Курсовая работа по математике
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ
– 2 –
Оглавление
Введение ........................................................................................................................... 3
§1. Определение тройного интеграла ............................................................................ 5
§2. Основные свойства тройного интеграла ................................................................. 5
§3. Вычисление тройных интегралов ............................................................................ 6
§4. Приложения тройного интеграла............................................................................. 8
Заключение ..................................................................................................................... 16
Список литературы ....................................................................................................... 17
– 3 –
Введение
Знак интегрирования введен Лейбницем в 1675 г., а вопросами
интегрального исчисления занимаются с 1696 г. Интегрирование изучают, в
основном, ученые-математики, также и физики внесли свой вклад в эту науку.
Большинство формул математики и физики не обходится без дифференциального
и интегрального исчислений. Первоначально, дифференцирование понадобилось
для исследования функций, их промежутков возрастания и убывания, нахождения
тангенса угла наклона касательной. Интегрирование – применялось для
нахождения площадей и объемов тел, в том числе тел вращения. Интегральное
исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу
математического анализа, который широко используется в различных отраслях
современной науки.
Именно поэтому возникает актуальность более глубокого изучения данного
вопроса.
Целью курсовой работы является изучение теории тройного интеграла, его
свойств, а также его применении в геометрии и механике.
Поэтому в процессе выполнения курсовой работы необходимо решить
следующие задачи:
1. Изучить, сравнить и обобщить литературу по теме «Тройной
интеграл».
2. Раскрыть понятие и свойства данного интеграла.
3. Показать примеры вычисления тройного интеграла.
4. Рассмотреть и проанализировать некоторые приложения тройного
интеграла.
5. Рассмотреть применение тройных интегралов для вычисления объема,
массы, моментов инерции, статических моментов и координат центра тяжести
тела на конкретных примерах.
Выше указанные задачи реализуются в параграфах курсовой работы.
Основное содержание курсовой работы изложено в четырех параграфах.
– 4 –
В §1 параграфе вводятся понятия связанные с тройным интегралом.
В §2 параграфе вводятся свойства тройного интеграла и его обозначение на
письме.
В §3 параграфе приводится алгоритм вычисления тройного интеграла и
рассматриваются примеры вычисления.
В §4 даются понятия объема тела, массы тела, моментов инерции,
статических моментов и координат центра тяжести тела, рассматривается их
применение на конкретных примерах.
Все выводы по проделанной работе сформулированы в «Заключении».
– 5 –
§1. Определение тройного интеграла
Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для
функций трех переменных (двойной интеграл вводится для двух переменных).
Введем определение тройного интеграла.
Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области D трехмерного
пространства задана ограниченная функция f (M) = f (x, y, z). Разобьем область D
на n произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами
Δ
1
, Δ
2
, …, Δ
n
. В каждой области возьмем произвольную точку M
i
(ξ
i
; η
i
; τ
i
) и
составим сумму
ξ
η
τ
Δ
которая называется интегральной суммой для функции f (x, y, z) по области D.
Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей.
Определение. Если интегральная сумма (1) при λ→0 имеет предел, равный I,
то этот предел называется тройным интегралом функции f (x, y, z) по области
D и обозначается одним из следующих символов:
В этом случае функция f (x, y, z) называется интегрируемой в области D; D –
областью интегрирования; x, y и z – переменными интегрирования; dυ (или dx dy
dz) – элементы объема.
§2. Основные свойства тройного интеграла
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла:
1. Постоянный множитель k (k ≠ 0) можно выносить за знак тройного
интеграла:
– 6 –
2. Тройной интеграл от суммы (разности) функций равен сумме
(разности) тройных интегралов от этих функций:
3. Пусть область D разбита на две области D
1
и D
2
. Тогда
4. Если функция f (x, y, z) 0 в области D, то
5. Если в области D, f (x, y, z) φ(x, y, z), то
6. Если в области D m и M являются соответственно наименьшим и
наибольшим значением функции f (x, y, z), т.е. m f (x, y, z) M, то
§3. Вычисление тройных интегралов
Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов
сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.
Рассмотрим область D, ограниченную снизу и сверху поверхностями z = z
1
(x,
y) и z = z
2
(x, y), а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть
область G – проекция области D на плоскость Oxy, в которой определены и
непрерывны функции z
1
(x, y) и z
2
(x, y). Предположим, что каждая прямая,
параллельная оси Oz, пересекает границу области D не более чем в двух точках.
Тогда для любой функции f (x, y, z), непрерывной в области D, имеет место
формула
– 7 –
позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному
вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной z (при
постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области G.
Выражение
представляет собой функцию двух переменных. Переходя от двойного интеграла
сводящую вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению
трех определенных интегралов. Порядок интегрирования может быть и другим, т.
е. переменные x, y и z в формуле (2) можно менять ролями.
Пример 3.1. Вычислить интеграл
где D – параллелепипед, ограниченный плоскостями x
1
= – 1 , x
2
= + 1, y
1
= 0,
y
2
=1, z
1
= 0, z
2
= 2.
Решение. По формуле (2) имеем
– 8 –
Пример 3.2. Вычислить интеграл
Решение
§4. Приложения тройного интеграла
Объем тела, занимающего область D, определяется по формуле
Пример 4.1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями hz = x
2
+y
2
,
z = h. (рис.1)
– 9 –
Решение. Данное тело ограничено снизу параболоидом z = (x
2
+ y
2
) / h, сверху
плоскостью z = h и проецируется в круг x
2
+ y
2
h
2
плоскости xOy. Используем
цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида примет вид z =
/ h. Объем тела равен
Пример 4.2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x = 0, z=0,
y = 3x, z =
, y = 2.
Решение.
y
x
z
Рис. 1
– 10 –
Если плотность тела переменная, т.е.
, то масса тела,
занимающего область D, вычисляется по формуле
Пример 4.3. Вычислить массу куба D: 0, если объемная
плотность
Решение.
Пример 4.4. Вычислить массу тела, ограниченного координатными
плоскостями и плоскостью x + y + z = 1, если плотность тела в точке A(x, y, z)
равна
.
Решение.
– 11 –
Для нахождения статических моментов тела D с переменной плотностью
, (x; y; z)D, относительно координатных плоскостей xOy, xOz, yOz
(обозначим их соответственно через M
xy
, M
xz
, M
yz
) используют формулы
Пример 4.5. Вычислить статические моменты однородного тела D: 0,
1, 0
.
Решение.
– 12 –
Пример 4.6. Вычислить статические моменты единичного куба с плотностью
.
Решение.
Координаты центра тяжести тела определяются по формуле
При имеем
– 13 –
Пример 4.7. Найти координаты центра тяжести призматического тела,
ограниченного плоскостями x = 0, z = 0, y = 1, y = 3, x + 2z = 3.
Решение. Найдем объем рассматриваемого тела:
Тогда
– 14 –
Пример 4.8. Найти координаты центра тяжести однородного тела,
ограниченного параболоидом z = 3 – x
2
– y
2
и плоскостью z = 0. (рис. 2)
Рис. 2
Решение. В силу симметрии тела относительно координатных плоскостей
Oxz и Oyz x
0
= y
0
= 0, осталось найти z
0
. Вначале вычислим массу M тела. Введем
цилиндрические координаты: , , z = z и расставим пределы
интегрирования в области D:
Моменты инерции (геометрические) относительно осей координат
соответственно равны
– 15 –
Пример 4.9. Найти момент инерции однородного куба D: 0, 0
, 0, относительно его ребра.
Решение. Предположим, что
. Чтобы найти момент инерции
куба относительно ребра, можно пользоваться любой из формул нахождения
моментов инерции (так как ребра куба, выходящие из одной вершины, взаимно
ортогональны, то они будут лежать на осях координат). Имеем
Пример 4.10. Вычислить момент инерции однородного шара () радиуса
r = 1 относительно его центра.
Решение. Поместим начало координат в центр шара. Тогда момент инерции
шара относительно центра будет равен моменту инерции относительно начала
координат.
– 16 –
Заключение
В ходе проделанной работы была изучена литература, необходимая для
введения понятия тройного интеграла.
В процессе рассмотрения данной темы можно сделать вывод, что правило
тройного интеграла используется для достаточно большого количества
вычислений, как в геометрии, так и в механике.
Были рассмотрены различные задачи, для решения которых необходимо
применять тройной интеграл.
Изучение данной темы можно продолжить, если рассмотреть другие области
применения тройного интеграла. Рассмотреть более обширные группы задач, для
решения которых необходимо вычисление тройного интеграла.
– 17 –
Список литературы
1. Баврин И. И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики: Учеб.
для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – М.: Просвещение, 1995. – 464 с.
2. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Математический
анализ в задачах и упражнениях: Учеб. пособие. – М.: Изд-во Моск. ун- та, 1991. –
352 с.
3. Гусак А. А. Высшая математика. В 2-х т. Т. 2.: Учебник для студентов
вузов. – 4-е изд., стереотип. – Мн.: ТетраСистемс, 2003. – 448 с.
4. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2: Учеб. Пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: ООО
«Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование»,
2005. – 416 с.
5. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика /
Под ред. А. И. Кириллова. – 3-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 368 с. –
(Решебник).
6. Луканкин Г. Л., Мартынов Н. Н., Шадрин Г. А., Яковлев Г.Н. Высшая
математика: Учебник / Под ред. Г. Н. Яковлева. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:
Высш. шк., 2004. – 584 с.
7. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. – СПб.:
Издательство Лань, 1997. – 736 с.
8. Шипачев В. С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – 4-е изд., стер. –
М.: Высш. школа. 1998. – 479 с.
