y = (10y + x)q +q или (10 – q)x – (10q – 1)q = q.

При q= 1, получаем равенство 9(x – у) = 1, которое невозможно.

При q = 2 , имеем 8х – 19у = 2, откуда следует, что число у – четное.

При у = 2 получаем х = 5, а при у = 4, 6, 8 правая часть не делится на 8. Другими словами , в этом случае мы имеем решение а = 52.

Далее, при q = 3 из равенства 7х – 29у = 3 при у = 2 х – получается дробным, а при у 3 х 10, то есть в этом случае решений нет.

При q = 4 имеем 6х – 39у = 4, что невозможно, так как 4 не делится на 3.

Наконец, если q 5, то ( 10 – q)х =( 10q – 1)у + q 49 +q 54, откуда

х 11. Следовательно, искомое число равно 52.

Найти все целые числа х и у, для которых выполняется равенство 2ху + х + у = 83.

Решение: Умножив обе части уравнения на 2 и прибавив к обеим частям 1, представим его в виде :

( 2х + 1)( 2у + 1 ) = 167, и поскольку число 167 – простое, то оно раскладывается на целые множители четырьмя способами:

167 = 1∙167 = 167∙1= (- 1)∙(- 167) = (- 167) ∙ (- 1), откуда находим четыре решения уравнения: (0;83), (83;0), ( - 1; - 84), ( - 84; -1).

Имеется несколько мешков с монетами, в одном из которых все монеты фальшивые , а в остальных – настоящие. Фальшивая монета на 1 г легче настоящей. Каким наименьшим числом взвешиваний на пружинных весах можно обнаружить фальшивые монеты, если в каждом мешке монет достаточно много?

Решение. Занумеруем мешки числами от 1 до n, из каждого мешка возьмем столько монет, каков его номер, и взвесим взятые монеты. Всего их S = 1 +2 + 3 + ….+ n штук. Если вес настоящей монеты равен а грамм, а фальшивые монеты содержатся в мешке с номером к, то весы покажут

= а +2а + …+ к( а- 1) +… + nа = Sа – к.

Взвесим теперь S монет из первого мешка. Если все они фальшивые, то их общий вес окажется меньше, если же все настоящие, то будет больше Поэтому, если , то фальшивые монеты в первом мешке, в противном случае мы узнаем вес Sа настоящих монет, и разность дает число к фальшивых монет.

Таким образом, найти мешок с фальшивыми монетами можно двумя взвешиваниями. Ясно, что одним взвешиванием обойтись не удастся.

Пример

Решить уравнение.

.

Решение.

Похожесть формы записи каждого из двух слагаемых в левой чисти уравнения, наталкивает на мысль рассмотреть функцию:

.

Данное уравнение запишется в виде:

,

поскольку нечетная функция.

Если , то уравнение выполняется.

Покажем, что других решений нет. Функция монотонно возрастает на всей числовой оси R.

Действительно, если , то  и

Если же , то , и уже по доказанному:

.

В оставшемся случае  имеем, . Монотонность доказана. Тогда равенство  верно, только если . Поэтому других решений уравнение не имеет.

Ответ: .

Бывает удобно использовать следующие утверждения:

Утверждение 1.

Пусть функция  монотонно возрастает на промежутке Епричем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда уравнение

(1)

Равносильно на промежутке Е уравнению

(2)

Утверждение 2.

Пусть функция  монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда неравенство

Пример

Для каждого неотрицательного значения, а решить неравенство

Решение.

Перепишем неравенства в виде:

Положим , тогда неравенство примет вид .

Если , то .

Если , то  при всех , поэтому все числа  удовлетворяют неравенству.

Остается рассмотреть луч , где функция  монотонно возрастает и отображает этот луч в себя. Согласно утверждению 2 имеем:

()

если , то все решения системы () будет ;

если , то все решения системы () является множество .

Ответ: при 

при