Курсовая работа «Математический анализ» по теме: "Несобственные интегралы"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОУ ВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

И МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по предмету

«Математический анализ»

теме: "Несобственные интегралы"

Работу выполнила: студентка группы

направления образования «44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки). Профиль: Математика и информатика»

Радич А.С.

Донецк - 2020

ВВЕДЕНИЕ

При изучении понятия определенного интеграла предполагается, что промежуток интегрирования – сегмент, а подынтегральная функция ограничена на промежутке интегрирования. Различные задачи в математике и её приложениях приводят к необходимости обобщить понятие определенного интеграла на случаи, когда либо промежуток интегрирования неограниченный, либо подынтегральная функция является неограниченной. В каждом из этих случаев интеграл называется несобственным.

В зависимости от того, является ли неограниченной область интегрирования или подынтегральная функция, несобственные интегралы относят либо к первому, либо ко второму роду.

В типовых задачах исследования на сходимость интеграла от знакопостоянной функции предлагается, как правило, исследовать интеграл с двумя особыми точками на концах промежутка интегрирования в зависимости от параметра. Ключевым методом решения таких задач является сведение к эталону с помощью признака замены на эквивалентную функцию. доказано, что при остальных значениях параметра расходится хотя бы один из интегралов-слагаемых, а значит, и исследуемый интеграл.

Определение сходимости и расходимости несобственного интеграла с одной особой точкой опирается на понятие конечного предела непрерывной функции — интеграла с переменным верхним пределом от интегрируемой по Риману функции. Учитывая свойство аддитивности интеграла Римана относительно отрезка интегрирования, сходимость и расходимость несобственного интеграла зависит только от поведения подынтегральной функции в любой фиксированной окрестности особой точки (докажите самостоятельно). Это позволяет формулировать различные теоремы, связанные с исследованием на сходимость несобственного интеграла в произвольной фиксированной окрестности особой точки.

1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РОДА .

Пусть функция f (x) определена на полупрямой a ≤ x < +∞ и пусть ∀A > a существует определенный интеграл . Независимо от того, существует или нет

(1)

будем называть его несобственным интегралом 1 рода от функции f(x) по полупрямой [a, +∞) и обозначать

(2)

Если указанный предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Геометрический смысл несобственного интеграла 1 рода — площадь бесконечной вправо криволинейной трапеции, взятая со знаком «+» при f(x) > 0 и взятая со знаком «−» при f(x) ≤ 0. Физическая трактовка несобственного интеграла 1 рода: если f(x) — сила, то — работа этой силы по перемещению материальной точки из точки a в +∞. Аналогично определяются несобственные интегралы по полупрямой (−∞, a]; и по всей числовой прямой (−∞,∞):

Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов 1 рода. Пусть ∀A > a ∃. Для того чтобы несобственный интеграл сходился, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε > 0 ∃A такое, что выполнялось неравенство

(3)

Однако на практике вместо критерия Коши более удобны достаточные условия сходимости, к изложению которых мы и приступаем.

Признак сравнения. Пусть 0 ≤ f(x) ≤ g(x) при x ≥ a и функции f(x) и g(x) интегрируемы на любом сегменте [a, b], ∀b > a. Тогда из сходимости интеграла

(4)

следует сходимость интеграла

(5)

а из расходимости (4) следует расходимость (5).

Следствие 1: если при x ≥ a > 0, c = const > 0 и α > 1, то сходится. Если же f (x) > при x ≥ a > 0, c = const > 0 и α ≤ 1, то расходится.

Следствие 2: (признак сравнения в предельной форме). Если f(x) ≥ 0 и g(x) ≥0 при x ≥ a и

(6)

то интегралы (4) и (5) сходятся или расходятся одновременно. Если же k = 0, то из сходимости (4) следует сходимость (5).

Признак сравнения относится к неотрицательным функциям. В этом отношении он аналогичен признаку сравнения для рядов с положительными членами. Для исследования сходимости несобственных интегралов от знакопеременных функций полезен признак Дирихле, аналогичный признаку Дирихле для рядов. Он относится к несобственным интегралам вида

Признак Дирихле. Пусть

1. Функция f(x) непрерывна на [a, +∞) и имеет на этой полупрямой ограниченную первообразную F(x) (т.е. такое, что ∀ x ∈ [a, +∞) справедливо неравенство |F(x)| ≤ M.

2. Функция g(x) не возрастает на [a, +∞), стремится к нулю при x → +∞ (g(x) ↓ 0 при x → +∞) и имеет непрерывную производную на [a, +∞).

Тогда несобственный сходится.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов 1 рода

Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится.

Отметим, что если интеграл абсолютно сходится, то он сходится. Это следует из критерия Коши и неравенства . Если правая часть неравенства < ε, то и левая < ε.

2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА

Пусть функция f(x) определена и не ограничена на полусегменте (a, b], но ограничена на любом сегменте [a + δ, b] ⊂ (a, b]. Точку a назовем особой точкой функции f(x). Ясно, что функция f(x) не интегрируема по Риману на (a, b]. Предположим, что функция f(x) интегрируема на любом сегменте [a + δ, b] и рассмотрим

(7)

Не зависимо от того, существует этот предел или нет, назовем его несобственным интегралом 2 рода от функции f(x) по полусегменту (a, b] и будем обозначать так же, как определенный интеграл R b a f(x) dx. Если этот предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а если не существует — расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла второго рода: если f(x) > 0 на (a, b], то есть площадь бесконечной вверх криволинейной трапеции.

Замечание 1. Аналогично определяются несобственный интеграл второго рода: а) по полусегменту [a, b), если b — особая точка; б) по интервалу (a, b), если a и b — особые точки (и других особых точек на [a, b] у функции f(x) нет):

(8)

2. Если особой точкой функции f(x) является внутренняя точка c сегмента [a, b] и других особых точек нет, то по определению полагают:

(9)

Если оба предела существуют (хотя бы один не существует), то говорят, что несобственный интеграл сходится (расходится).

3. Если на сегменте [a, b] функция f(x) имеет несколько особых точек, то несобственный интеграл определяется как сумма несобственных интегралов по полусегментам и сегментам, у которых одна или обе граничные точки — особые.

Признаки сходимости несобственных интегралов.

Для несобственных интегралов второго рода имеют место признаки сходимости, аналогичные признакам сходимости несобственных интегралов первого рода. Сформулируем некоторые из них для несобственных интегралов, по полусегменту (a, b], где a — единственная особая точка подынтегральных функций.

1.Критерий Коши. Для того чтобы несобственный интеграл сходился, необходимо и достаточно, чтобы такое, что , удовлетворяющих условию , выполнялось неравенство:

2. Признак сравнения. Если 0 ≤ f(x) ≤ g(x) при a < x ≤ b, то из сходимости интеграла

(10)

следует сходимость интеграла

(11)

а из расходимости интеграла (10) следует расходимость интеграла (11).

Понятия абсолютной и условной сходимости для несобственных интегралов второго рода формулируются так же, как и для несобственных интегралов первого рода. Для доказательства условной сходимости также можно использовать следующий признак Дирихле, аналогичный признаку Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода.

3.Признак Дирихле.

Пусть

1. функция f(x) непрерывна на (a, b] и имеет на этом промежутке ограниченную первообразную F(x);

2. функция g(x) не убывает на (a, b], стремится к нулю при x → a+0 (g(x) ↓ 0 при x → a + 0) и имеет непрерывную производную на (a, b].

Тогда несобственный интеграл сходится.

Если промежуток интегрирования является бесконечным и функция f(x) имеет на этом промежутке конечное число особых точек, то интеграл (несобственный) от функции f(x) по этому промежутку представляется в виде суммы несобственных интегралов первого и второго рода. Если все эти интегралы сходятся, то говорят, что исходный интеграл сходится, и полагают его равным сумме этих несобственных интегралов.

3. ТЕСТ

1. Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость:

1) расходится;

2)

3) 1;

4)

5) 2

2. Исследовать сходимость несобственных интегралов

а) ; б)

1) a) – сходится; б) − расходится

2) оба интеграла сходятся

3) оба интеграла расходятся

4) a) – расходится; б) − сходится

3. Исследовать сходимость интеграла

1) сходиться

2) расходиться

3) абсолютно сходиться

4) условно сходиться

4. Исследовать сходимость интеграла:

1) сходиться

2) расходиться

3) абсолютно сходиться

4) условно сходиться

5. . Исследовать сходимость несобственных интегралов a) ; б)

1) a) – сходится; б) − расходится

2) оба интеграла сходятся

3) оба интеграла расходятся

4) a) – расходится; б) − сходится

6. Исследовать сходимость несобственных интегралов

а) б)

1) a) – сходится; б) − расходится

2) оба интеграла сходятся

3) оба интеграла расходятся

4) a) – расходится; б) − сходится

7. Исследовать сходимость несобственных интегралов

а) а) ; б)

1) a) – сходится; б) − расходится

2) оба интеграла сходятся

3) оба интеграла расходятся

4) a) – расходится; б) − сходится

8. Исследовать сходимость несобственных интегралов:

а) б)

1) a) – сходится; б) − расходится

2) оба интеграла сходятся

3) оба интеграла расходятся

4) a) – расходится; б) − сходится

9. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

1) 2;

2) 0

3) расходится

4)

10. Вычислить несобственный интеграл второго рода:

1) 0

2) +∞

3) 2

4) 4

11. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

1) сходиться

2) расходиться

3) абсолютно сходиться

4) условно сходиться

12. Найти значение несобственного интеграла или установить его расходимость:

1) 2π

2)

3) расходится

4) 1

14 Исследуйте на сходимость несобственный интеграл:

1)

2) расходится

3)

4) π

15 Исследуйте на сходимость несобственный интеграл:

1) 0

2) +∞

3) 2

4) расходится

16 Исследовать на сходимость интеграл:

1) сходиться

2) расходиться

3) абсолютно сходиться

4) условно сходиться

17 Вычислить, при каком значении параметра p несобственный интеграл сходится

1) p ≤1.

2) p >1

3) p = 0

4) p ≥ 0

18 Исследовать на сходимость несобственный интеграл :

1) сходиться

2) расходиться

3) абсолютно сходиться

4) условно сходиться

19 Исследовать на сходимость интеграл: dx

1) 0

2) расходится

3) 2

4) 4

20. Вычислить, при каком значении параметра p несобственный интеграл сходится

1) p > 3

2) p ≥ 3

3) p < 0

4) p ≤ 3

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ