Численные методы

Кафедра «Экономическая кибернетика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Численные методы»

Вариант № 2

Выполнил (Ф.И.О.):

Группа: ПИЭ(аб)з-71

Шифр и наименование направления подготовки:

09.03.03

Наименование профиля бакалавриата:

Прикладная информатика

Проверил:

Хабаровск 2019

Содержание

Введение. 4

1 Решение нелинейных уравнений. 5

1.1 Метод простых итераций. 6

1.2 Метод Ньютона. 8

1.3 Решение нелинейного уравнения методом простых итераций. 9

2 Решение задачи Коши с помощью одного из численных методов. 5

2.1 Оценка погрешности вычислений при решении задачи Коши.

2.2 Построение графика решения дифференциального уравнения. 8

2.3 Построение интерполяционного многочлена. 9

2.4 Расчёт погрешности интерполирования

2.5 Построение графиков в одних осях

2.6 Метод наименьших квадратов

2.7 Погрешность аппроксимации

2.8 Анализ результатов

Заключение. 28

Список используем источников. 31

Введение

В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.

Новые вычислительные средства вызвали переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесообразности их реализации на ЭВМ и стимулировали создание более эффективных, что привело к появлению новой дисциплины – вычислительной математики. Предметом изучения последней являются численные методы решения задач математического анализа: изучение алгоритмов и условий сходимости итерационных методов, определение границ применимости методов, исследования оценок погрешностей методов и вычислений. Главным разделом вычислительной математики является реализация численных методов на ЭВМ, то есть составление программы для требуемого алгоритма и решения с ее помощью конкретной задачи.

Любая прикладная задача формируется исходя из определенного физического смысла некоторого процесса (распределение тепла в стержне, описание траектории движения объектов). Прикладная математическая задача может быть сформулирована, например, из описания некоторой экономической модели (задача распределения ресурсов, задача планирования производства, транспортная задача перевозки грузов, оптимальных в заданном смысле). Следовательно, для постановки любой прикладной задачи нужна математическая модель. Поэтому, можно выделить следующие этапы решения задач на ЭВМ:

1) описание математической модели задачи на основе физической или экономической модели;

2) изучение методов решения поставленной математической модели задачи и создание новых методов;

3) выбор метода решения задачи исходя из заданной точности решения и особенностей задачи;

4) составление блок-схемы программы для решения задачи на ЭВМ;

5) отладка программы и оценка полученных результатов;

6) решение задачи на ЭВМ, построение графиков, получение оценки погрешностей, обоснование результатов.

В курсовом проекте рассматриваются не прикладные, а типовые математические задачи, которые могут возникнуть при переходе от реальных систем к их математическим моделям, поэтому основное внимание уделяется последнему этапу.

1 Решение нелинейных уравнений

Нелинейными уравнениями называются уравнения, где – нелинейная функция, которая может относиться к трем типам:

1) нелинейная алгебраическая функция

2) трансцендентные функции – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные и гиперболические функции;

3) различные комбинации этих функций

Решением нелинейного уравнения является такая точка, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. На практике не всегда удается подобрать такое решение. В этом случае решение уравнения находят с применением приближенных (численных) методов. Тогда решением будет являться такая точка, при подстановке которой в уравнение последнее будет выполняться с определенной степенью точности, т.е., где e – малая величина. Нахождение таких решений и составляет основу численных методов и вычислительной математики.

Решение нелинейных уравнений разделяется на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то узнать, сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень.

Первый способ отделения корней – графический. Исходя из уравнения, можно построить график функции. Тогда точка пересечения графика с осью абсцисс является приближенным значением корня. Если f(x) имеет сложный вид, то ее можно представить в виде разности двух функций. Так как, то выполняется равенство. Если построить два графика, то абсцисса точки их пересечения будет приближенным значением корня уравнения.

Второй способ отделения корней нелинейных уравнений – аналитический. Он основывается на следующих трех теоремах.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и меняет на концах отрезка знак (т.е.), то на содержится хотя бы один корень.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке, выполняется условие вида и производная сохраняет знак, то на отрезке имеется единственный корень.

Теорема 3. Если функция является многочленом n-ой степени и на концах отрезка меняет знак, то на имеется нечетное количество корней (если производная сохраняет знак, то корень единственный). Если на концах отрезка функция не меняет знак, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет четное количество корней.

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции. Для этого необходимо вычислить критические точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности. На каждом из них определяется знак производной. Затем выделяются те интервалы монотонности, на которых функция меняет знак.

На втором этапе на каждом из этих интервалов для поиска корня используются численные итерационные методы уточнения корней, например методы половинного деления, простых итераций или Ньютона.

1.1 Метод простых итераций

Метод простых итераций и почти все другие итерационные методы имеют два достоинства:

1) являются универсальными и самоисправляющимися, то есть любая неточность на каком-либо шаге итераций отражается не на конечном результате, а лишь на количестве итераций. Подобные ошибки устойчивы даже по отношению к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы области сходимости;

2) позволяют достигнуть любой заданной точности при любом начальном приближении.

Недостатки методов:

– трудность приведения уравнения.

– если начальное приближение находится далеко от корня, то число итераций при этом увеличивается, а объем вычислений возрастает.

Процесс итераций заканчивается при выполнении двух критериев:

1) Когда два последних приближения отличается между собой по модулю на заданную величину e:

Одного критерия недостаточно, так как в случае крутизны графика, данное условие будет выполнено, но может находиться далеко от корня;

2) Когда последнее вычисленное приближение к корню удовлетворяет уравнению с заданной точностью:

Отдельно критерия бывает недостаточно, так как при пологой функции условие может быть выполнено, но может быть далеко от корня.

1.2 Метод Ньютона

Метод Ньютона рекомендуется применять для нахождения простых действительных корней уравнения.

Достоинством метода является то, что он обладает скоростью сходимости, близкой к квадратичной.

Недостатки метода:

– не при любом начальном приближении метод Ньютона сходится, а лишь при таком, для которого;

– если, т.е. касательная к графику почти параллельна оси абсцисс, то и метод расходится;

– если, т.е. касательная к графику почти параллельна оси ординат, то и продвижения к корню не будет.

Последних трудностей можно избежать, применив модификацию метода Ньютона, в которой используется только касательная в точке начального приближения.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

2.1. Решить задачу Коши с помощью одного из численных методов

Дифференциальное уравнение y`=f(x,y),начальное условие интервал и шаг h = 0.1.

y'=y*cos(x+y) 

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y' = u'v + uv'.

-u*v*cos(u*v+x)+u*v'+u'v = y*cos(x+y)

Или

u(-v*cos(u*v+x)+v') + u'v= y*cos(x+y)

Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:

1. u(-v*cos(u*v+x)+v') = 0

2. u'v = y*cos(x+y)

1. Приравниваем u=0, находим решение для:

-v*cos(u*v+x)+v' = 0

Представим в виде:

v' = v*cos(u*v+x)

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = sin(u*v+x)

v = esin(u*v+x)

2. Зная v, Находим u из условия: u'*v = y*cos(x+y)

u'esin(u*v+x) = y*cos(x+y)

u' = 0 
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:

y = u*v = Cesin(u*v+x)

или

y = Cesin(u*v+x)

Найдем частное решение при условии: y(2) = 2

y(2) = Cesin(2+u*v) = 2

Откуда:

c1 = 2e-sin(2+u*v)

Таким образом, частное решение имеет вид:

y(2) = 2e-sin(2+u*v)esin(u*v+x) 

2. Оценить погрешность вычислений при решении задачи Коши.

3. Полученные данные представить в виде таблицы 1.2.

Рисунок 1 – Таблица 1.2

4. Построить график решения дифференциального уравнения

Рисунок 1.2 – График решения задачи Коши

5. По узлам с чётными номерами таблицы 1.2 построить интерполяционный многочлен, с помощью которого сгустить таблицу 1.2 впять раз, то есть увеличить количество расчетных значений таблицы 1.2 в пять раз.

Рисунок 1.3 - Результаты интерполирования

6. Рассчитать погрешность интерполирования.

7. Полученные результаты представить в виде таблицы 1.3.

8. Построить графики решения дифференциального уравнения и интерполяционного многочлена в одних осях.

9. Аппроксимировать решение дифференциального уравнения (таблица 1.2) методом наименьших квадратов.

10.Рассчитать погрешность аппроксимации.

11.Полученные результаты представить в виде таблицы 1.4.12.Построить графики решения дифференциального уравнения,

интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции в одних осях.

13. Провести анализ полученных результатов.

Рисунок 1.3 - Графики в одних осях

Заключение

Недостаток аналитических методов – использование целого ряда допущений и предположений в процессе построения математических моделей и невозможность, в некоторых случаях, получить решение в явном виде из-за неразрешимости уравнений в аналитической форме, отсутствия первообразных для подынтегральных функций и т.п. В этих случаях широко применяются численные методы.

Численные методы основываются на построении конечной последовательности действий над числами. Применение численных методов сводится к замене математических операций и отношений соответствующими операциями над числами, например, к замене интегралов суммами, бесконечных сумм – конечными и т.п. Результатом применения численных методов являются таблицы и графики зависимостей, раскрывающих свойства объекта. Численные методы являются продолжением аналитических методов в тех случаях, когда результат не может быть получен в явном виде. Численные методы по сравнению с аналитическими методами позволяют решать значительно более широкий круг задач.

Предложенные преподавателем программы показали себя эффективно для решения конкретных задач, под которые они были написаны. Но их использование для решения различных инженерных задач нецелесообразно из-за крайне ограниченного функционала. Возможный выход – это самостоятельное написание программ под конкретные задачи, но это чревато большими трудозатрами. Альтернатива – использование коммерческих пакетов (например, системы математического моделирования Mathcad, Matlab, Maple и т.д.), позволяющих решать очень широкий круг задач. Использование различных скриптов к этим коммерческим пакетам также позволяет еще сильнее расширить их функционал.

Список используемой литературы

1. Алексеев, В.Е. Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений:

учебник / В.Е.Алексеев, В.А.Таланов. - М.: Интернет-Ун-т Информ. Технологий; М.:

БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2006. - 319 с.

2. Волков, Е.А. Численные методы: учеб. пособие / Е.А.Волков. - 5-е изд., стер.

- СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. - 248 с.

3. Воробьев, Е.М. Введение в систему символьных, графических и численных

вычислений "Математика - 5": учеб. пособие для студ. вузов / Е.М.Воробьев. - М.:

ДИАЛОГ-МИФИ, 2005. - 365 с.

4. Гашков, С.Б. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений: учеб.

пособие для вузов / С.Б.Гашков, В.Н.Чубариков. - 2-е изд., перераб. - М.: Высш. шк.,

2000. - 319 с.

5. Карманов, В.Г. Математическое программирование: учеб. пособие для вузов

/ В.Г.Карманов. - 5-е изд., стереотип. - М.: Физматлит, 2004. - 263 с.

6. Киреев, В.И. Численные методы в примерах и задачах: учеб. пособие для

втузов / В.И.Киреев, А.В.Пантелеев. - 2-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 2006. -

480 с.

7. Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах: учеб.

пособие / Н.В.Копченова, И.А.Марон. - 2-е изд., стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань,

2008. - 367 с.

8. Краснов, М.Л. Операционное исчисление. Теория устойчивости: задачи и

примеры с подробными решениями: учеб. пособие для студ. втузов / М.Л.Краснов,

А.И.Киселев, Г.И.Макаренко. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: УРСС, 2003. - 175 с.

9. Лапчик, М.П. Численные методы: учеб. пособие для студ. вузов /

М.П.Лапчик, М.И.Рагулина, Е.К.Хеннер; ред. М.П.Лапчик. - 3-е изд., стер. - М.:

Академия, 2007. - 384 с.

10. Фаддеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры /

Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева . - 3-е изд., стереотип. - СПб.: Лань, 2002. - 733 с.

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков,

Г.М.Кобельков. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.-632с.

2. Воробьева, Г.Н. Практикум по вычислительной математике / Г.Н.Воробьева,

А.Н.Данилова. – М.: Высшая школа, 1990.-208с.

3. Лапчик, М.П. Численные методы: Учебное пособие для студентов вузов/

М.П.Лапчик, М.И.Рагулина, Е.К.Хеннер; Под ред. Лапчика М.П. – М.: «Академия»,

2004.-384с.

4. Рябенький, В.С. Введение в вычислительную математику: учеб. пособие /

В.С.Рябенький. - 2-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2000. - 294 с.