Тройной интеграл, его приложение

Курсовая работа по математике

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ

Знак интегрирования введен Лейбницем в 1675 г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696 г. Интегрирование изучают, в основном, ученые-математики, также и физики внесли свой вклад в эту науку. Большинство формул математики и физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Первоначально, дифференцирование понадобилось для исследования функций, их промежутков возрастания и убывания, нахождения тангенса угла наклона касательной. Интегрирование – применялось для нахождения площадей и объемов тел, в том числе тел вращения. Интегральное исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу математического анализа, который широко используется в различных отраслях современной науки.

Именно поэтому возникает актуальность более глубокого изучения данного вопроса.

Целью курсовой работы является изучение теории тройного интеграла, его свойств, а также его применении в геометрии и механике.

Поэтому в процессе выполнения курсовой работы необходимо решить следующие задачи:

Выше указанные задачи реализуются в параграфах курсовой работы.

Основное содержание курсовой работы изложено в четырех параграфах.

В §1 параграфе вводятся понятия связанные с тройным интегралом.

В §2 параграфе вводятся свойства тройного интеграла и его обозначение на письме.

В §3 параграфе приводится алгоритм вычисления тройного интеграла и рассматриваются примеры вычисления.

В §4 даются понятия объема тела, массы тела, моментов инерции, статических моментов и координат центра тяжести тела, рассматривается их применение на конкретных примерах.

Все выводы по проделанной работе сформулированы в «Заключении».

Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функций трех переменных (двойной интеграл вводится для двух переменных). Введем определение тройного интеграла.

Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области D трехмерного пространства задана ограниченная функция f (M) = f (x, y, z). Разобьем область D на n произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами Δ1, Δ2, …, Δn. В каждой области возьмем произвольную точку Mi (ξi; ηi; τi) и составим сумму

которая называется интегральной суммой для функции f (x, y, z) по области D. Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма (1) при λ→0 имеет предел, равный I, то этот предел называется тройным интегралом функции f (x, y, z) по области D и обозначается одним из следующих символов:

В этом случае функция f (x, y, z) называется интегрируемой в области D; D – областью интегрирования; x, y и z – переменными интегрирования; dυ (или dx dy dz) – элементы объема.

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла:

Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.

Рассмотрим область D, ограниченную снизу и сверху поверхностями z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y), а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область G – проекция области D на плоскость Oxy, в которой определены и непрерывны функции z1 (x, y) и z2 (x, y). Предположим, что каждая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области D не более чем в двух точках. Тогда для любой функции f (x, y, z), непрерывной в области D, имеет место формула

позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области G.

Выражение

представляет собой функцию двух переменных. Переходя от двойного интеграла

сводящую вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Порядок интегрирования может быть и другим, т. е. переменные x, y и z в формуле (2) можно менять ролями.

Пример 3.1. Вычислить интеграл

где D – параллелепипед, ограниченный плоскостями x1 = – 1 , x2 = + 1, y1 = 0, y2 =1, z1 = 0, z2 = 2.

Решение. По формуле (2) имеем

Пример 3.2. Вычислить интеграл

Решение

Объем тела, занимающего область D, определяется по формуле

Пример 4.1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями hz = x2+y2, z = h. (рис.1)

Решение. Данное тело ограничено снизу параболоидом z = (x2 + y2) / h, сверху плоскостью z = h и проецируется в круг x2 + y2 h2 плоскости xOy. Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида примет вид z = / h. Объем тела равен

Пример 4.2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x = 0, z=0, y = 3x, z = , y = 2.

Решение.

Если плотность тела переменная, т.е. , то масса тела, занимающего область D, вычисляется по формуле

Пример 4.3. Вычислить массу куба D: 0, если объемная плотность

Решение.

Пример 4.4. Вычислить массу тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 1, если плотность тела в точке A(x, y, z) равна .

Решение.

Для нахождения статических моментов тела D с переменной плотностью , (x; y; z)D, относительно координатных плоскостей xOy, xOz, yOz (обозначим их соответственно через Mxy, Mxz, Myz) используют формулы

Пример 4.5. Вычислить статические моменты однородного тела D: 0, 1, 0.

Решение.

Пример 4.6. Вычислить статические моменты единичного куба с плотностью .

Решение.

Координаты центра тяжести тела определяются по формуле

При имеем

Пример 4.7. Найти координаты центра тяжести призматического тела, ограниченного плоскостями x = 0, z = 0, y = 1, y = 3, x + 2z = 3.

Решение. Найдем объем рассматриваемого тела:

Тогда

Пример 4.8. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом z = 3 – x2 – y2 и плоскостью z = 0. (рис. 2)

Рис. 2

Решение. В силу симметрии тела относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz x0 = y0 = 0, осталось найти z0. Вначале вычислим массу M тела. Введем цилиндрические координаты: , , z = z и расставим пределы интегрирования в области D:

Моменты инерции (геометрические) относительно осей координат соответственно равны

Пример 4.9. Найти момент инерции однородного куба D: 0, 0, 0, относительно его ребра.

Решение. Предположим, что . Чтобы найти момент инерции куба относительно ребра, можно пользоваться любой из формул нахождения моментов инерции (так как ребра куба, выходящие из одной вершины, взаимно ортогональны, то они будут лежать на осях координат). Имеем

Пример 4.10. Вычислить момент инерции однородного шара () радиуса r = 1 относительно его центра.

Решение. Поместим начало координат в центр шара. Тогда момент инерции шара относительно центра будет равен моменту инерции относительно начала координат.

Заключение

В ходе проделанной работы была изучена литература, необходимая для введения понятия тройного интеграла.

В процессе рассмотрения данной темы можно сделать вывод, что правило тройного интеграла используется для достаточно большого количества вычислений, как в геометрии, так и в механике.

Были рассмотрены различные задачи, для решения которых необходимо применять тройной интеграл.

Изучение данной темы можно продолжить, если рассмотреть другие области применения тройного интеграла. Рассмотреть более обширные группы задач, для решения которых необходимо вычисление тройного интеграла.

Список литературы