Высшая математика. Матрицы
Предмет
Тип работы
Факультет
Преподаватель
Высшая математика
Матрицы и детерминанты
Сумма матриц
Матрицы а и В.
A=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}}), B=(Матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})
Находить:
Сумма матриц A + B = C.
С -?
Решение:
Чтобы добавить матрицы A и B, нужно добавить элементы матрицы A к элементам матрицы B, которые стоят в тех же местах.
Таким образом, сумма двух матриц A и B является матрицей:
C=A+B=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})+(матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Пример 2. Умножение матрицы на число
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})
Число k=2.
Находить:
Произведение матрицы на число: A × k = B
Б -?
Решение:
Чтобы умножить матрицу A на число k, нужно умножить каждый элемент матрицы A на это число.
Таким образом, произведение матрицы а на число К является новой матрицей:
B=2*A=2*(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})=(матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Ответ: B=(Матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Пример 3. Матричное умножение
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}}) ;
Матрица B=(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}}) .
Находить:
Произведение матриц: A × B = C
С -?
Решение:
Каждый элемент матрицы C = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. строки матрицы A умножаются на столбцы матрицы a и получают:
C=A*B=(Матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}})*(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}})=
{} =(Матрица{2}{2}{{2*2+3*(-1)+1*3} {2*1+3*1+1*(-2)} {-1*2+0*(-1)+1*3} {-1*1+0*1+1*(-2)}})
C=A*B=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Пример 4. Транспозиция матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}).
Находить:
Найдите матрицу, транспонированную данной единицей.
В — ?
Решение:
Транспонирование матрицы а состоит в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT
A=(Матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}) {doubleright} A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Ответ: A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Пример 5. Обратная матрица
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{2}{2 {-1~} 3 {1~}}).
Находить:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
А-1 — ?
Решение:
Найдите det A и проверьте det A ≠ 0:
{det A}=delim { / } {Матрица{2}{2}{ 2 {-1} 3 1 }}{|}=2*1-3*(-1)=5. det A = 5 ≠ 0.
Мы создаем вспомогательную матрицу AV из алгебраических сложений Aij: {A^V}=(Матрица{2}{2}{1 {-3~} 1 {2~}}).
Транспонировать матрицу AV:
(A^V)^T=(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}}).
Каждый элемент результирующей матрицы делится на det A:
A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^T={1/5}*(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}})=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Ответ: A^{-1}=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Пример 6. Ранг матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}).
Находить:
Ранг матрицы А.
r (A)—?
Решение:
Ранг матрицы A - это число, равное максимальному порядку ненулевого минора Mk этой матрицы. Ранг матрицы а вычисляется с помощью граничного минорного метода или метода элементарного преобразования.
Вычислим ранг матрицы, применив метод обрезных миноров.
M_1=1;~{M^1}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{1 {-1~} 2 {-2~}}}{|}=-1*2-2*(-1)=0;
{M^2}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {1~} {-2} {2~}}}{|}=-1*2-(-2)*1=0;~{M^3}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{2 {-2~} 1 {1~}}}{|}=2*1-1*(-2)=4;
M32≠0; M_3=delim { / } {матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}}{|}=1*(-2)*(-1)+(-1)*2*1+1*2*(-1)-
{}-1*(-2)*1-(-1)*2*(-1)-1*2*(-1)=0~{doubleright}~r (A)=2.
Ответ: r (A) = 2
Пример 7. Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Определитель| A / матрицы A.
|А| -?
Решение:
Каждой квадратной матрице A может быть присвоено число, которое называется ее определителем и обозначается det A или |A|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется с использованием ее элементов по следующей формуле:
det A = delim { / } {A}{|} = delim { / } {матрица{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
Тогда для матрицы A, приведенной в Примере, определитель |A| будет равен:
delim { / } {A}{|}=delim { / } {матрица{3}{3}{ 3 {-1} {-1} {-3} 1 5 2 {-2} 4 } }{|}=3*1*4+(-1)*5*2+(-1)*(-3)*(-2)-
{}-2*1*(-1)-(-1)*(-3)*4-3*5*(-2)=16
Ответ: |A / = 16.
Пример 8. Минорное и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Минорное и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя / A / матрицы A.
Δ21 — ? А21 — ?
Решение:
Запишите определитель матрицы A: delim { / } A { / }=delim { / } {матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}}{|}.
Второстепенный элемент A21 определителя |A / - это определитель, который получается из этого путем вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используйте обозначение Δ21.
{Дельта}_{21}=делим { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {-1~} {-2} {4~}}}{|}=-1*4-(-2*(-1))=-6
Алгебраическим дополнением A21 элемента a21 в определителе является число, вычисляемое по правилу: Aij = (-1) i+j · Δij, где Δij-соответствующий минор. Затем, подставляя данные в формулу, получаем:
А21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.
Ответ: ΔΔ21 = -6; A21 = 6.
Система линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Матрицы и детерминанты
Пример 1. Сумма матриц
Дано:
Матрицы а и В.
A=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}}), B=(Матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})
Находить:
Сумма матриц A + B = C.
С -?
Решение:
Чтобы добавить матрицы A и B, вам нужно добавить элементы матрицы A к элементам матрицы B, которые стоят в тех же местах.
Таким образом, сумма двух матриц A и B является матрицей:
C=A+B=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})+(матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Пример 2. Умножение матрицы на число
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})
Число k=2.
Находить:
Произведение матрицы на число: A × k = B
Б -?
Решение:
Чтобы умножить матрицу A на число k, нужно умножить каждый элемент матрицы A на это число.
Таким образом, произведение матрицы а на число К является новой матрицей:
B=2*A=2*(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})=(матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Ответ: B=(Матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Пример 3. Матричное умножение
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}}) ;
Матрица B=(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}}) .
Находить:
Произведение матриц: A × B = C
С -?
Решение:
Каждый элемент матрицы C = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. строки матрицы A умножаются на столбцы матрицы a и получают:
C=A*B=(Матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}})*(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}})=
{} =(Матрица{2}{2}{{2*2+3*(-1)+1*3} {2*1+3*1+1*(-2)} {-1*2+0*(-1)+1*3} {-1*1+0*1+1*(-2)}})
C=A*B=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Пример 4. Транспозиция матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}).
Находить:
Найдите матрицу, транспонированную данной единицей.
В — ?
Решение:
Транспонирование матрицы а состоит в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT
A=(Матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}) {doubleright} A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Ответ: A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Пример 5. Обратная матрица
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{2}{2 {-1~} 3 {1~}}).
Находить:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
А-1 — ?
Решение:
Найдите det A и проверьте det A ≠ 0:
{det A}=delim { / } {Матрица{2}{2}{ 2 {-1} 3 1 }}{|}=2*1-3*(-1)=5. det A = 5 ≠ 0.
Мы создаем вспомогательную матрицу AV из алгебраических сложений Aij: {A^V}=(Матрица{2}{2}{1 {-3~} 1 {2~}}).
Транспонировать матрицу AV:
(A^V)^T=(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}}).
Каждый элемент результирующей матрицы делится на det A:
A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^T={1/5}*(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}})=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Ответ: A^{-1}=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Пример 6. Ранг матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}).
Находить:
Ранг матрицы А.
r (A)—?
Решение:
Ранг матрицы A - это число, равное максимальному порядку ненулевого минора Mk этой матрицы. Ранг матрицы а вычисляется с помощью граничного минорного метода или метода элементарного преобразования.
Вычислим ранг матрицы, применив метод обрезных миноров.
M_1=1;~{M^1}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{1 {-1~} 2 {-2~}}}{|}=-1*2-2*(-1)=0;
{M^2}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {1~} {-2} {2~}}}{|}=-1*2-(-2)*1=0;~{M^3}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{2 {-2~} 1 {1~}}}{|}=2*1-1*(-2)=4;
M32≠0; M_3=delim { / } {матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}}{|}=1*(-2)*(-1)+(-1)*2*1+1*2*(-1)-
{}-1*(-2)*1-(-1)*2*(-1)-1*2*(-1)=0~{doubleright}~r (A)=2.
Ответ: r (A) = 2
Пример 7. Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Определитель| A / матрицы A.
|А| -?
Решение:
Каждой квадратной матрице A может быть присвоено число, которое называется ее определителем и обозначается det A или |A|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется с использованием ее элементов по следующей формуле:
det A = delim { / } {A}{|} = delim { / } {матрица{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
Тогда для матрицы A, приведенной в Примере, определитель |A| будет равен:
delim { / } {A}{|}=delim { / } {матрица{3}{3}{ 3 {-1} {-1} {-3} 1 5 2 {-2} 4 } }{|}=3*1*4+(-1)*5*2+(-1)*(-3)*(-2)-
{}-2*1*(-1)-(-1)*(-3)*4-3*5*(-2)=16
Ответ: |A / = 16.
Пример 8. Минорное и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Минорное и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя / A / матрицы A.
Δ21 — ? А21 — ?
Решение:
Запишите определитель матрицы A: delim { / } A { / }=delim { / } {матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}}{|}.
Второстепенный элемент A21 определителя |A / - это определитель, который получается из этого путем вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используйте обозначение Δ21.
{Дельта}_{21}=делим { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {-1~} {-2} {4~}}}{|}=-1*4-(-2*(-1))=-6
Алгебраическим дополнением A21 элемента a21 в определителе является число, вычисляемое по правилу: Aij = (-1) i+j · Δij, где Δij-соответствующий минор. Затем, подставляя данные в формулу, получаем:
А21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.
Ответ: Δ21 = -6; А21 = 6.
Система линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Рисунок для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z – 2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Матрицы и детерминанты
Пример 1. Сумма матриц
Дано:
Матрицы а и В.
A=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}}), B=(Матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})
Находить:
Сумма матриц A + B = C.
С -?
Решение:
Чтобы добавить матрицы A и B, вам нужно добавить элементы матрицы A к элементам матрицы B, которые стоят в тех же местах.
Таким образом, сумма двух матриц A и B является матрицей:
C=A+B=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})+(матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Пример 2. Умножение матрицы на число
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})
Число k=2.
Находить:
Произведение матрицы на число: A × k = B
Б -?
Решение:
Чтобы умножить матрицу A на число k, нужно умножить каждый элемент матрицы A на это число.
Таким образом, произведение матрицы а на число К является новой матрицей:
B=2*A=2*(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})=(матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Ответ: B=(Матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Пример 3. Матричное умножение
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}}) ;
Матрица B=(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}}) .
Находить:
Произведение матриц: A × B = C
С -?
Решение:
Каждый элемент матрицы C = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. строки матрицы A умножаются на столбцы матрицы a и получают:
C=A*B=(Матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}})*(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}})=
{} =(Матрица{2}{2}{{2*2+3*(-1)+1*3} {2*1+3*1+1*(-2)} {-1*2+0*(-1)+1*3} {-1*1+0*1+1*(-2)}})
C=A*B=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Пример 4. Транспозиция матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}).
Находить:
Найдите матрицу, транспонированную данной единицей.
В — ?
Решение:
Транспонирование матрицы а состоит в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT
A=(Матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}) {doubleright} A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Ответ: A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Пример 5. Обратная матрица
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{2}{2 {-1~} 3 {1~}}).
Находить:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
А-1 — ?
Решение:
Найдите det A и проверьте det A ≠ 0:
{det A}=delim { / } {Матрица{2}{2}{ 2 {-1} 3 1 }}{|}=2*1-3*(-1)=5. det A = 5 ≠ 0.
Мы создаем вспомогательную матрицу AV из алгебраических сложений Aij: {A^V}=(Матрица{2}{2}{1 {-3~} 1 {2~}}).
Транспонировать матрицу AV:
(A^V)^T=(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}}).
Каждый элемент результирующей матрицы делится на det A:
A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^T={1/5}*(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}})=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Ответ: A^{-1}=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Пример 6. Ранг матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}).
Находить:
Ранг матрицы А.
r (A)—?
Решение:
Ранг матрицы A - это число, равное максимальному порядку ненулевого минора Mk этой матрицы. Ранг матрицы а вычисляется с помощью граничного минорного метода или метода элементарного преобразования.
Вычислим ранг матрицы, применив метод обрезных миноров.
M_1=1;~{M^1}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{1 {-1~} 2 {-2~}}}{|}=-1*2-2*(-1)=0;
{M^2}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {1~} {-2} {2~}}}{|}=-1*2-(-2)*1=0;~{M^3}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{2 {-2~} 1 {1~}}}{|}=2*1-1*(-2)=4;
M32≠0; M_3=delim { / } {матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}}{|}=1*(-2)*(-1)+(-1)*2*1+1*2*(-1)-
{}-1*(-2)*1-(-1)*2*(-1)-1*2*(-1)=0~{doubleright}~r (A)=2.
Ответ: r (A) = 2
Пример 7. Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Определитель| A / матрицы A.
|А| -?
Решение:
Каждой квадратной матрице A может быть присвоено число, которое называется ее определителем и обозначается det A или |A|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется с использованием ее элементов по следующей формуле:
det A = delim { / } {A}{|} = delim { / } {матрица{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
Тогда для матрицы A, приведенной в Примере, определитель |A| будет равен:
delim { / } {A}{|}=delim { / } {матрица{3}{3}{ 3 {-1} {-1} {-3} 1 5 2 {-2} 4 } }{|}=3*1*4+(-1)*5*2+(-1)*(-3)*(-2)-
{}-2*1*(-1)-(-1)*(-3)*4-3*5*(-2)=16
Ответ: |A / = 16.
Пример 8. Минорное и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Минорное и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя / A / матрицы A.
Δ21 — ? А21 — ?
Решение:
Запишите определитель матрицы A: delim { / } A { / }=delim { / } {матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}}{|}.
Второстепенный элемент A21 определителя |A / - это определитель, который получается из этого путем вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используйте обозначение Δ21.
{Дельта}_{21}=делим { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {-1~} {-2} {4~}}}{|}=-1*4-(-2*(-1))=-6
Алгебраическим дополнением A21 элемента a21 в определителе является число, вычисляемое по правилу: Aij = (-1) i+j · Δij, где Δij-соответствующий минор. Затем, подставляя данные в формулу, получаем:
А21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.
Ответ: Δ21 = -6; А21 = 6.
Система линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Формулы, уравнения, теоремы и примеры решения задач
Содержание
Система линейных уравнений
Кривые второго порядка
Основы математического анализа
Комплексное число
Определенный интеграл
Неопределенный интеграл
Сумма матриц
Дано:
Матрицы а и В.
A=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}}), B=(Матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})
Находить:
Сумма матриц A + B = C.
С -?
Решение:
Чтобы добавить матрицы A и B, вам нужно добавить элементы матрицы A к элементам матрицы B, которые стоят в тех же местах.
Таким образом, сумма двух матриц A и B является матрицей:
C=A+B=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})+(матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Пример 2. Умножение матрицы на число
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})
Число k=2.
Находить:
Произведение матрицы на число: A × k = B
Б -?
Решение:
Чтобы умножить матрицу A на число k, нужно умножить каждый элемент матрицы A на это число.
Таким образом, произведение матрицы а на число К является новой матрицей:
B=2*A=2*(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})=(матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Ответ: B=(Матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Пример 3. Матричное умножение
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}}) ;
Матрица B=(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}}) .
Находить:
Произведение матриц: A × B = C
С -?
Решение:
Каждый элемент матрицы C = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. строки матрицы A умножаются на столбцы матрицы a и получают:
C=A*B=(Матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}})*(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}})=
{} =(Матрица{2}{2}{{2*2+3*(-1)+1*3} {2*1+3*1+1*(-2)} {-1*2+0*(-1)+1*3} {-1*1+0*1+1*(-2)}})
C=A*B=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Пример 4. Транспозиция матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}).
Находить:
Найдите матрицу, транспонированную данной единицей.
В — ?
Решение:
Транспонирование матрицы а состоит в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT
A=(Матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}) {doubleright} A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Ответ: A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Пример 5. Обратная матрица
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{2}{2 {-1~} 3 {1~}}).
Находить:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
А-1 — ?
Решение:
Найдите det A и проверьте det A ≠ 0:
{det A}=delim { / } {Матрица{2}{2}{ 2 {-1} 3 1 }}{|}=2*1-3*(-1)=5. det A = 5 ≠ 0.
Мы создаем вспомогательную матрицу AV из алгебраических сложений Aij: {A^V}=(Матрица{2}{2}{1 {-3~} 1 {2~}}).
Транспонировать матрицу AV:
(A^V)^T=(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}}).
Каждый элемент результирующей матрицы делится на det A:
A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^T={1/5}*(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}})=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Ответ: A^{-1}=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Пример 6. Ранг матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}).
Находить:
Ранг матрицы А.
r (A)—?
Решение:
Ранг матрицы A - это число, равное максимальному порядку ненулевого минора Mk этой матрицы. Ранг матрицы а вычисляется с помощью граничного минорного метода или метода элементарного преобразования.
Вычислим ранг матрицы, применив метод обрезных миноров.
M_1=1;~{M^1}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{1 {-1~} 2 {-2~}}}{|}=-1*2-2*(-1)=0;
{M^2}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {1~} {-2} {2~}}}{|}=-1*2-(-2)*1=0;~{M^3}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{2 {-2~} 1 {1~}}}{|}=2*1-1*(-2)=4;
M32≠0; M_3=delim { / } {матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}}{|}=1*(-2)*(-1)+(-1)*2*1+1*2*(-1)-
{}-1*(-2)*1-(-1)*2*(-1)-1*2*(-1)=0~{doubleright}~r (A)=2.
Ответ: r (A) = 2
Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Определитель| A / матрицы A.
|А| -?
Решение:
Каждой квадратной матрице A может быть присвоено число, которое называется ее определителем и обозначается det A или |A|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется с использованием ее элементов по следующей формуле:
det A = delim { / } {A}{|} = delim { / } {матрица{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
Тогда для матрицы A, приведенной в Примере, определитель |A| будет равен:
delim { / } {A}{|}=delim { / } {матрица{3}{3}{ 3 {-1} {-1} {-3} 1 5 2 {-2} 4 } }{|}=3*1*4+(-1)*5*2+(-1)*(-3)*(-2)-
{}-2*1*(-1)-(-1)*(-3)*4-3*5*(-2)=16
Ответ: |A / = 16.
Пример 8. Минорное и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Минорное и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя / A / матрицы A.
Δ21 — ? А21 — ?
Решение:
Запишите определитель матрицы A: delim { / } A { / }=delim { / } {матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}}{|}.
Второстепенный элемент A21 определителя |A / - это определитель, который получается из этого путем вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используйте обозначение Δ21.
{Дельта}_{21}=делим { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {-1~} {-2} {4~}}}{|}=-1*4-(-2*(-1))=-6
Алгебраическим дополнением A21 элемента a21 в определителе является число, вычисляемое по правилу: Aij = (-1) i+j · Δij, где Δij-соответствующий минор. Затем, подставляя данные в формулу, получаем:
А21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.
Ответ: Δ21 = -6; А21 = 6.
Система линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Матрицы и детерминанты
Сумма матриц
Дано:
Матрицы а и В.
A=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}}), B=(Матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})
Находить:
Сумма матриц A + B = C.
С -?
Решение:
Чтобы добавить матрицы A и B, вам нужно добавить элементы матрицы A к элементам матрицы B, которые стоят в тех же местах.
Таким образом, сумма двух матриц A и B является матрицей:
C=A+B=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})+(матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Пример 2. Умножение матрицы на число
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})
Число k=2.
Находить:
Произведение матрицы на число: A × k = B
Б -?
Решение:
Чтобы умножить матрицу A на число k, нужно умножить каждый элемент матрицы A на это число.
Таким образом, произведение матрицы а на число К является новой матрицей:
B=2*A=2*(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})=(матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Ответ: B=(Матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Пример 3. Матричное умножение
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}}) ;
Матрица B=(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}}) .
Находить:
Произведение матриц: A × B = C
С -?
Решение:
Каждый элемент матрицы C = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. строки матрицы A умножаются на столбцы матрицы a и получают:
C=A*B=(Матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}})*(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}})=
{} =(Матрица{2}{2}{{2*2+3*(-1)+1*3} {2*1+3*1+1*(-2)} {-1*2+0*(-1)+1*3} {-1*1+0*1+1*(-2)}})
C=A*B=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Пример 4. Транспозиция матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}).
Находить:
Найдите матрицу, транспонированную данной единицей.
В — ?
Решение:
Транспонирование матрицы а состоит в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT
A=(Матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}) {doubleright} A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Ответ: A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Обратная матрица
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{2}{2 {-1~} 3 {1~}}).
Находить:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
А-1 — ?
Решение:
Найдите det A и проверьте det A ≠ 0:
{det A}=delim { / } {Матрица{2}{2}{ 2 {-1} 3 1 }}{|}=2*1-3*(-1)=5. det A = 5 ≠ 0.
Мы создаем вспомогательную матрицу AV из алгебраических сложений Aij: {A^V}=(Матрица{2}{2}{1 {-3~} 1 {2~}}).
Транспонировать матрицу AV:
(A^V)^T=(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}}).
Каждый элемент результирующей матрицы делится на det A:
A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^T={1/5}*(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}})=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Ответ: A^{-1}=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Пример 6. Ранг матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}).
Находить:
Ранг матрицы А.
r (A)—?
Решение:
Ранг матрицы A - это число, равное максимальному порядку ненулевого минора Mk этой матрицы. Ранг матрицы а вычисляется с помощью граничного минорного метода или метода элементарного преобразования.
Вычислим ранг матрицы, применив метод обрезных миноров.
M_1=1;~{M^1}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{1 {-1~} 2 {-2~}}}{|}=-1*2-2*(-1)=0;
{M^2}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {1~} {-2} {2~}}}{|}=-1*2-(-2)*1=0;~{M^3}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{2 {-2~} 1 {1~}}}{|}=2*1-1*(-2)=4;
M32≠0; M_3=delim { / } {матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}}{|}=1*(-2)*(-1)+(-1)*2*1+1*2*(-1)-
{}-1*(-2)*1-(-1)*2*(-1)-1*2*(-1)=0~{doubleright}~r (A)=2.
Ответ: r (A) = 2
Пример 7. Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Определитель| A / матрицы A.
|А| -?
Решение:
Каждой квадратной матрице A может быть присвоено число, которое называется ее определителем и обозначается det A или |A|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется с использованием ее элементов по следующей формуле:
det A = delim { / } {A}{|} = delim { / } {матрица{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
Тогда для матрицы A, приведенной в Примере, определитель |A| будет равен:
delim { / } {A}{|}=delim { / } {матрица{3}{3}{ 3 {-1} {-1} {-3} 1 5 2 {-2} 4 } }{|}=3*1*4+(-1)*5*2+(-1)*(-3)*(-2)-
{}-2*1*(-1)-(-1)*(-3)*4-3*5*(-2)=16
Ответ: |A / = 16.
Пример 8. Минорное и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Минорное и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя / A / матрицы A.
Δ21 — ? А21 — ?
Решение:
Запишите определитель матрицы A: delim { / } A { / }=delim { / } {матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}}{|}.
Второстепенный элемент A21 определителя |A / - это определитель, который получается из этого путем вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используйте обозначение Δ21.
{Дельта}_{21}=делим { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {-1~} {-2} {4~}}}{|}=-1*4-(-2*(-1))=-6
Алгебраическим дополнением A21 элемента a21 в определителе является число, вычисляемое по правилу: Aij = (-1) i+j · Δij, где Δij-соответствующий минор. Затем, подставляя данные в формулу, получаем:
А21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.
Ответ: Δ21 = -6; А21 = 6.
Система линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Рисунок для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Пример 5. Обратная матрица
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{2}{2 {-1~} 3 {1~}}).
Находить:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
А-1 — ?
Решение:
Найдите det A и проверьте det A ≠ 0:
{det A}=delim { / } {Матрица{2}{2}{ 2 {-1} 3 1 }}{|}=2*1-3*(-1)=5. det A = 5 ≠ 0.
Мы создаем вспомогательную матрицу AV из алгебраических сложений Aij: {A^V}=(Матрица{2}{2}{1 {-3~} 1 {2~}}).
Транспонировать матрицу AV:
(A^V)^T=(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}}).
Каждый элемент результирующей матрицы делится на det A:
A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^T={1/5}*(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}})=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Ответ: A^{-1}=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Пример 6. Ранг матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}).
Находить:
Ранг матрицы А.
r (A)—?
Решение:
Ранг матрицы A - это число, равное максимальному порядку ненулевого минора Mk этой матрицы. Ранг матрицы а вычисляется с помощью граничного минорного метода или метода элементарного преобразования.
Вычислим ранг матрицы, применив метод обрезных миноров.
M_1=1;~{M^1}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{1 {-1~} 2 {-2~}}}{|}=-1*2-2*(-1)=0;
{M^2}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {1~} {-2} {2~}}}{|}=-1*2-(-2)*1=0;~{M^3}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{2 {-2~} 1 {1~}}}{|}=2*1-1*(-2)=4;
M32≠0; M_3=delim { / } {матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}}{|}=1*(-2)*(-1)+(-1)*2*1+1*2*(-1)-
{}-1*(-2)*1-(-1)*2*(-1)-1*2*(-1)=0~{doubleright}~r (A)=2.
Ответ: r (A) = 2
Пример 7. Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Определитель| A / матрицы A.
|А| -?
Решение:
Каждой квадратной матрице A может быть присвоено число, которое называется ее определителем и обозначается det A или |A|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется с использованием ее элементов по следующей формуле:
det A = delim { / } {A}{|} = delim { / } {матрица{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
Тогда для матрицы A, приведенной в Примере, определитель |A| будет равен:
delim { / } {A}{|}=delim { / } {матрица{3}{3}{ 3 {-1} {-1} {-3} 1 5 2 {-2} 4 } }{|}=3*1*4+(-1)*5*2+(-1)*(-3)*(-2)-
{}-2*1*(-1)-(-1)*(-3)*4-3*5*(-2)=16
Ответ: |A / = 16.
Пример 8. Минорное и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Минорное и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя / A / матрицы A.
Δ21 — ? А21 — ?
Решение:
Запишите определитель матрицы A: delim { / } A { / }=delim { / } {матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}}{|}.
Второстепенный элемент A21 определителя |A / - это определитель, который получается из этого путем вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используйте обозначение Δ21.
{Дельта}_{21}=делим { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {-1~} {-2} {4~}}}{|}=-1*4-(-2*(-1))=-6
Алгебраическим дополнением A21 элемента a21 в определителе является число, вычисляемое по правилу: Aij = (-1) i+j · Δij, где Δij-соответствующий минор. Затем, подставляя данные в формулу, получаем:
А21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.
Ответ: Δ21 = -6; А21 = 6.
Система линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Рисунок для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z – 2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Пример 6. Ранг матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}).
Находить:
Ранг матрицы А.
r (A)—?
Решение:
Ранг матрицы A - это число, равное максимальному порядку ненулевого минора Mk этой матрицы. Ранг матрицы а вычисляется с помощью граничного минорного метода или метода элементарного преобразования.
Вычислим ранг матрицы, применив метод обрезных миноров.
M_1=1;~{M^1}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{1 {-1~} 2 {-2~}}}{|}=-1*2-2*(-1)=0;
{M^2}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {1~} {-2} {2~}}}{|}=-1*2-(-2)*1=0;~{M^3}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{2 {-2~} 1 {1~}}}{|}=2*1-1*(-2)=4;
M32≠0; M_3=delim { / } {матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}}{|}=1*(-2)*(-1)+(-1)*2*1+1*2*(-1)-
{}-1*(-2)*1-(-1)*2*(-1)-1*2*(-1)=0~{doubleright}~r (A)=2.
Ответ: r (A) = 2
Пример 7. Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Определитель| A / матрицы A.
|А| -?
Решение:
Каждой квадратной матрице A может быть присвоено число, которое называется ее определителем и обозначается det A или |A|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется с использованием ее элементов по следующей формуле:
det A = delim { / } {A}{|} = delim { / } {матрица{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
Тогда для матрицы A, приведенной в Примере, определитель |A| будет равен:
delim { / } {A}{|}=delim { / } {матрица{3}{3}{ 3 {-1} {-1} {-3} 1 5 2 {-2} 4 } }{|}=3*1*4+(-1)*5*2+(-1)*(-3)*(-2)-
{}-2*1*(-1)-(-1)*(-3)*4-3*5*(-2)=16
Ответ: |A / = 16.
Пример 8. Минорное и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Минорное и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя / A / матрицы A.
Δ21 — ? А21 — ?
Решение:
Запишите определитель матрицы A: delim { / } A { / }=delim { / } {матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}}{|}.
Второстепенный элемент A21 определителя |A / - это определитель, который получается из этого путем вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используйте обозначение Δ21.
{Дельта}_{21}=делим { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {-1~} {-2} {4~}}}{|}=-1*4-(-2*(-1))=-6
Алгебраическим дополнением A21 элемента a21 в определителе является число, вычисляемое по правилу: Aij = (-1) i+j · Δij, где Δij-соответствующий минор. Затем, подставляя данные в формулу, получаем:
А21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.
Ответ: Δ21 = -6; А21 = 6.
Система линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Пример 7. Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Определитель| A / матрицы A.
|А| -?
Решение:
Каждой квадратной матрице A может быть присвоено число, которое называется ее определителем и обозначается det A или |A|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется с использованием ее элементов по следующей формуле:
det A = delim { / } {A}{|} = delim { / } {матрица{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
Тогда для матрицы A, приведенной в Примере, определитель |A| будет равен:
delim { / } {A}{|}=delim { / } {матрица{3}{3}{ 3 {-1} {-1} {-3} 1 5 2 {-2} 4 } }{|}=3*1*4+(-1)*5*2+(-1)*(-3)*(-2)-
{}-2*1*(-1)-(-1)*(-3)*4-3*5*(-2)=16
Ответ: |A / = 16.
Пример 8. Минорное и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Минорное и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя / A / матрицы A.
Δ21 — ? А21 — ?
Решение:
Запишите определитель матрицы A: delim { / } A { / }=delim { / } {матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}}{|}.
Второстепенный элемент A21 определителя |A / - это определитель, который получается из этого путем вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используйте обозначение Δ21.
{Дельта}_{21}=делим { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {-1~} {-2} {4~}}}{|}=-1*4-(-2*(-1))=-6
Алгебраическим дополнением A21 элемента a21 в определителе является число, вычисляемое по правилу: Aij = (-1) i+j · Δij, где Δij-соответствующий минор. Затем, подставляя данные в формулу, получаем:
А21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.
Ответ: Δ21 = -6; А21 = 6.
Система линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Матрицы и детерминанты
Пример 1. Сумма матриц
Дано:
Матрицы а и В.
A=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}}), B=(Матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})
Находить:
Сумма матриц A + B = C.
С -?
Решение:
Чтобы добавить матрицы A и B, вам нужно добавить элементы матрицы A к элементам матрицы B, которые стоят в тех же местах.
Таким образом, сумма двух матриц A и B является матрицей:
C=A+B=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})+(матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Пример 2. Умножение матрицы на число
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})
Число k=2.
Находить:
Произведение матрицы на число: A × k = B
Б -?
Решение:
Чтобы умножить матрицу A на число k, нужно умножить каждый элемент матрицы A на это число.
Таким образом, произведение матрицы а на число К является новой матрицей:
B=2*A=2*(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})=(матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Ответ: B=(Матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Пример 3. Матричное умножение
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}}) ;
Матрица B=(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}}) .
Находить:
Произведение матриц: A × B = C
С -?
Решение:
Каждый элемент матрицы C = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. строки матрицы A умножаются на столбцы матрицы a и получают:
C=A*B=(Матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}})*(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}})=
{} =(Матрица{2}{2}{{2*2+3*(-1)+1*3} {2*1+3*1+1*(-2)} {-1*2+0*(-1)+1*3} {-1*1+0*1+1*(-2)}})
C=A*B=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Пример 4. Транспозиция матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}).
Находить:
Найдите матрицу, транспонированную данной единицей.
В — ?
Решение:
Транспонирование матрицы а состоит в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT
A=(Матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}) {doubleright} A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Ответ: A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Пример 5. Обратная матрица
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{2}{2 {-1~} 3 {1~}}).
Находить:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
А-1 — ?
Решение:
Найдите det A и проверьте det A ≠ 0:
{det A}=delim { / } {Матрица{2}{2}{ 2 {-1} 3 1 }}{|}=2*1-3*(-1)=5. det A = 5 ≠ 0.
Мы создаем вспомогательную матрицу AV из алгебраических сложений Aij: {A^V}=(Матрица{2}{2}{1 {-3~} 1 {2~}}).
Транспонировать матрицу AV:
(A^V)^T=(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}}).
Каждый элемент результирующей матрицы делится на det A:
A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^T={1/5}*(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}})=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Ответ: A^{-1}=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Пример 6. Ранг матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}).
Находить:
Ранг матрицы А.
r (A)—?
Решение:
Ранг матрицы A - это число, равное максимальному порядку ненулевого минора Mk этой матрицы. Ранг матрицы а вычисляется с помощью граничного минорного метода или метода элементарного преобразования.
Вычислим ранг матрицы, применив метод обрезных миноров.
M_1=1;~{M^1}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{1 {-1~} 2 {-2~}}}{|}=-1*2-2*(-1)=0;
{M^2}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {1~} {-2} {2~}}}{|}=-1*2-(-2)*1=0;~{M^3}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{2 {-2~} 1 {1~}}}{|}=2*1-1*(-2)=4;
M32≠0; M_3=delim { / } {матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}}{|}=1*(-2)*(-1)+(-1)*2*1+1*2*(-1)-
{}-1*(-2)*1-(-1)*2*(-1)-1*2*(-1)=0~{doubleright}~r (A)=2.
Ответ: r (A) = 2
Пример 7. Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Определитель| A / матрицы A.
|А| -?
Решение:
Каждой квадратной матрице A может быть присвоено число, которое называется ее определителем и обозначается det A или |A|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется с использованием ее элементов по следующей формуле:
det A = delim { / } {A}{|} = delim { / } {матрица{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
Тогда для матрицы A, приведенной в Примере, определитель |A| будет равен:
delim { / } {A}{|}=delim { / } {матрица{3}{3}{ 3 {-1} {-1} {-3} 1 5 2 {-2} 4 } }{|}=3*1*4+(-1)*5*2+(-1)*(-3)*(-2)-
{}-2*1*(-1)-(-1)*(-3)*4-3*5*(-2)=16
Ответ: |A / = 16.
Пример 8. Минорное и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Минорное и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя / A / матрицы A.
Δ21 — ? А21 — ?
Решение:
Запишите определитель матрицы A: delim { / } A { / }=delim { / } {матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}}{|}.
Второстепенный элемент A21 определителя |A / - это определитель, который получается из этого путем вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используйте обозначение Δ21.
{Дельта}_{21}=делим { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {-1~} {-2} {4~}}}{|}=-1*4-(-2*(-1))=-6
Алгебраическим дополнением A21 элемента a21 в определителе является число, вычисляемое по правилу: Aij = (-1) i+j · Δij, где Δij-соответствующий минор. Затем, подставляя данные в формулу, получаем:
А21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.
Ответ: Δ21 = -6; А21 = 6.
Система линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Рисунок для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z – 2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Рисунок для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Пример 12. Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{рбрэйс}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Чертеж для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z-2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Матрицы и детерминанты
Пример 1. Сумма матриц
Дано:
Матрицы а и В.
A=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}}), B=(Матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})
Находить:
Сумма матриц A + B = C.
С -?
Решение:
Чтобы добавить матрицы A и B, вам нужно добавить элементы матрицы A к элементам матрицы B, которые стоят в тех же местах.
Таким образом, сумма двух матриц A и B является матрицей:
C=A+B=(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})+(матрица{2}{3}{6 5 {4~} 3 2 {1~}})=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{3}{7 7 {7~} 7 7 {7~}})
Пример 2. Умножение матрицы на число
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})
Число k=2.
Находить:
Произведение матрицы на число: A × k = B
Б -?
Решение:
Чтобы умножить матрицу A на число k, нужно умножить каждый элемент матрицы A на это число.
Таким образом, произведение матрицы а на число К является новой матрицей:
B=2*A=2*(Матрица{2}{3}{1 2 {3~} 4 5 {6~}})=(матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Ответ: B=(Матрица{2}{3}{2 4 {6~} 8 10 {12~}})
Пример 3. Матричное умножение
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}}) ;
Матрица B=(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}}) .
Находить:
Произведение матриц: A × B = C
С -?
Решение:
Каждый элемент матрицы C = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. строки матрицы A умножаются на столбцы матрицы a и получают:
C=A*B=(Матрица{2}{3}{2 3 {1~} {-1} 0 {1~}})*(матрица{3}{2}{2 {1~} {-1} {1~} 3 {-2~}})=
{} =(Матрица{2}{2}{{2*2+3*(-1)+1*3} {2*1+3*1+1*(-2)} {-1*2+0*(-1)+1*3} {-1*1+0*1+1*(-2)}})
C=A*B=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Ответ: C=(Матрица{2}{2}{4 {3~} 1 {-3~}})
Пример 4. Транспозиция матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}).
Находить:
Найдите матрицу, транспонированную данной единицей.
В — ?
Решение:
Транспонирование матрицы а состоит в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT
A=(Матрица{2}{3}{7 8 {9~} 1 2 {3~}}) {doubleright} A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Ответ: A^T=(матрица{3}{2}{7 {1~} 8 {2~} 9 {3~}})
Пример 5. Обратная матрица
Дано:
Матрица а=(матрица{2}{2}{2 {-1~} 3 {1~}}).
Находить:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
А-1 — ?
Решение:
Найдите det A и проверьте det A ≠ 0:
{det A}=delim { / } {Матрица{2}{2}{ 2 {-1} 3 1 }}{|}=2*1-3*(-1)=5. det A = 5 ≠ 0.
Мы создаем вспомогательную матрицу AV из алгебраических сложений Aij: {A^V}=(Матрица{2}{2}{1 {-3~} 1 {2~}}).
Транспонировать матрицу AV:
(A^V)^T=(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}}).
Каждый элемент результирующей матрицы делится на det A:
A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^T={1/5}*(Матрица{2}{2}{1 {1~} {-3} {2~}})=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Ответ: A^{-1}=(Матрица{2}{2}{{1/5} {1/5} {-3/5} {2/5}})
Пример 6. Ранг матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}).
Находить:
Ранг матрицы А.
r (A)—?
Решение:
Ранг матрицы A - это число, равное максимальному порядку ненулевого минора Mk этой матрицы. Ранг матрицы а вычисляется с помощью граничного минорного метода или метода элементарного преобразования.
Вычислим ранг матрицы, применив метод обрезных миноров.
M_1=1;~{M^1}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{1 {-1~} 2 {-2~}}}{|}=-1*2-2*(-1)=0;
{M^2}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {1~} {-2} {2~}}}{|}=-1*2-(-2)*1=0;~{M^3}_2=delim { / } {Матрица{2}{2}{2 {-2~} 1 {1~}}}{|}=2*1-1*(-2)=4;
M32≠0; M_3=delim { / } {матрица{3}{3}{1 {-1} {1~} 2 {-2} {2~} 1 1 {-1~}}}{|}=1*(-2)*(-1)+(-1)*2*1+1*2*(-1)-
{}-1*(-2)*1-(-1)*2*(-1)-1*2*(-1)=0~{doubleright}~r (A)=2.
Ответ: r (A) = 2
Пример 7. Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Определитель| A / матрицы A.
|А| -?
Решение:
Каждой квадратной матрице A может быть присвоено число, которое называется ее определителем и обозначается det A или |A|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется с использованием ее элементов по следующей формуле:
det A = delim { / } {A}{|} = delim { / } {матрица{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
Тогда для матрицы A, приведенной в Примере, определитель |A| будет равен:
delim { / } {A}{|}=delim { / } {матрица{3}{3}{ 3 {-1} {-1} {-3} 1 5 2 {-2} 4 } }{|}=3*1*4+(-1)*5*2+(-1)*(-3)*(-2)-
{}-2*1*(-1)-(-1)*(-3)*4-3*5*(-2)=16
Ответ: |A / = 16.
Пример 8. Минорное и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица а=(матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}).
Находить:
Минорное и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя / A / матрицы A.
Δ21 — ? А21 — ?
Решение:
Запишите определитель матрицы A: delim { / } A { / }=delim { / } {матрица{3}{3}{3 {-1} {-1~} {-3} 1 {5~} 2 {-2} {4~}}}{|}.
Второстепенный элемент A21 определителя |A / - это определитель, который получается из этого путем вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используйте обозначение Δ21.
{Дельта}_{21}=делим { / } {Матрица{2}{2}{{-1} {-1~} {-2} {4~}}}{|}=-1*4-(-2*(-1))=-6
Алгебраическим дополнением A21 элемента a21 в определителе является число, вычисляемое по правилу: Aij = (-1) i+j · Δij, где Δij-соответствующий минор. Затем, подставляя данные в формулу, получаем:
А21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.
Ответ: Δ21 = -6; А21 = 6.
Система линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{2x_1} {+} {3x_2} {+} {2x_3} {=} {9,~} {x_1} {+} {2x_2} {+} {3x_3} {=} {14,~} {3x_1} {+} {4x_2} {+} {2x_3} {=} {16.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем матрицу а из коэффициентов этой системы уравнений-главную матрицу системы:
A=(матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}})
Мы создаем матрицу B из свободных членов этой системы уравнений-матрицу-столбец свободных членов: B=(матрица{3}{1}{{9~} {14~} {16~}})
Мы решаем этот пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
Вычислить определитель (подробный пример вычисления определителя) матрицы а-Δ-основной определитель системы:
{Дельта}=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {2~} {1} {2} {3~} {3} {4} {2~}}}{|}=1
Выполняется условие Δ ≠ 0, что означает, что система совместима и определена, а единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x_1={{Дельта}_1}/{Дельта},~x_2={{Дельта}_2}/{Дельта},~x_3={{Дельта}_3}/{Дельта}
Δ1 - 1-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 1-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_1=делим { / } {матрица{3}{3}{{9} {3} {2~} {14} {2} {3~} {16} {4} {2~}}}{|}=36
Δ2 - 2-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 2-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_2=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {9} {2~} {1} {14} {3~} {3} {16} {2~}}}{|}=-29
Δ3 - 3-й вспомогательный определитель системы, полученный из Δ путем замены 3-го столбца столбцом свободных членов:
{Дельта}_3=делим { / } {матрица{3}{3}{{2} {3} {9~} {1} {2} {14~} {3} {4} {16~}}}{|}=12
Подставляя полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
x_1={{Delta}_1}/{Delta}={36}/{1}=36,~x_2={{Delta}_2}/{Delta}={-29}/{1}=-29,~x_3={{Delta}_3}/{Delta}={12}/{1}=12
Ответ: x_1=36;~x_2=-29;~x_3=12.
Пример 10. метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {4x_1} {-} {3x_2} {+} {x_3} {=} {1,~} {2x_1} {+} {x_2} {-} {x_3} {=} {1.~}}}{}
Находить:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x1, x2, x3 -?
Решение:
Мы создаем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов для неизвестной и правой сторон:
(A|B)=(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {4} {-3} {1} {Верт} {1~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Мы приведем расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатой форме.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {2} {1} {-1} {vert} {1~}})
Из третьей строки вычтите первую строку, умноженную на два:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {-1} {-3} {vert} {-17~}})
Из третьей строки вычтите вторую строку, умноженную на 1/7:
(A|B)~(матрица{3}{5}{{1} {1} {1} {Верт} {9~} {0} {-7} {-3} {Верт} {-35~} {0} {0} {-18/7} {vert} {-12~}})
Полученная диагональная матрица соответствует эквивалентной системе:
delim{lbrace}{матрица{3}{7}{{x_1} {+} {x_2} {+} {x_3} {=} {9,~} {~} {~} {-7x_2} {-} {3x_3} {=} {-35,~} {~} {~} {~} {~} {(-18/7)x_3} {=} {-12,~}}}{}{doubleright}delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {4/3,~} {x_2} {=} {3,~} {x_3} {=} {14/3.~}}}{}
Ответ: x_1=4/3;~x_2=3;~x_3=14/3.
Векторная алгебра
Пример 11. Координаты вектора
Дано:
Очки: А(2, -4, 0); Б (-4, 6, -2).
Находить:
Координаты вектора overline{a}
оверлайн{а} — ?
Решение:
Начало вектора overline{a} совпадает с точкой A, а конец-с точкой B. найдем координаты вектора overline{a}:
a_x={x_B} - {x_A}= - 4-2=-6,
a_y={y_B} - {y_A}=6-(-4)=10,
a_z={z_B} - {z_A}= - 2-0=-2.
Ответ: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}
Направляющие косинусы вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}.
Находить:
Направляющие косинусов вектора оверлайн{а}.
cos{Альфа},~cos{бета},~cos{гамма} — ?
Решение:
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
cos{alpha}={a_x}/{{delim { / } {a}{|}}}=-6/{sqrt{140}};
cos{beta}={a_y}/{{delim { / } {a}{|}}}=10/{sqrt{140}};
cos{gamma}={a_z}/{{delim { / } {a}{|}}}=-2/{sqrt{140}}.
Ответ: COS {Alpha} = -6/{sqrt {140}}; ~ COS {beta} = 10 / {sqrt {140}}; ~ COS {Gamma} = -2/{sqrt{140}}.
Пример 13. Длина вектора
Дано:
Вектор: overline{a}=delim{lbrace}{-6,~10,~-2}{rbrace}.
Находить:
Длина вектора overline{a} - delim{|}{overline{a}} { / }.
delim { / } {overline{a}} { / }—?
Решение:
Определение длины вектора delim { / } {overline{a}}{|}:
{delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}=sqrt{{(-6^2)}+{10^2}+{(-2^2)}}=sqrt{140}.
Ответ: {delim { / } {overline{a}} { / }}=sqrt{140}
Пример 14. Объем параллелепипеда
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем параллелепипеда ABCD.
В -?
Решение:
Объем параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Объем параллелепипеда:
V=delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }=delim{|}{-24}{|}=24.
Ответ: V=24.
Пример 15. Объем пирамиды
Дано:
Координаты векторов: overline{AB}=(-4,~4,~0);~overline{AC}=(-1,~3,~2);~overline{AD}=(-1,~-1,~1)
Находить:
Объем пирамиды ABCD.
В -?
Решение:
Объем пирамиды ABCD вычисляется по формуле:
V={1/6}delim{|}{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}{|}.
Найти смешанное произведение векторов:
{overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}}=delim { / } {матрица{3}{3}{{-4} {4} {0~} {-1} {3} {2~} {-1} {-1} {1~}}}{|}=-24
Расчет объема пирамиды:
V={1/6}delim { / } {overline{AB}~overline{AC}~overline{AD}} { / }={1/6}delim{|}{-24}{|}=4.
Ответ: V=4.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1 (7, 8, -1) и M2 (9, 7, 4).
Находить:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно векторной надлинии{{M_1}{M_2}}.
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости vec{n} выберите надлинейный вектор{{M_1}{M_2}} = {x2 - x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору vec{n} = {A, B, C}, имеет вид A(x-x_0)+B(y-y_0)+C (z-z_0)=0.
Мы создаем уравнение плоскости с нормальным вектором vec{n} = {2, -1, 5}, проходя через точку M0(2, 5, -3):
2 (x-2) -1(y-5)+5(z+3)=0.
Ответ: 2x-y+5z+16=0.
Пример 17. Уравнение плоскости " в отрезках»
Какие отрезки отрезает плоскость на координатных осях?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x-4y + 6z-12 = 0.
Находить:
Отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям.
А, Б, в...?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости {Ax}+{By}+{Cz}+D=0 к виду уравнения " в отрезках»:
{Ax}+{By}+{Cz}= - D,
Ax/{-D}+By/{-D}+Cz/{-D}=1,
x / {- D / A}+y/{- D/B}+z/{- D / C}=1.
Уравнение x/a+y/b+z / c=1 является уравнением плоскости "в отрезках". Параметры a= - D/A,~b=-D/B,~c= - D/C,~ являются координатами точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (до знака) отрезкам, которые плоскость отсекает по координатным осям.
Применяя вышеизложенное к уравнению 2x-4y + 6z -12 = 0, получим:
{2x} / 12-{4y} / 12+{6z} / 12=1~{doubleright}~{x / 6}+{y / {-3}}+{z / 2}=1.
Отрезанные по осям отрезки равны a = 6, b =-3 и c = 2.
Отрицательный знак перед b указывает на то, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи на тему " уравнение плоскости в пространстве»
Задание 1. Составьте канонические уравнения прямой линии: delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{2x} {+} {y} {-} {5z} {-} {3} {=} {0~} {5x} {+} {3y} {+} {8z} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}.
Решение:
Чтобы создать каноническое или параметрическое уравнение прямой линии в пространстве, необходимо знать координаты любой точки, лежащей на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Чертеж для выпуска № 1
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, то ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к этим плоскостям. В этом случае она коллинеарна с векторным произведением [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Мы найдем точку, лежащую на этой прямой, где одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда две другие координаты могут быть определены из системы уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости.
Предположим для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={x0; y0; 0}
delim{lbrace}{matrix{2}{7}{{2x_0} {+} {y_0} {-} {3} {=} {0~} {5x_0} {+} {3y_0} {-} {13} {=} {0~} {x_3} {=} }}{}~doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{y_0} {=} {3} {-} {x_0} {~} {~} {~} {~} {5x_0} {+} {9} {-} {6x_0} {-} {13} {=} {0~}}}{}~двойной свет x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
Составим канонические уравнения этой прямой:
{x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Ответ: {x+4} / 23={y-11} / {-41}=z / 1.
Проблема 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую линию k:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {2d - 3~} {y} {=} {d+5~} {z} { = } {- d-1~} }}{} и точка B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка A = {-3,5, -1} принадлежит плоскости, то вектор AB параллелен плоскости.
Так как эта линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Это означает, что нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как линия лежит в плоскости, то ее направляющий вектор а = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 получаем из уравнений прямой:
delim{lbrace}{матрица{3}{3}{{x} {=} {-3~} {y} {=} {5~} {z} {=} {-1~} }}{} — координаты точки А, принадлежащей прямой и, соответственно, плоскости.
Рисунок для выпуска №2
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Это означает, что Нормаль n к коллинеарной плоскости является векторным произведением [a, AB] = (-6; -9; -21).
Предположим, что n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
2 (x-2)+3(y+3)+7(z-1)=0,~2x+3y+7z-2=0.
Ответ: 2x + 3y + 7z – 2 = 0.
Задача 3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2 (x2, y2, z2), N3 (x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что точка N на плоскости имеет координаты (x, y, z). Для этого случая плоское уравнение принимает вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где
r = (x, y, z);
r0 = (x1, y1, z1);
базисными векторами (см. рисунок) являются a=vec{{N_1}{N_2}} и b=vec{{N_1}{N_3}} соответственно.
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
delim { / } {матрица{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.
Ответ: delim {|} {матрица{3} {3} {{x-x_1} {y-y_1} {Z-z_1~} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1~} }}{|}=0.