РАЗРАБОТКА СОДЕРЖАНИЯ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО ТЕМЕ «ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ»

Курсовая работа

РАЗРАБОТКА СОДЕРЖАНИЯ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО ТЕМЕ «ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ»

Введение

«Мы все учились понемногу чему-нибудь и как-нибудь» – эти бессмертные слова русского классика как нельзя лучше отражают сегодняшнее положение дел в общеобразовательной школе. Обязательная школьная программа перегружена различными дополнительными дисциплинами типа мировой художественной культуры, основ регионального развития, основ проектной деятельности и т.д.

Так что, о возможности разобраться подробно во многих темах школьного курса, к примеру, математики, многим ребятам приходится только мечтать. Да-да, именно многим, потому что математика всегда вызывала очень много вопросов и недоумений у обучающихся из-за своей сложности и многогранности, а если учитель преподает интересно и, действительно, ведет обучающихся за собой в царство науки, то интерес обучающихся будет неподдельным. Тем более, что к 8 классу многие родители убеждают своих детей в необходимости умений решать задания будущего основного государственного экзамена. Определенная часть школьников являются олимпиадниками, и потому для них дополнительные занятия по математике необходимы для подготовки к успешным выступлениям за честь школы, города или целого региона.

Элективные курсы по математике позволяют некоторым обучающимся подробнее разобраться с трудными вопросами предмета, некоторым – научиться решать такие задачи, которых в школьной программе и не встретишь, а некоторым – отработать навыки решения задач сложной части ОГЭ до совершенства.

В рамках нашей работы мы будем разрабатывать содержание элективного курса по геометрии для учащихся 8 класса по теме «Замечательные точки и линии в треугольнике».

Актуальность данной работы обусловлена тем, что в курсе геометрии 7-9 классов материал по теме «Замечательные точки и линии в треугольнике» представлен в недостаточном объеме – к примеру, в учебнике Л.С. Атанасяна на изучение замечательных точек и линий в треугольнике отведено всего 3 урока в 7 классе и 7 уроков в 8 классе. Это дает почву для организации и проведения внеклассной работы. Информация, приведенная в работе, может быть полезна для обучающихся в их учебной практической деятельности. В целом, решение геометрических задач в школе способствует комплексному развитию математических умений и навыков у ученика.

Объект исследования – процесс изучения школьного курса геометрии.

Предмет исследования – методика изучения замечательных точек и линий в треугольнике в рамках элективного курса.

Целью курсовой работы является разработка элективного курса «Замечательные точки и линии в треугольнике».

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

Выше указанные задачи реализуются в параграфах курсовой работы. Основное содержание изложено в двух параграфах. Второй параграф разделен на три подпараграфа.

В §1 дается понятие «элективного курса», его функции и значение в рамках школьной программы. Также, приводятся доводы и аргументы, почему нужны элективные курсы наравне с остальными предметами.

В §2.1. Представлена общая структура рабочей программы элективного курса по нашей теме.

В §2.2. Описано содержание курса, которое планируется проводить в 8 классе. Представлены темы занятий и их краткое содержание.

Подборка задач для элективного курса и их решение приводятся в §2.3.

Разработка программы элективного курса по теме «Замечательные точки и линии в треугольнике» требует детальной, тщательной проработки, грамотного подбора задач и логически простроенное содержание курса в целом.

§1. Общие вопросы организации и проведения элективных курсов по математике

Для начала нужно договориться о терминах. Сама семантика слова «элективный» позволяет нам раскрыть предназначение таких учебных курсов в рамках реализации школьной программы. Прилагательное «Элективный (Electus) в переводе с латинского языка означает избранный, отобранный» [9, с. 1170].

Итак, по определению Г.А. Роговой, «Элективные курсы – обязательные курсы по выбору учащихся из компонента образовательного учреждения, входящие в состав профиля обучения» [12].

Элективные курсы выполняют три функции:

«– “Надстройки” профильного курса, когда такой дополненный профильный курс становится в полной мере углубленным (а школа /класс/, в котором он изучается, превращается в традиционную школу с углубленным изучением отдельных предметов);

– развивают содержание одного из базисных курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать изучение смежных учебных предметов на профильном уровне или получить дополнительную подготовку для сдачи единого государственного экзамена по выбранному предмету на профильном уровне;

– способствуют удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека» [12].

Классификация типов элективных курсов может выглядеть примерно следующим образом. В школе, в основном, организуются и ведутся предметные элективные курсы – то есть, курсы по определенному, отдельному школьному предмету (они, в свою очередь, тоже подразделяются на подтипы – курсы углубленного уровня изучения предмета, курсы изучения какого-либо конкретного раздела предмета, прикладные курсы). Тем не менее, порой можно встретить и межпредметные элективные курсы – к примеру, биолого-химический курс может помочь ученикам старших классов в подготовке к поступлению в медицинские ВУЗы или ССУЗы. И третий тип элективных курсов – это курсы по предмету, который не входит в базисный учебный план. Например, сейчас в школах часто изучают «Основы проектной деятельности», потому что, в качестве эксперимента, обучающиеся 9-х и 10-х классов выполняют индивидуальные учебные проекты, либо это может быть необходимо обучающимся в рамках подготовки проектов для участия в научно-практических конференциях различных уровней.

Если говорить о целях разработки и ведения элективных курсов, то, прежде всего, они призваны развивать, углублять и усиливать понимание науки, которая изучается школьниками в рамках урочной формы деятельности по учебному предмету. В школе дети не осознают, что они изучают базовые основы различных научных дисциплин. И что в дальнейшем эти основы должны стать крепким фундаментом для получения профессионального образования.

Изучение школьного курса математики, к примеру, способствует развитию логического и аналитического типов мышления, в процессе осмысления различных форм и способов действий при решении задач у ребенка формируются нейронные связи в мозге, столь необходимые во взрослой жизни. Более глубокое же изучение геометрии способствует развитию пространственного воображения, решение геометрических задач связано с необходимостью построения чертежей, соответственно, обучающийся «набивает» руку, чертежи его становятся более четкими, правильными и красивыми. Также, в процессе изучения свойств различных геометрических компонентов, у ребенка развиваются творческие качества, ведь многие задачи повышенного уровня сложности в геометрии могут быть решены, как минимум, двумя способами. Навыки чертежника необходимы ребятам, которые в дальнейшем будут получать профессии технической направленности.

Элективные курсы должны содействовать самоопределению обучающегося, его профессиональному выбору, обязательно создавать позитивную мотивацию в изучении предмета, знакомить обучающихся с ведущими для выбранного профиля видами деятельности, безусловно активизировать познавательную активность ребят. И, если говорить современным языком федеральных государственных образовательных стандартов, элективный курс нацелен на повышение информационной и коммуникативной компетенции обучающегося.

Таким образом, мы приходим к выводу о том, что для того, чтобы быть востребованным у обучающихся какой-либо конкретной школы, каждый конкретный элективный курс должен быть соотнесен с предметом, на базе которого он разрабатывается, и, в то же время, иметь некие индивидуальные черты, присущие данному, конкретному учителю, который способен дать обучающимся то, о чем мы говорили выше. Это означает, что элективный курс должен быть авторским. И автором, безусловно, должен выступать учитель.

Когда мы говорим слово «учитель», чаще всего, подразумеваем не какого-то конкретного человека, работающего в данной, конкретной школе, и преподающего данный конкретный предмет. Потому что за каждым конкретным человеком стоит вся система уже разработанных образовательных стандартов, написанных учебников, типовых рабочих программ по предметам. Данный же, конкретный учитель, служит, в основном, инструментом адаптации для обучающихся социального опыта, в переработке этого опыта в учебный материал, который способны усвоить ученики. Однако же, В.В. Краевский и И.Я. Лернер отмечали, что «При всем обобщенном понимании учителя как коллективного носителя функции организатора усвоения молодыми, людьми социального опыта, не следует недооценивать личность учителя с ее индивидуальными особенностями. Внимание к его личности обусловлено следующими обстоятельствами:

Во-первых, само научение знаниям, умениям и т. д. предполагает мотивы учения, создаваемые обучением и общественными отношениями, в которые вступает обучающийся в значительной части благодаря усилиям учителя (с ним самим, направляемые им отношения с соучениками, общественными организациями, внешкольными учреждениями и их представителями, с другими объектами действительности). Без влияния личности учителя все эти отношения не могут быть реализованы вообще или должным образом.

Во-вторых, содержание образования включает, как известно, не только знания и умения, но также опыт творческой деятельности и эмоционально - ценностного отношения. Формирование эмоций и систем ценностей вне личностных отношений изначально невозможно либо ущербно для развития личности обучаемых» [14, с. 71]

Все это, безусловно, обосновывает необходимость разработки и ведения авторских элективных курсов в школе.

При разработке элективного курса по математике учитель должен придерживаться нескольких критериев:

Во-первых, курс должен быть построен с учетом возрастных психологических особенностей учащихся.

Во-вторых, тематика курса должна быть связана с изучаемыми в школьной программе темами (или одной конкретной темой) – для усиления мотивации части обучающихся (желание разобраться лучше и повысить успеваемость).

В-третьих, курс должен содержать материал, которого нет в учебнике, чтобы повысить мотивацию ребят-олимпиадников.

В-четвертых, для курса нужно подобрать задачи, руководствуясь определенными принципами отбора задач, нацеленных на усвоение содержания элективного курса.

Г.В. Дорофеев определяет так: «…два ведущих социально обусловленных принципа отбора содержания информационная емкость и социальная эффективность» [5, с. 30].

При отборе задач для элективного курса по геометрии важны также принцип связи теории с практикой и принцип полноты, который подробно описал Г.И. Саранцев. Он писал, что есть задачи, стимулирующие усвоение знаний, умений и навыков, есть задачи, в процессе решения которых происходит усвоение знаний, умений и навыков, и есть задачи, контролирующие усвоение знаний, умений и навыков [13, с. 135].

При отборе методов обучения мы думаем, что для элективного курса по геометрии наиболее эффективными будут наглядные и практические методы обучения – частично-поисковый, метод проблемного обучения, исследовательский.

В общем, геометрия должна предстать перед обучающимися «не как сухой предмет, подлежащий зубрежке и сдаче на экзамене, а как полное содержания, значения и красоты явление культуры, как наука в ее связях с реальными вещами» [1, с. 58].

§2. Программа элективного курса «Замечательные точки и линии в треугольнике»

§2.1. Структура элективного курса «Замечательные точки и линии в треугольнике»

Элементы программы элективного курса нормируются локальным нормативно-правовым актом школы – положением об элективных курсах или, например, «Положением о рабочей программе учебных предметов, курсов, в рамках реализации ФГОС».

В частности, там прописывается, что «Рабочая программа… это нормативно-правовой документ, который является составной частью образовательной программы школы…». Указаны требования, которые учитывает рабочая программа и ее функции.

Также, в документе говорится о том, что «разработка и утверждение рабочих программ по… элективным … курсам… относится к компетенции образовательного учреждения и реализуется им самостоятельно».

Структура рабочей программы должна содержать разделы:

Элементы рабочей программы:

Титульный лист.

Пояснительная записка, в которой конкретизируются:

Также, в программе прописываются планируемые результаты освоения курса, которые представляются в соответствии с целями и задачами программы. Воспитательные результаты в обязательном порядке прописываются в программах внеурочной деятельности, к которой относятся элективные курсы.

Содержание программы учебного курса включает перечень тем и их краткое описание, с указанием количества часов, а также содержание теоретической и практической частей.

Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы, представляется в виде таблицы.

Итак, наша программа элективного курса по теме «Замечательные точки и линии в треугольнике»:

Пояснительная записка

Данная рабочая программа курса внеурочной деятельности «Замечательные точки и линии в треугольнике» для обучающихся 8 класса разработана на основе требований к метапредметным результатам ООО МБОУ на 2019-2020 г. в соответствии с ФГОС ООО. Срок реализации 1 год.

Рабочая программа составлена на основе нормативно-правовых документов:

– ФЗ № 273 от 29.12.2012 г «Об образовании в Российской Федерации»;

– Федеральный государственный образовательный стандарт (приказ Министерства образования и науки РФ от 06.10.2009г. № 373 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования») с изменениями, внесенными Минобразования РФ от 26.1. 2010 №1241, от 22.09.2011г №2357, от 18.12. 2012г №1060; от 29.12. 2014 г №1643, 2015г.;

– Примерные программы по внеклассной работе по математике «Стандарты второго поколения. Математика 5-9 класс» – М.: Просвещение, 2011 г.;

– Программа развития познавательных способностей учащихся 5-8 классов «Внеурочная деятельность» автор: Н. А. Криволапова. — М.: Просвещение, 2012 г.;

– Приказ Министерства образования и науки РФ от 31.03.2014 № 253 «Об утверждении федерального перечня учебников, рекомендованных к использованию имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования»;

– Санитарно-эпидемиологические правила и нормативы СанПиН 2.4.2.2821-10 «Санитарно-эпидемиологические требования к условиям и организации обучения в общеобразовательных учреждениях», зарегистрированные в Минюсте России 03 марта 2011 года, регистрационный номер 19993;

– Учебный план МБОУ на 2018-19 учебный год;

– Устав МБОУ;

– ООП ООО МБОУ.

Цели и задачи

Цель данного курса: выявление и развитие математических способностей обучающихся; проработка и закрепление теоретических знаний и развитие практических навыков и умений; повышение графической культуры обучающегося, его геометрического воображения.

Задачи курса:

– обобщить, систематизировать, углубить знания обучающихся по курсу «Замечательные точки и линии в треугольнике»;

– научить осознанному применению методов решения геометрических задач;

– расширить представления подростков о школе, как о месте реализации собственных замыслов и проектов;

– развить математическую культуру школьников при активном применении математической речи и доказательной риторики.

Общая характеристика программы курса внеурочной деятельности

«Замечательные точки и линии в треугольнике»

Данный курс необходимо реализовывать в 8 или 9 классах школы, потому что материал довольно сложный и для изучения его на среднем или высоком уровне нужны знания из курса геометрии 7-9 классов. Данный материал отличается глубиной, а знания основной части обучающихся по данной теме относительно поверхностные из-за непонимания глубокого смысла целого ряда, на их взгляд, неважных моментов. А ведь именно эти моменты содержат богатейшую историю и имеют большое практическое применение для решения целого раздела задач повышенной трудности.

В школьной программе по геометрии рассмотрены далеко не все замечательные точки, а замечательные линии практически совсем не включены в программу. Поэтому данный курс нацелен на расширение геометрического кругозора обучающихся, увеличение багажа знаний, формирование пространственных представлений и способов логического мышления.

Программа «Замечательные точки и линии в треугольнике» содержит все необходимые разделы и соответствует современным требованиям, предъявляемым к программам внеурочной деятельности.

Внеурочная познавательная деятельность школьников является неотъемлемой частью образовательного процесса в школе. Изучение математики как возможность познавать, изучать и применять знания в конкретной жизненной ситуации.

Изучение данной программы позволит обучающимся лучше ориентироваться в различных ситуациях. Данный курс рассчитан на освоение некоторых тем по математике на повышенном уровне, причем содержание задач носит практический характер и связан с применением математики в различных сферах нашей жизни.

Формы проведения занятий:

Уроки – лабораторные практикумы по решению задач, лекции, семинары, интеллектуальные турниры, математические бои, презентации.

Основные методы и технологии:

– частично – поисковый метод;

– репродуктивный метод;

– исследовательский метод;

– методы проблемного обучения;

– технология разноуровневого обучения;

– развивающее обучение;

– технология обучения в сотрудничестве;

– коммуникативная технология.

Выбор технологий и методик обусловлен необходимостью дифференциации и индивидуализации обучения в целях развития универсальных учебных действий и личностных качеств обучающегося.

Курс внеурочной деятельности позволяет наиболее успешно применять индивидуальный подход к каждому школьнику с учётом его способностей, более полно удовлетворять познавательные и жизненные интересы обучающихся, развивать устную речь.

Описание места курса внеурочной деятельности в учебном плане

Курс внеурочной деятельности «Замечательные точки и линии в треугольнике» реализуется по общеинтеллектуальному направлению развития личности. Курс рассчитан на 18 часов. Внутри учебного года курс желательно начинать совместно с разделом «Окружность» (это последний раздел геометрии в 8 классе).

Планируемые результаты освоения курса внеурочной деятельности «Замечательные точки и линии в треугольнике»

Личностные результаты

– установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом;

– определение того, – «какое значение, смысл имеет для меня участие в данном занятии»;

– построение системы нравственных ценностей, выделение допустимых принципов поведения;

– нравственно-этическое оценивание событий и действий с точки зрения моральных норм. Построение планов во временной перспективе;

– рефлексивная самооценка, умение анализировать свои действия и управлять ими.

Метапредметные результаты

– понимание математической задачи в контексте проблемной ситуации из окружающей жизни;

– овладение способами выполнения заданий творческого и поискового характера;

– умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем;

–умение понимать и использовать математические средства наглядности;

–умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений;

– умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Воспитательные результаты

– эмоционально-ценностно относиться к природе, человеку, обществу;

– понимать роль математики в жизни общества;

–наблюдать, сравнивать, сопоставлять и анализировать геометрическую форму предмета;

– развивать этические чувства, доброжелательность и эмоционально-нравственную отзывчивость, понимать и сопереживать чувствам других людей;

Контроль и оценка планируемых результатов

На этих занятиях не ставятся отметки, хотя оценивание (устное) осуществляется. К тому же обучающийся на этих занятиях сам оценивает свои успехи. Это создает особый положительный эмоциональный фон: раскованность, интерес, желание научиться выполнять предлагаемые задания.

Промежуточная аттестация представлена в виде системы зачетных уроков.

Критерии оценивания:

Оценивание происходит по уровневой системе – низкий, средний, хороший и высокий уровни. Промежуточная аттестация считается пройденной при достижении обучающимся не ниже среднего уровня.

Материально-техническое обеспечение образовательного процесса

Учебная и справочная литература:

1. Тихомиров В.М. Великие математики прошлого и их великие теоремы. М.: МЦНМО, 2010. — 16 с.: ил.

2. Шевнин Л.Г. Школьная олимпиада по математике. – М.: Русское слово, 2009. – 79с.

Технические средства обучения:

– классная доска;

– компьютер;

– принтер.

Оборудование класса:

– ученические двухместные столы с комплектом стульев;

– стол учительский с тумбой.

§ 2.2. Содержание элективного курса «Замечательные точки и линии в треугольнике»

Итак, как было сказано выше, данный курс мы планируем проводить в 8 классе. Этот курс состоит из10 занятий, 8 из которых представляют собой двухчасовые занятия смешанного типа – на этих занятиях изучается небольшой фрагмент теоретического материала, а далее – происходит прорешивание и нарешивание задач на применение изученного. Занятия № 9 и 10 – проходят по 1 часу и представляют из себя зачетные занятия. Поэтому, в целом, курс рассчитан на 18 часов.

В 8 классе обучающиеся знают теоретические основы таких разделов, как «Начальные геометрические сведения», «Треугольники», «Параллельные прямые», «Соотношения между сторонами и углами треугольника», «Четырехугольники», «Площадь», «Подобные треугольники». Тема нашего курса затрагивает все перечисленные разделы школьного курса геометрии, именно поэтому желательно начинать изучение данного элективного курса одновременно с разделом «Окружность». Параллельно с уроками, на которых обучающиеся будут изучать виды окружностей в зависимости от их расположения относительно треугольника, обучающиеся будут иметь возможность углублять знания по изученным разделам и расширять математический кругозор за счет дополнительных сведений.

Помимо задач повышенного уровня сложности из учебного курса, на занятиях элективного курса школьники смогут разобраться в способах и алгоритмах решения задач сложной части основного государственного экзамена.

Особое внимание заслуживают алгоритмы решения задач № 26 из тестов ОГЭ, в связи с разнообразием прототипов задач на наличие замечательных линий или точек в треугольнике и необходимостью применения нестандартных подходов и нетривиального видения.

Таблица 1

Тематический план элективного курса «Замечательные точки и линии в треугольнике».

§2.3.Задачи для элективного курса «Замечательные точки и линии в треугольнике»

Задача 1. Олимпиадная задача [7].

Биссектриса угла С и внешнего угла А трапеции АВСD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке М, а биссектриса угла В и внешнего угла D – в точке N. Докажите, что середина отрезка MN равноудалена от прямых АВ и СD (рис.1).

Решение: Пусть К – середина MN, x и y – расстояния от точек М и N соответственно до основания AD, h – высота трапеции. Заметим, что расстояния от точки K до прямых AB и CD равны полусуммам соответствующих расстояний от точек M и N.

Найдем расстояние от точки K до прямой AB. Поскольку точка M лежит на биссектрисе внешнего угла A, то она равноудалена от прямых AB и AD. Аналогично, точка N равноудалена от прямых AB и BC. Следовательно, искомое расстояние равно 0,5(x + y + h).

Рассуждая аналогично, расстояние от точки K до прямой CD также равно 0,5(x + y + h), что и требовалось доказать.

При некотором расположении точек длины отрезков могут войти в сумму с противоположным знаком. Решение в этих случаях аналогично рассмотренному.

Задача 2. Олимпиадная задача [7].

На продолжениях сторон  CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла A.

Решение: Пусть прямая, проходящая через точку E и параллельная MN, пересекает прямую AB в точке X (рис. 2). Тогда достаточно доказать, что треугольник XAE – равнобедренный. Поскольку MN – средняя линия треугольника EFX, то XF = 2NF. Используя равенства AE = BC, BF = AC и то, что длина отрезка AN равна полупериметру треугольника ABC, получим:

AX = AF – XF = AB + BF – 2NF = AB + AC – 2NF = AB + AC – 2(AB + BF – AN) = AB + AC – 2(AB + AC – AN) = BC = AE. То есть треугольник XAE – равнобедренный и биссектриса его внешнего угла A параллельна основанию.

Задача 3. Задача о построении окружности 9 точек.

Построить окружность 9 точек для произвольного треугольника (взять остроугольный треугольник, потом тупоугольный треугольник, последним рассмотреть случай с прямоугольным треугольником).

Построение производится на основании теоретических сведений об окружности 9 точек и информации о свойстве центра искомой окружности.

Окружность девяти точек получила такое название из–за следующей теоремы: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Ортоцентр треугольника – это одна из его замечательных точек – точка пересечения его высот.

Свойство центра окружности 9 точек: Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

Задача 4. Прототип № 24 ОГЭ [15, с. 1].

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6, BC = 8. Найдите медиану CK этого треугольника (рис. 3).

Решение: Решение основывается на свойстве середины гипотенузы – это центр окружности,

описанной около треугольника АВС. Медиана,

проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Таким образом, По теореме Пифагора:

Значит, CK = 5.

Ответ: 5.

Задача 5. Прототип № 24 ОГЭ [15, 1].

Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите длину медианы, проведённой к стороне ВС, если ВАС = 47°, ВМС = 133°, (рис. 4).

Решение: Обозначим середину стороны BC за K. Продлим MK на свою длину за точку K до точки L. Четырёхугольник BLCM –  параллело- грамм, потому что  MK = KL и BK = KC. Значит,  , поэтому четырёхугольник ABLC  вписанный. Тогда

 Ответ: 6.

Задача 6. Прототип № 26 ОГЭ [15, с.1]

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A 

проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM (рис.5).

Решение: Проведём отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT – средняя линия треугольника APC и CT=TP, а KP – средняя линия треугольника BMT и TP=BP. Обозначим площадь треугольника BKP через S. Тогда площадь треугольника KPС, имеющего ту же высоту и вдвое больше основание, равна 2S. Значит, площадь треугольника CKB равна 3S и равна площади треугольника СMK (треугольники имеют одну высоту, проведённую из вершины С, и равные основания), которая в свою очередь равна площади треугольника AMK. Площадь треугольника АВК равна площади треугольника АМК.

Итак,

Значит,

 Ответ: 0,6.

Задача 7. Прототип № 26 ОГЭ [15, с.1]

Медиана BM и биссектриса AP  треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника  ABK к площади четырёхугольника  KPCM (рис. 6).

Решение: Пусть площадь треугольника ABC равна S. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому . Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть: Откуда  Рассмотрим треугольник ABM: AK — биссектриса, следовательно

 Откуда  Выразим площадь треугольника ВРК:

Найдём отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM:

Ответ: 

Задача 8. В ΔАВС биссектрисы углов А и С

пересекаются в т. М. В ΔАВС

Найти (рис.7)

Решение: Биссектрисы треугольника

пересекаются в одной точке. Значит, луч BM –

биссектриса угла В и

По условию задачи АМ и СМ – биссектрисы углов А и С, поэтому Следовательно, .

Ответ: 40°.

Задача 9. Прототип № 26 ОГЭ [15, с.1]

Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС (рис.8).

Решение: Пусть Ox  центр данной окружности, а Q  центр окружности, вписанной в треугольник ABC. М – точка касания окружностей, и делит AC пополам. AQ и AO  биссектрисы смежных углов, значит, угол OAQ прямой. Из прямоугольного треугольника OAQ получаем:

Следовательно,

Ответ: 4,5.

Задача 10. Прототип № 26 ОГЭ [15, с.1]

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD. (рис. 9)

Решение: Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO, BO, CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK: .

Отрезки OM, OL и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть . Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO – общая, следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK=4.   Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем MC=CK, а из равенства треугольников BOL и BOM: BL=BM. Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

Рассмотрим треугольники ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, следовательно, треугольники ABC и ACD равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна: 

Ответ: 168.

Задача 11. Прототип № 26 ОГЭ [15, с.1]

Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.(рис. 10)

Решение: Введём обозначения, как показано на рисунке. Отрезок  проходит через центр описанной окружности, следовательно,  – диаметр. Углы  – вписанные и опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Из прямоугольного треугольника  Из прямоугольного треугольника   

Рассмотрим прямоугольный ΔСАМ углы BAC и ACC1 равны, значит,

Ответ: 45°.

Задача 12.

В треугольнике АВС проведена медиана ВD равная 3 см.Найдите ВС, если площадь треугольника АВС равна 9 см2, АВ = .

Решение: Удвоим медиану BD, BD = DE. ΔBDE = ΔEDA, т.к. BD = DE, AD = DC, BDC = EDA (вертикальные) BC = AE., , , , . По теореме косинусов:

,

,

,

см2.

Ответ: см2.

Задача 13.

В прямоугольном треугольнике АВС проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан треугольника, перпендикулярен катету. Найдите углы треугольника.

Решение: Пусть дан ΔABC, С=90°,АМ – биссектриса, CH и BK – медианы, точка О – точка пересечения медиан.

Рассмотрим ΔKCB: KC – катет, KCB=90°, OM – перпендикуляр по условию KC || OM.

(ВК – медиана, по теореме о пропорциональных отрезках), (по теореме о биссектрисе угла треугольника), , катет равен половине гипотенузы В=30° (по теореме об угле прямоугольного треугольника). Найдем А: 180° – 90° – 30° = 60° (по теореме о сумме углов треугольника).

Ответ: 60°, 30°, 90°.

Задача 14.

Высота треугольника равна 6 см и делит угол в отношении 2:1. А основание на отрезки, меньшее из которых равно см. Найдите стороны треугольника.

Решение: Пусть BH – высота , AH – меньший отрезок основания, ABH = x, HBC = 2x . По теореме Пифагора: , , , , HC = 72. , AC = .

Ответ: , 102 см, см.

Задача 15.

В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и боковой стороне, соответственно равны 10 и 12 см. Найдите длину основания и боковой стороны треугольника.

Решение: Пусть АВ = ВС, BH перпендикулярно АС, СК перпендикулярно АВ, BH =10 см, CK = 12 см. Т.к. ΔАВС – равнобедренный, то ВН – медиана и биссектриса АН = НС = x, BC = y. По теореме Пифагора из ΔВНС:

100 + x2 = y2, (1)

,

,

, (2)

Cоставим систему уравнений (1) и (2):

;; ;

решим уравнение:

; ; ; ,

; ;

, ВС = 12,5 см

Ответ: 15 см; 12,5 см.

Заключение

Разработка элективного курса «Замечательные точки и линии в треугольнике» позволила окунуться в мир загадочных закономерностей евклидовой геометрии, тонкости которой можно изучать целую жизнь, и все равно окажется, что не узнал и половины.

В рамках одного исследования невозможно показать всю красоту замечательных точек и линий треугольника, к примеру, «глаз дракона» или стилизованный трилистник. На самом деле, в разные времена замечательными точками и линиями в треугольнике занимались многие ученые, в честь которых названы некоторые элементы. Прямая Эйлера, чевиана и т.д.

Недостаточно одного элективного курса по такой интереснейшей теме, однако, необходимо понимать, что в 8 классе ребята изучили далеко не весь базовый материал, и можно разработать элективные курсы с расчетом на продолжение и усложнение материала – для обучающихся 9, 10 и даже 11 классов. Там, разумеется, можно подключать банк заданий ЕГЭ профильного уровня.

Элективные курсы по математике в школе необходимы, ребята с удовольствием приходят и исследуют различные вопросы, решают задачи.

Итак, через разработку элективного курса «Замечательные точки и линии в треугольнике» нами была достигнута поставленная цель исследования.

Мы проанализировали методическую, педагогическую и психологическую литературу по теме исследования, затем отобрали содержание элективного курса «Замечательные точки и линии в треугольнике», далее разработали план элективного курса «Замечательные точки и подобрали задачи.

Таким образом, разработка программы элективного курса по теме «Замечательные точки и линии в треугольнике» требует детальной, тщательной проработки, грамотного подбора задач и логически простроенное содержание курса в целом. Только так получился законченный, готовый к практическому внедрению в школу продукт – элективный курс «Замечательные точки и линии в треугольнике». И, разумеется, в данной работе были представлены далеко не все задачи, которые необходимо будет разобрать обучающимися на занятиях курса. Ведь главное – не просто показать им этот удивительный мир науки, но научить размышлять, анализировать, делать выводы и использовать их в решении различных задач.

«Главная практическая проблема обучения, взятого в его целостности и единстве образовательной, воспитательной и развивающей функций, и соответственно главный вопрос современной дидактики состоит в выяснении и определении средств и путей полноценного обучения молодого поколения» [Краевский, с. 53].

Эти слова были написаны более 30 лет назад, но с тех пор, похоже, проблемы обучения не изменились. По прежнему, учитель обязан ставить перед собой задачи, через решение которых достигается основная цель обучения школьников – научить их учиться самостоятельно, хотеть познавать новое, изучать способы и пути решения самых различных жизненных задач. Особенно таких, про которые ни слова не сказано на страницах школьных учебников.

Список литературы