Математическое моделирование

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ МАГИСТЕРСКОЙ ПОДГОТОВКИ

КАФЕДРА СТРОИТЕЛЬНОГО МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЯ И ТЕХНОЛОГИЙ

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»

Выполнил

студент гр. ФПСм-18: _____________ А.В. Шестаков

подпись

Проверил

доцент, к. т. н.: _____________ А.А. Зиновьев

подпись

Братск 2019

Содержание

1 Выбор и описание объекта исследования 5

2 Планирование и проведение эксперимента 9

3 Обработка экспериментальных данных 11

4 Анализ объекта исследования 13

Заключение 15

Список использованных источников 16

Введение

Целью данной курсовой работы является получение навыков планирования, проведения эксперимента и построения по его данным математической модели, отражающей изменение свойств (характеристик, выходов) объекта исследования в зависимости от рецептурных, технологических природно-климатических и других факторов.

В ходе выполнения курсовой работы должны быть рассмотрены общие принципы построения и использования математических моделей, выбор объекта исследования и факторов, влияющих на свойства этого объекта, планирование и проведение эксперимента, построение математической модели по экспериментальным данным и анализ объекта исследования по полученной модели.

В строительстве в связи с ускорением научно-технического прогресса как в народном хозяйстве, так и в целом непосредственно в этой отрасли происходит интенсивный процесс информатизации направленный на решение технических задач, оптимизацию технико-экономических условий и решений, обеспечивающих производительность труда, ресурсосбережение, гарантированное качество продукции.

Современные строительные системы в большинстве это композитные многокомпонентные системы, характеристики которых зависят от огромного количества факторов.

Усложнение основных объектов (городских территорий, зданий, сооружений, материалов, собственно технологических процессов в строительстве и реализующих их аппаратов, технологических линий и комплексов) приводит к прогрессирующему росту потерь от ошибочных или ненадежных решений по развитию и функционированию этих объектов. Для уменьшения вероятности таких ошибок необходимо, с одной стороны, основывать решения на рекомендациях фундаментальных и прикладных наук при системном подходе к объектам, с другой – использовать возможности вычислительной техники для всестороннего анализа объекта и выбора путей оптимизации его структуры, свойств, поведения и прочего. Диалектическая связь между этими сторонами процесса принятия инженерных решений может обеспечиваться математическими моделями объекта и программным обеспечением ЭВМ.

Метод моделирования является одной из обязательных сторон научного исследования, без которого не обходится ни одна конструкторская или исследовательская работа. Приступая к изучению явления или процесса, исследователь заменяет его схематической моделью, которая выбирается тем более сложной, чем подробнее и точнее нужно изучить данное явление. В модели сохраняется только самые существенные стороны изучаемого явления, а все малосущественные свойства и закономерности отбрасываются. Какие стороны изучаемого явления необходимо сохранить в модели, а какие отбросить, зависит от постановки задачи исследования. Формальное абстрактно-знаковое описание системы (в виде набора чисел, графиков, уравнений, неравенств), позволяющее судить о некоторых чертах поведения системы можно назвать математической моделью. Критерием истинности модели служит инженерная или технико-экономическая полезность новой информации, полученной по модели при последующей проверке.

Чтобы модель оказалась полезной, она должна обладать двумя диалектически связанными свойствами: 1. модель должна быть экономичной, 2. модель должна обеспечивать возможность распространения без существенного искажения информации на систему, т.е. обладать свойством транзитивности (лат. transitus – переход).

1 Выбор и описание объекта исследования

Образование – неотъемлемый процесс становления человека, без которого существование современного социума было бы невозможным. Ведь чтобы быть полезной государственной единицей, нужно обязательно чему-то научиться. Именно для этого и созданы дошкольные и общеобразовательные учреждения, а также учреждения профессионального образования.

При рассмотрении данной темы сначала надо разобраться, что же такое образовательное учреждение.

Образовательным является учреждение, осуществляющее образовательный процесс, то есть реализующее одну или несколько образовательных программ и (или) обеспечивающее содержание и воспитание обучающихся, воспитанников.

К образовательным относятся учреждения следующих типов:

1) дошкольные;

2) общеобразовательные (начального общего, основного общего, среднего (полного) общего образования);

3) учреждения начального профессионального, среднего профессионального, высшего профессионального и послевузовского профессионального образования;

4) учреждения дополнительного образования взрослых;

5) специальные (коррекционные) для обучающихся, воспитанников с ограниченными возможностями здоровья;

6) учреждения для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей (законных представителей);

7) учреждения дополнительного образования детей;

8) другие учреждения, осуществляющие образовательный процесс.

Образовательные учреждения вправе образовывать образовательные объединения (ассоциации и союзы), в том числе с участием учреждений, предприятий и общественных организаций (объединений). Указанные образовательные объединения создаются в целях развития и совершенствования образования и действуют в соответствии со своими уставами. Порядок регистрации и деятельности указанных образовательных объединений регулируется законом.

Права и обязанности образовательных учреждений, предусмотренные законодательством Российской Федерации, распространяются и на общественные организации (объединения), основной уставной целью которых является образовательная деятельность, только в части реализации ими образовательных программ.

В малых городах и сельских территориях традиционно существует дисбаланс между спросом на образование и его предложением. Он во многом определяет логику развития малых территорий как таковых, стимулируя миграцию на выезд с целью получения образования.

Однако изменение требований современного рынка труда: рост спроса на профессиональные компетенции и снижение значимости предметного знания, развитие и распространение онлайн-обучения, поиск новых моделей и форм образования как на национальном, так и международном уровне, компетентностные модели обучения, которые могут способствовать самозанятости, населения дают малым территориям возможность встроиться в образовательную повестку XXI века и найти свою траекторию выживания и даже развития. Традиционные преимущества малых городов – компактность, мобильность, соразмерность человеку — позволяют, при наличии других факторов, эффективно размещать в них образовательные мощности.

Наличие образовательной организации, а также наличие в любом формате образовательных услуг разного уровня – ключевой инструмент и фактор развития малых территорий. Отсутствие последних оказывает негативное влияние на систему жизнеобеспечения малых территорий, приводит к нарущению процессов воспроизводства населения, проблемам социального и демографического развития. Решение проблемы «образовательной миграции» и удержания населения на малых территориях – становится ключевой проблемой безопасности России. Малозаселенные малые территории в будущем могут создать угрозу территориальной целостности России.

«Самое важное в небольших населенных пунктах — есть ли там образовательное учреждение, школа, садик. От этого и зависит, будет ли и дальше существовать этот населенный пункт или он является абсолютно бесперспективным. Без образовательного учреждения, в перспективе 10-15-20 лет, этого населенного пункта не будет».

Образование для малых территорий сегодня носит двойственный характер. С одной стороны, способно стимулировать процессы социального развития и благотворно влиять на развитие человеческого капитала в условиях малых территорий. Но, с другой – становится потенциальной угрозой демографической устойчивости территориям. Перспективная молодежь уезжает учиться в крупные города и не возвращается обратно. Решение проблемы образовательной миграции с малых территорий – это ключевой вопрос демографической безопасности.

«Образование – это ключевой фактор молодежной миграции, вымывания из малых городов наиболее активного, креативного, талантливого населения. Образование – это лифт, но лифт, который работает в территориальном смысле в одну сторону. Дети заканчивают школу, поступают в учреждения СПО и высшие учебные заведения, ориентируются на большие города, региональные центры. После окончания учебного заведения они ищут работу либо в местах своей учебы, либо смотрят дальше на мегаполисы. В итоге небольшие поселения просто вымирают под влиянием миграции из села в город и из малого города в более крупные».

От того, сможет ли Россия создать работающую модель образования для малых территорий, зависит будущее малых городов и сел. Данная тема пока не нашла своего практического отражения и решений в основных стратегических документах федерального уровня – от стратегии пространственного развития страны до приоритетных национальных проектов.

В качестве объекта исследования выбрана система образовательных учреждений городов республики Хакасия. Города республики Хакасия имеют достаточно небольшую площадь и численность населения. Количество образовательных учреждений в городах напрямую зависит от их размеров и числа жителей. В таблице 1 представлены данные по городам республики.

Таблица 1 Экспериментальные данные

 Численность населения применяется как при расчете показателей обеспеченности населения объектами социальной инфраструктуры, так и при расчете иных затрат в системе межбюджетных отношений. В настоящее время для этого используется численность постоянного населения, оцениваемая и публикуемая Росстатом. Также, как говорилось ранее, размер, компактность города имеет немаловажное значение в строительстве новых образовательных учреждений.

2 Планирование и проведение эксперимента

Итак, на основе проведенного анализа системы образовательных учреждений городов республики Хакасия в качестве регулируемых факторов (Xi), воздействующих на объект, были выбраны численность населения города и его площадь.

Кодирование переменных при экспериментально-статистическом моделировании производится по формуле:

<Object: word/embeddings/oleObject1.bin> (1)

где Хi - натуральное значение i - той переменной;

<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>- среднее значение i - той переменной;

∆Хi - интервал варьирования i -той переменной;

Из (1) следует:

для нижнего уровня Xi = Ximin, xi = -1;

для среднего уровня Xi = <Object: word/embeddings/oleObject3.bin>, xi = 0;

для верхнего уровня Xi = Ximax, xi = 1;

Возврат от кодированных переменных к натуральным происходит по вытекающему из (1) соотношению:

<Object: word/embeddings/oleObject4.bin> (2)

При нормализации факторов, во-первых, происходит центрирование переменных в результате переноса начала координат в точку X, во-вторых, единица масштаба новой шкалы равна интервалу варьирования фактора.

Для Х1: Х1min = 11,416;

Х1max = 184,168;

<Object: word/embeddings/oleObject5.bin> = (11,416+184,168)/2=97,792;

∆Х1 = 97,792-11,416=86,376.

Формула кодирования для Х1: х1i=(Х1i-97,792)/86,376.

Для Х2: Х2min = 17;

Х2max = 117,9;

<Object: word/embeddings/oleObject6.bin>= (17+117,9)/2=67,45;

∆Х2 = 67,45-17=50,45.

Формула кодирования для Х2: х2i=(Х2i-67,45)/ 50,45.

Таблица 2 Экспериментальные данные

Подставляя в формулы кодирования экспериментальные значения Х1 и Х2 получаем их кодированные значения в табл.3.

Таблица 3 Кодированные экспериментальные значения Х1 и Х2

3 Обработка экспериментальных данных

Получение математической модели по данным эксперимента и ее последующую математическую обработку производим на ЭВМ с помощью программы "MODEL_NR".

Таблица 4 Результаты построения математических зависимостей

Используя полученные уравнения, необходимо построить их графические отображения. Так как полученные уравнения являются многофакторными (которые невозможно отобразить на обычном плоскостном графике) необходимо на их основе построить однофакторные зависимости при фиксированных значениях одного из факторов.

На примере зависимости линейного вида y = C1 + C2x1 + C3x2 проведем проверку значимости коэффициентов.

Число v = n-m-1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.

Tтабл (n-m-1;α/2) = (3;0.025) = 3,182

<Object: word/embeddings/oleObject7.bin>
t0 = 27,37/10,949=2,504<3,182

Статистическая значимость коэффициента b0 не подтверждается.

t1 = 17,59/18,145=0,971<3,182

Статистическая значимость коэффициента b1 не подтверждается.

t2 = 2,46/15,568=0,155<3,182

Статистическая значимость коэффициента b2 не подтверждается.

Далее проверим адекватность модели.

R2 = 1-1530,801/2672=0,4271

Проверим гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H0: R2 = 0; β1 = β2 = ... = βm = 0.

H1: R2 ≠ 0.

Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка).

Если F<Fkp=Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.

F=0,4271/(1-0,4271)*(6-2-1)/2=1,118

Табличное значение при степенях свободы k1 =2 и k2=n-m-1=6-2-1=3, Fkp(2;3) = 9.55.

Поскольку фактическое значение F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим и уравнение статистически ненадежно (совместная незначимость коэффициентов при факторах xi подтверждается).

Установлено, что в исследуемой ситуации 42.71% общей вариабельности Y объясняется изменением факторов Xj. Установлено также, что параметры модели статистически не значимы.

4 Анализ объекта исследования

Анализ проводится путем построения однофакторных уравнений, отражающих влияние одного из исследуемых факторов на изменчивость какого-либо результативного показателя системы и сравнения их с теоретическими данными по этому вопросу.

Многофакторные уравнения модели используются для построения однофакторных зависимостей наблюдаемых результативных показателей от каждого из рассматриваемых факторов при фиксированных значениях остальных факторов.

В таблицу 5 приводятся полученные однофакторные зависимости, на основании которых строятся соответствующие графики.

Таблица 5 Однофакторные уравнения

На рисунках 1 и 2 представлены Графические отображения однофакторных зависимостей от переменных Х1 и Х2.

Рисунок 1 Графики однофакторных зависимостей от переменных Х1

Рисунок 2 Графики однофакторных зависимостей от переменных Х2

Заключение

В данной курсовой работе мы освоили методику построения и выбора математических зависимостей, описывающих поведение изучаемого объекта. Для этого было выполнено с использованием программы MODEL построение математических зависимостей (линейная, линейная с эффектами взаимодействия, квадратическая) по результатам экспериментальных данных.

Из результатов эксперимента видно, что при построении квадратической зависимости сумма квадратов отклонений минимальная и значит, эта зависимость дает наиболее точную информацию о поведение изучаемого объекта.

Список использованных источников

1 Математическое моделирование: Методические указания Составители: А.А. Зиновьев - Братск: БрГУ. 2011,- с.

2 Численность населения Российской Федерации. Стат. сб. – Росстат. – М., 2018. - 554 с.

3 Общеобразовательные учреждения: типы, виды, различия. Дошкольные образовательные учреждения [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://businessman.ru/new-obshheobrazovatelnye-uchrezhdeniya-tipy-vidy-razlichiya-doshkolnye-obrazovatelnye-uchrezhdeniya.html

4 Образование в малых городах и селах: проблемы и решения [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://rusregions.com/obrazovanie-v-malykh-gorodah-i-selah/

5 Численность населения как бюджетообразующий показатель в регионах и муниципальных образованиях России [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.demoscope.ru/weekly/2014/0581/analit05.php

6 Закон РФ "Об образовании" от 10.07.1992 N 3266-1

7 Образовательные учреждения Республики Хакасия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.edurh.ru/facilities.html