Математические модели конфликта

Доклад на тему:

Математические модели конфликта

Введение

В настоящий момент для того чтобы исследовать межгрупповые и межгосударственные конфликты все больше применяют метод математического моделирования. Актуальность его обусловлена тем, что экспериментальные исследования подобных конфликтов достаточно трудоемкие и сложные, при этом наличие модельного описания может позволить изучить возможное развитие ситуации с целью оптимального урегулирования. Благодаря математическому моделированию, привлекая современные средства вычислительной техники, можно переходить от простых накоплений и анализа фактов к прогнозам и оценке событий в реальном времени, масштабе их развития. Методы наблюдения и анализа межгрупповых конфликтов позволяют получать единичные решения конфликтного события. Математическое моделирование конфликтных явлений, когда используется вычислительные машины, позволяет рассчитать разнообразные варианты их развития и составить прогноз вероятного исхода и влияние на результат.

Благодаря теории игр можно преодолевать субъективизм и волюнтаризм и вырабатывать эффективное решение. Теория игр является математической дисциплиной и придает выводам математическую убедительность, что впоследствии является основой для количественных соотношений.

Цель настоящей работы: рассмотреть оптимальные стратегии математического моделирования в условиях конфликта.

Задачи:

1.Теоретически обосновать использование методов математического моделирования. 2. Продемонстрировать ряд математических моделей решения конфликтных ситуаций.

Структура работы состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

1. Теоретическое обоснование моделирования

Теория игр, для которой больше подходящим является название – теория конфликтов или теория конфликтных ситуаций, зародилась в качестве теории рационального поведения 2-х игроков, имеющих противоположные интересы. В экономике ещё более полутора веков назад теория дуополии (конкуренции двух фирм) О. Курно стала развиваться на основе соображений, которые мы сейчас относят к теории игр. Другим толчком к развитию было создание классической монографии Дж. фон Нейманом и O. Моргенштерном.¹

Благодаря математическому моделированию межгрупповых конфликтов можно заменить непосредственный анализ конфликтов анализом свойств и характеристик их математической модели. Математическая модель –это система формализованных соотношений между характеристиками конфликта, которые разделяются на параметры и переменные. В параметрах модели отражаются внешние условия и слабо меняющиеся характеристики конфликта, переменными составляющими являются основные для данного исследования характеристики. Изменения таких значений конфликта – это главная цель моделирования. Содержательная и операционная объясняемость используемых переменных и параметров является необходимым условием эффективности моделирования

Основой классификации моделей можно положить используемый математический аппарат (дифференциальные уравнения, вероятностные распределения, математическое программирование и т.п.) и объекты моделирования, которыми являются межличностные конфликты, межгосударственные конфликты и др. Выделяются типичные математические модели, которые используют в конфликтологии.

Вероятностное распределение является простейшим способом описания переменных через указание доли элементов совокупности с данным значением переменной.

Статистическое исследование зависимостей является классом моделей, которые широко применяется для того чтобы изучать социальные явления. Прежде всего, ими являются регрессионные модели, которые представляют связь зависимых и независимых переменных в виде функциональных отношений.

Благодаря Марковским цепям описываются такие механизмы динамики распределения, где будущее состояние определяет не вся предыстория конфликта, а только его «настоящее». Основной параметр конечной цели Маркова – это вероятность перехода статистического индивида (оппонент) из одного состояния в другое, за фиксированный определенный конкретный промежуток времени.

Моделью целенаправленного поведения является использование целевых функций для анализа, составления прогноза и планирования социальных процессов. Такие модели имеют вид задач математического программирования, где заданы целевые функции и ограничения. На сегодняшний момент данное направление ориентируется на моделирование процесса взаимодействия целенаправленных социальных объектов, в том числе так определяют вероятность возникновения конфликта между ними.

Теоретические модели предназначаются для того, чтобы осуществлять логический анализ каких-либо содержательных концепций, когда затруднены возможности измерения главных параметров и переменных. К ним могут относиться возможные конфликты между государствами и др.

Имитационными моделями являются классы моделей, которые реализуются в виде алгоритмов и программ для ЭВМ, и отражают сложные зависимости, которые не поддаются аналитическую анализу. Имитационными моделями являются средства машинного эксперимента. Данный способ моделирования применяют для того чтобы исследовать развитие уже идущих конфликтов.²

Математические модели принятия решений в условиях конфликтов рассматриваются в основном в так называемой теории игр, они широко применяются, например, в военно-тактических разработка планов операций. Взяв за основу построения математической модели выбирают методы ее аналитического решения и способы реализации виртуальной и реальной действительности (см. Приложение 1, рис. 1.).³

Игровой математической моделью конфликта считается та, в которой принимают участие пара или несколько сторон, которые стремятся к достижению разных целей. Участники игры имеют общие стратегические интересы и могут быть объединены в группы либо коалиции. Чаще всего в игровой модели присутствует два игрока, которые являются противоборствующими сторонами. Выбор стратегии в конфликтных ситуаций означает разработанный план действий игрока, когда существуют различные возможные действия противника. Очевидно, что стратегии могут быть как более, так и менее удачными. Мера эффективности действия игрока – это так называемый выигрыш. Результат выразить в итоге количественно весьма затруднительно. Но в данном случае – это необходимо, так как в теории рассмотрены только такие игры, в которых выигрыш выражается числовыми данными (стоимость, расстоянием, очки, баллы и так далее). Очевидно, что исходы игры, следовательно, и выигрыш каждого игрока может зависеть от применяемых им стратегий. Если же в реальных ситуациях возникают случаи когда исход для участников полностью становится зависимым от него самого, то данная ситуация не рассматривается как игровая. Проигрыш рассматривают как отрицательный выигрыш. Поэтому в дальнейшем нужно рассматривать только выигрыш.

2. Математические модели решения конфликтных ситуаций

В процессе моделирования, обобщая, выделяют несколько этапов:

1. Постановка задачи. Цели моделирования: исследовать причина возникновения конфликтов, а также их эскалации; рассмотреть различные варианты решения конфликтов; определить соотношения и равновесие сил в оборонительных и наступательных действиях; спрогнозировать эффективность применения той или иной стратегии в ситуации конфликта; планировать переговоры в части выработки оптимального решения. Список не окончательный. Информация, полученная в ходе исследования, фиксируется в некотором языке. Он (язык) может быть естественный или искусственный (графы, формальная логика, дифференциальное и интегральное исчисление).

2. Выбор модели. На этом этапе исследователем от предварительного изучения конфликта осуществляется переход к созданию такого его заместителя, на основании которого будет решаться поставленная задача наиболее рациональным способом.

3. Исследование модели. В данном случае модель становится предметом теоретического анализа. На этом этапе возможна математическая обработка моделей.

4. Интерпретация результатов. На основе полученных результатов, знания о модели трансформируется в знание исследуемой ситуации. Пишут сценарии, идёт оценка, выбор оптимальной стратегии поведения. Стоит отметить, что информация о моделируемом конфликте может быть разной и противоречивой. Зачастую её сбор и обработка проходит в несколько этапов. Проводят качественный и количественный анализы. На каждом из этапов обработки информации увеличивается уровень абстракции и оторванности от действительности (теряются единичные признаки конфликта), соответственно логико- математические модели не всегда могут являться руководством к действию, а могут быть применены только в виде вспомогательного инструмента для прогноза конфликтов.

Изначально, на этапе становления конфликтологии, как самостоятельного научного направления, основными подходами были те, которые связаны с исследованием причин и функции данного феномена, динамикой конфликтного поведения и попытки построения были исходя из общей теории конфликта. На сегодняшний день потребности общественного развития создают объективную необходимость в таких знаниях, на основе которых проблемы управления социальными процессами можно будет решать оптимальным образом. Использование математической модели методов устранения конфликтов позволит учитывать все возможные варианты событий и поведенческих типов реакций в субъектов, когда меняются обстоятельства в каких-либо конфликтных ситуациях. Благодаря таким математическим моделям можно помочь субъектам конфликтного взаимодействия в выборе разумных решений, так как математическая формулировка сложных проблем указывает на возможные исходы. С другой стороны, создавая модель конфликтов нужно строго указывать пределы границы допустимых при моделировании упрощений, не допускать абсолютного растворения единичных признаков конфликтов в общих формализованных описаниях. Например, при представлении конфликтной ситуации в военном деле может возникнуть ряд трудностей в связи с описанием правил условий игроков и стратегии ходов и выигрышей, то есть в описании математической модели предстоящих военных действий по сценарию «если-то». Задача будет в том, чтобы данную конфликтную ситуацию по возможности привести к формализованной игре без значительных потерь, реальных целей, при этом найти оптимальные решения такой модели, провести расчеты и анализ. В качестве примера рассмотрим наиболее важный класс игры –безколлекционную, в ней игроки-противники не могут вступать в коалиции либо договариваться в некоторых соглашениях. Важный случай такой игры – это ситуация, в которой количество игроков равно двум, а выигрыш первого равен проигрышу другого. Данные игры называют антагонистическими либо играми двух лиц с нулевой суммой. Так, если выигрыш первого игрока обозначается через выигрыш второго игрока будет - общей суммы выигрышей будет . Первым игроком делается определенный выбор из нескольких возможных ситуаций (для простаты 2 либо 3), он не знает решения второго. Устанавливается стратегия, которая приводит хотя бы к наименьшим потерям (возможно и выигрышу).

В качестве примера можно рассмотреть виртуальную игру в чистых стратегиях, которая приближена к практическим военным действиям. В ходе проведения боевой операции возникают следующую ситуацию. Противник передвигается запада на восток по одному из трех возможных направлений. Перед группой захвата поставлена боевая задача – выходить наперерез противнику, навязывать им открытый бой и одерживает победу над ними. У группы захвата три маршрута движения (A, B, C). Пересечения путей движения двух групп определяет место проведения боя. Таким образом, есть 9 возможных участков столкновения. Все они расположены на разных относительных высотах (см. рис. 2. Предложение 1.).

Для группы захвата выгоднее навязать открытый бой с наименьшей относительной высотой. Противник при этом чувствует себя уверенно и безопасно в горах. У участников предполагаемого боя разные высоты, указанные в таблице. Определяется, какой маршрут движения группы захвата оптимален. Выигрышем для группы захвата в каждом случае реализации выбора места схватки рассматривается высота данной местности, взятая с обратным знаком, так как увеличение высоты стратегические не является выгодным для неё и, следовательно выигрыш будет меньше. Матрица полученных выигрышей имеет следующий вид:

Для каждого варианта решения найдем самый неблагоприятный исход в зависимости от действий противника, затем из полученных значений выигрышей выберем наибольший. Получаем гарантированный лучший выигрыш при возможных худших действиях противника. Для этого проведем анализ всех строк матрицы, соответствующих разным маршрутам группы захвата. При выборе первого маршрута (А) наихудший выигрыш равен -5,0; маршрута (B) - из второй строки наименьшим является число -1,0; маршрута (C) - наименьшее значение из третьей строки матрицы -2,0. Максимальным из найденных значений выигрышей является -1,0. Таким образом, при выборе второго маршрута (B) бой произойдет на участке не выше 1,0 км. Эта высота обеспечивается при выборе противником 2-го пути. При выборе других направлений противником высота места предполагаемого боя еще ниже – 0,5 км и 0 км. Следовательно, второй маршрут (B) для группы захвата является оптимальным в смысле наименьших потерь. Так называемая цена игры для группы захвата равна -1,0. Рассмотрим теперь действия противников в данной конфликтной ситуации. Они стремятся как можно к большим значениям высоты, чтобы укрыться в труднодоступной местности. Соответственно исходим из противоположного алгоритма. Найдем максимальные значения в столбцах, а затем выберем минимальное из них. Это будет тот выигрыш группы захвата, добиться больше которого противник не позволит. Максимальные элементы столбцов: -0,5; -1,0; 0,0, а минимальный из них равен -1,0. Таким образом, на 2-м маршруте противник не допустит выигрыша группы захвата больше, чем -1,0 и относительная высота боя будет не ниже 1,0 км. Цена игры для противника равна -1,0. Следовательно, цена игры для обоих противников одинаковая и конфликт разрешим в чистых стратегиях. Получили так называемую седловую точку. Можно увидеть, что на пересечении маршрутов (B) и (2) находится седловина. Матричные игры в чистых стратегиях определенной размерности можно автоматизировать, например, в табличном процессоре MS EXCEL. При этом используются встроенные функции: МАКС, МИН, ЕСЛИ.⁴

3. Двузначная и многозначная формальная логика

Двузначная формальная (иначе – математическая, символическая) логика высказываний, называемая классической, лежит в основе обычного человеческого мышления. Эта логика строится с помощью двух постоянных элементов: ИСТИНА (И) и ложь (Л); переменных, значениями которых служат значения истинности различных высказываний, и логических операций, которые можно выполнять над постоянными элементами.

Логические операции над постоянными элементами или высказываниями P,Q следующие: отрицание P (иначе «НЕ P»), дизъюнкция P Ú Q (иначе « P ИЛИ Q »), конъюнкция P Ù Q (иначе « P И Q »), разделительная дизъюнкция P ÅQ (иначе «ЛИБО P, ЛИБО Q »), эквивалентность P « Q (иначе « P РАВНОСИЛЬНО Q »), импликация P ® Q (иначе «ЕСЛИ P, ТО Q »). (рис. 3,4, Приложение2.)

Двузначная формальная логика и реализующие ее автоматы широко используются для математического моделирования многих классов систем. В частности, конфликтующих систем.

Все основные черты многозначной логики проявляются, начиная со значности k = 3. Поэтому ограничимся трехзначной формальной логикой высказываний. Эта логика лежит в основе человеческого мышления, более сложного, чем обычное. Она строится с помощью тех же постоянных элементов, что и двузначная логика: И и Л, с добавлением постоянного элемента НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ (обозначение Н). Новый элемент является неопределенностью в том смысле, что он не истинен и не ложен. Определены три наиболее употребительных варианта операции отрицания (рис. 4,5, Приложение 2). В этой логике не действует закон противоречия – он трансформируется в закон «частичного противоречия», конкретная форма которого также зависит от варианта операции циклического отрицания.⁵

Заключение

Математическое моделирование, когда привлекаются современные средства вычислительной техники, позволяет переходить от простого накопления и анализа фактов к прогнозам и оценке событий в реальном масштабе времени их развития. Данные методы наблюдения и анализа межгруппового конфликта помогут позволить получить единичные решение комплексного события. Математическое моделирование конфликтных явлений с использованием ЭВМ позволяет прочитать различные варианты их развития и спрогнозировать вероятность исхода и влияние на результат. Взяв за основу математический аппарат и объекты моделирования, можно выделить ряд типичных математических моделей.

Часто в практической деятельности применяется так называемый метод математического моделирования как игра. Благодаря игре можно построить ситуации разбежности интересов двух и более лиц и учитывать их интересы и возможные результаты

Ситуации в реальном мире зачастую бывают очень сложные и настолько быстро изменяются, что невозможно осуществить прогноз и построить прогноз реакции конкурента на изменение тактики.

Тем не менее, теория игр может позволить определить наиболее важные, требующей учета факторы в ситуациях принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Данная информация является важной, поскольку позволяет учесть дополнительные переменные или факторы, которые могут повлиять на ситуацию. Так повышается эффективность решений.

Теория игр и математическое моделирование является очень сложной областью знаний. Обращаясь к ним нужно соблюдать известную осторожность и чётко знать границы применения. Анализ и консультации на основании теории игры за сложности рекомендуется лишь для особо важных проблемных областей

Список используемой литературы

Приложение 1.

Рис.1 Построение математической модели ⁶

Рис.2 Высоты предполагаемой стратегической операции.⁷

Приложение 2.

Рисунок 3. Операция отрицания⁸

Рисунок 4. Операции дизъюнкции, конъюнкции, разделительной дизъюнкции, эквивалентности и импликации

Рисунок 5.⁹

Орлов О.И. Теория принятия решений// Психология труда, инженерная психология, эргономика №24,2019 – С. 325

Социологический словарь URL: http://slovariki.org/sociologiceskij-slovar/4715 (дата обращения 12.12.2019)

Покорная О. Ю., Покорная И. Ю., Прядкин Д. В. Математическое моделирование оптимальных стратегий в условиях конфликта // Молодой ученый. — 2011. — №4. Т.1. — С. 16-19.

Покорная О. Ю., Покорная И. Ю., Прядкин Д. В. Математическое моделирование оптимальных стратегий в условиях конфликта // Молодой ученый. — 2011. — №4. Т.1. — С. 16-19.

Левин В. И., Немкова Е. А. Логико-математическое моделирование конфликтов // Системы управления, связи и безопасности №3. 2016 – С.55 -63

Покорная О. Ю., Покорная И. Ю., Прядкин Д. В. Математическое моделирование оптимальных стратегий в условиях конфликта // Молодой ученый. — 2011. — №4. Т.1. — С. 16-19.

Там же

Левин В. И., Немкова Е. А. Логико-математическое моделирование конфликтов // Системы управления, связи и безопасности №3. 2016 – С.55 -63

Там же