Математическое моделирование
Предмет
Тип работы
Факультет
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФАКУЛЬТЕТ МАГИСТЕРСКОЙ ПОДГОТОВКИ
КАФЕДРА СТРОИТЕЛЬНОГО МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЯ И ТЕХНОЛОГИЙ
Отчет по лабораторным работам № 1-5
по дисциплине «Математическое моделирование»
(вариант №12)
Выполнил
студент гр. ФПСм-18: _____________ А.В. Шестаков
подпись
Проверил
доцент, к. т. н.: _____________ А.А. Зиновьев
подпись
Братск 2019
Содержание
Лабораторная работа №2. Построение многофакторных зависимостей различного вида по экспериментальным данным 5
Лабораторная работа №3. Построение однофакторного уравнения из многофакторной модели 6
Лабораторная работа №4. Кодирование переменных при экспериментально-статистическом моделировании 8
Лабораторная работа №5. Планирование многофакторного эксперимента и обработка его результатов 11
Лабораторная работа №1. Построение однофакторных зависимостей различного вида по экспериментальным данным
Цель работы: Освоение методики построения и выбора математических зависимостей, описывающих поведение изучаемого объекта.
Таблица 1 Исходные данные
Х | У1 | У2 |
2 | 3,7 | 6,0 |
5 | 4,8 | 9,3 |
8 | 6,0 | 10,7 |
11 | 7,1 | 10,9 |
14 | 8,3 | 9,7 |
Таблица 2 Значения для математических зависимостей, построенных по
результатам первых экспериментальных данных
Вид уравнения | Ỹ=С1+С2х | Ỹ=С1+С2х+С3х2 | Ỹ=С1+С2х+С3х2+С4х3 | |
Коэффициенты | С1= 2,91 С2= 0,38 | С1= 2,95 С2= 0,37 С3= 0,001 | С1= 2,95 С2= 0,37 С3= 0,001 С4= 1,7*10-16 | |
Расчетные значения ỸI, при экспериментальных значениях ХI= | 2 | Ỹ1 = 3,68 | Ỹ1 = 3,69 | Ỹ1 = 3,69 |
5 | Ỹ2 = 4,83 | Ỹ2 = 4,82 | Ỹ2 = 4,82 | |
8 | Ỹ3 = 5,98 | Ỹ3 = 5,96 | Ỹ3 = 5,96 | |
11 | Ỹ4 = 7,13 | Ỹ4 = 7,12 | Ỹ4 = 7,12 | |
14 | Ỹ5 = 8,28 | Ỹ5 = 8,29 | Ỹ5 = 8,29 | |
Сумма квадратов отклонений | кв.откл.= 0,003 | кв.откл.= 0,002 | кв.откл.= 0,002 | |
Таблица 3 Значения для математических зависимостей, построенных по
результатам вторых экспериментальных данных
Вид уравнения | Ỹ=С1+С2х | Ỹ=С1+С2х+С3х2 | Ỹ=С1+С2х+С3х2+С4х3 | |
Коэффициенты | С1= 6,92 С2= 0,3 | С1= 3,19 С2= 1,59 С3= -0,08 | С1= 2,78 С2= 1,84 С3= -0,12 С4= 0,001 | |
Расчетные значения ỸI, при экспериментальных значениях ХI= | 2 | Ỹ1 = 7,52 | Ỹ1 = 6,06 | Ỹ1 = 6,01 |
5 | Ỹ2 = 8,42 | Ỹ2 = 9,15 | Ỹ2 = 9,25 | |
8 | Ỹ3 = 9,32 | Ỹ3 = 10,77 | Ỹ3 = 10,77 | |
11 | Ỹ4 = 10,22 | Ỹ4 = 10,95 | Ỹ4 = 10,85 | |
14 | Ỹ5 = 11,12 | Ỹ5 = 9,66 | Ỹ5 = 9,71 | |
Сумма квадратов отклонений | кв.откл.= 7,47 | кв.откл.= 0,036 | кв.откл.= 0,011 | |
На рисунках 1 и 2 представлены графические отображения построенных математических зависимостей.
Рисунок 1 Графики зависимостей по первым экспериментальным данным
Рисунок 2 Графики зависимостей по вторым экспериментальным данным
Для описания результатов первых и вторых экспериментальных данных выбрана кубическая зависимость, поскольку степень приближения расчетных значений к экспериментальным данным наиболее высокая для данного вида зависимости. Вывод: в ходе выполнения лабораторной работы была освоена методика построения и выбора математических зависимостей, описывающих поведение изучаемого объекта.
Лабораторная работа №2. Построение многофакторных зависимостей различного вида по экспериментальным данным
Цель работы: Освоение методики построения многофакторных математических зависимостей, описывающих поведение изучаемого объекта и их графического отображения на плоскостном графике.
Таблица 4 Результаты построения математических зависимостей по
первому набору экспериментальных данных
Вид уравнения | y=C1+C2x1+C3x2 | y=C1+C2x1+C3x2+C4x1x2 | y=C1+C2x1+C3x2+C4x12+ +C5x22 + C6x1x2 | |
Коэффициенты | С1= 31,43 С2= 0,16 С3= -0,38 | С1= 65,9 С3= -1,59 С2= -0,69 С4= 0,03 | С1= 13,57 С4= -0,01 С2= 0,12 С5= -0,04 С3= 1,18 С6= 0,02 | |
Расчетные значения Y для опыта № | 1 | Y1 = 20,07 | Y1 = 14,4 | Y1 = 13,76 |
2 | Y2 = 27,27 | Y2 = 31,5 | Y2 = 29,56 | |
3 | Y3 = 34,09 | Y3 = 28,43 | Y3 = 27,22 | |
4 | Y4 = 27,54 | Y4 = 30,93 | Y4 = 29,57 | |
5 | Y5 = 23,64 | Y5 = 24,05 | Y5 = 24,25 | |
6 | Y6 = 29,95 | Y6 = 30,36 | Y6 = 31,65 | |
7 | Y7 = 30,15 | Y7 = 30,56 | Y7 = 30,91 | |
8 | Y8 = 25,37 | Y8 = 27,43 | Y8 = 27,56 | |
9 | Y9 = 27,4 | Y9 = 27,82 | Y9 = 31 | |
Сумма квадратов отклонений | кв.откл.= 118,9 | кв.откл.= 20,32 | кв.откл.= 0,79 | |
Все полученные зависимости возможно использовать для описания экспериментальных данных. С учетом степени приближения расчетных значений к экспериментальным данным и суммы квадратов отклонений каждой построенной модели наиболее точно результаты экспериментальных данных описывает квадратическая зависимость.
Вывод: в ходе выполнения лабораторной работы была освоена методика построения многофакторных математических зависимостей, описывающих поведение изучаемого объекта и их графического отображения на плоскостном графике.
Лабораторная работа №3. Построение однофакторного уравнения из многофакторной модели
Цель работы: Освоение методики построения однофакторного уравнения из многофакторной модели и их графического отображения на плоскостном графике.
Таблица 5 Исходные данные
№ | Х1 | Х2 | У |
1 | 20 | 38 | 14 |
2 | 58 | 35 | 29,5 |
3 | 60 | 18 | 27 |
4 | 26 | 21 | 30 |
5 | 40 | 37 | 24 |
6 | 58 | 28 | 32 |
7 | 40 | 20 | 31 |
8 | 22 | 25 | 27 |
9 | 42 | 28 | 31 |
Таблица 6 Однофакторные уравнения
№ | Факторы | Однофакторные уравнения | |
Х1 | Х2 | ||
Для линейного уравнения | |||
1 2 3 4 | - - К3 = 20 К4 = 60 | К1 = 18 К2 = 38 - - | Y = 24,59+0,16х1 Y = 16,99+0,16х1 Y = 34,63-0,38х2 Y = 41,3-0,38х2 |
Для линейного уравнения с эффектами взаимодействия | |||
5 6 7 8 | - - К3 = 20 К4 = 60 | К1 = 18 К2= 38 - - | Y = 27,28-0,15х1 Y = 5,48+0,45х1 Y = 52,1-0,99х2 Y = 24,5+0,21х2 |
Для квадратического уравнения | |||
9 10 11 12 | - - К3 = 20 К4 = 60 | К1 = 18 К2= 38 - - | Y = 21,85+0,48х1-0,01х12 Y = 0,65+0,88х1-0,01х12 Y = 11,97+1,58х2-0,04х22 Y = -15,23+2,38х2-0,04х22 |
На рисунках 3 и 4 представлены графические отображения однофакторных зависимостей от переменных Х1 и Х2.
Рисунок 3 Графики однофакторных зависимостей от переменных Х1
Рисунок 4 Графики однофакторных зависимостей от переменных Х2
Все полученные зависимости возможно использовать для описания экспериментальных данных. С учетом степени приближения расчетных значений к экспериментальным данным и суммы квадратов отклонений каждой построенной модели по данным, полученным в лабораторной работе, наиболее точно результаты экспериментальных данных описывает квадратическая зависимость. Вывод: в ходе выполнения лабораторной работы была освоена методика построения однофакторного уравнения из многофакторной модели и их графического отображения на плоскостном графике.
Лабораторная работа №4. Кодирование переменных при экспериментально-статистическом моделировании
Цель работы: Освоение методики кодирования переменных, построения и анализа многофакторных математических зависимостей.
Таблица 7 Экспериментальные данные
№ | Х1 | Х2 | У |
1 | 20 | 38 | 14 |
2 | 58 | 35 | 29,5 |
3 | 60 | 18 | 27 |
4 | 26 | 21 | 30 |
5 | 40 | 37 | 24 |
6 | 58 | 28 | 32 |
7 | 40 | 20 | 31 |
8 | 22 | 25 | 27 |
9 | 42 | 28 | 31 |
Для Х1: Х1min = 20;
Х1max = 60;
<Object: word/embeddings/oleObject1.bin> = (60+20)/2=40;
∆Х1 = 40-20=20.
Формула кодирования для Х1: х1i=(Х1i-40)/20
Для Х2: Х2min = 18;
Х2max = 38;
<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>= (38+18)/2=28;
∆Х2 = 38-28=10.
Формула кодирования для Х2: х2i=(Х2i-28)/10
№ | Х1 | х1 | Х2 | х2 | У |
1 | 20 | -1 | 38 | 1 | 14 |
2 | 58 | 0,9 | 35 | 0,7 | 29,5 |
3 | 60 | 1 | 18 | -1 | 27 |
4 | 26 | -0,7 | 21 | -0,7 | 30 |
5 | 40 | 0 | 37 | 0,9 | 24 |
6 | 58 | 0,9 | 28 | 0 | 32 |
7 | 40 | 0 | 20 | -0,8 | 31 |
8 | 22 | -0,9 | 25 | -0,3 | 27 |
9 | 42 | 0,1 | 28 | 0 | 31 |
Таблица 8 Кодированные экспериментальные значения Х1 и Х2
Таблица 9 Результаты построения математических зависимостей по
набору экспериментальных данных
Вид уравнения | y=C1+C2x1+C3x2 | y=C1+C2x1+C3x2+C4x1x2 | y=C1+C2x1+C3x2+C4x12+ +C5x22 + C6x1x2 | |
Коэффициенты | С1= 27,1 С2= 3,2 С3= -3,8 | С1= 27,5 С3= -3,83 С2= 3,18 С4= 6,1 | С1= 30,7 С4= -2,4 С2= 3,22 С5= -4,1 С3= -3,51 С6= 3,7 | |
Расчетные значения Y для опыта № | 1 | Y1 = 20,07 | Y1 = 14,4 | Y1 = 13,76 |
2 | Y2 = 27,27 | Y2 = 31,5 | Y2 = 29,56 | |
3 | Y3 = 34,09 | Y3 = 28,43 | Y3 = 27,22 | |
4 | Y4 = 27,54 | Y4 = 30,93 | Y4 = 29,57 | |
5 | Y5 = 23,64 | Y5 = 24,05 | Y5 = 24,25 | |
6 | Y6 = 29,95 | Y6 = 30,36 | Y6 = 31,65 | |
7 | Y7 = 30,15 | Y7 = 30,56 | Y7 = 30,91 | |
8 | Y8 = 25,37 | Y8 = 27,43 | Y8 = 27,56 | |
9 | Y9 = 27,4 | Y9 = 27,82 | Y9 = 31 | |
Сумма квадратов отклонений | кв.откл.= 118,9 | кв.откл.= 20,32 | кв.откл.= 0,79 | |
Таблица 10 Однофакторные уравнения
№ | Факторы | Однофакторные уравнения | |
х1 | х2 | ||
Для линейного уравнения | |||
1 2 3 4 | - - К3 = -1 К4 = 1 | К1 = -1 К2 = 1 - - | Y = 30,9+3,2х1 Y = 23,3+3,2х1 Y = 23,9-3,8х2 Y = 30,3-3,8х2 |
Для линейного уравнения с эффектами взаимодействия | |||
5 6 7 8 | - - К3 = -1 К4 = 1 | К1 = -1 К2 = 1 - - | Y = 31,33-2,92х1 Y = 23,67+9,28х1 Y = 24,32-9,93х2 Y = 30,68+2,27х2 |
Для квадратического уравнения | |||
9 10 11 12 | - - К3 = -1 К4 = 1 | К1 = -1 К2 = 1 - - | Y = 30,11-0,48х1-2,4х12 Y = 23,09+6,92х1-2,4х12 Y = 25,08-7,21х2-4,1х22 Y = 31,52+0,19х2-4,1х22 |
Рисунок 5 Графики однофакторных зависимостей от переменных х1
Рисунок 6 Графики однофакторных зависимостей от переменных х2
Основные визуальные различия построения графических зависимостей с использованием натуральных и кодированных значений переменных заключается в том, что графики зависимостей с кодированными значениями переменных более сжаты вдоль оси ординат, а графики зависимостей с натуральными значениями переменных более растянуты вдоль оси абсцисс.
Полученные результаты коэффициентов Сi отличаются от исходных, четкой зависимости не прослеживается, полученные значения то меньше, то больше исходных коэффициентов. Расчетные значения Y после кодирования переменных остались без изменений.
Вывод: в ходе выполнения лабораторной работы была освоена методика кодирования переменных, построения и анализа многофакторных математических зависимостей.
Лабораторная работа №5. Планирование многофакторного эксперимента и обработка его результатов
Цель работы: Освоение методики планирования эксперимента и построения по его результатам, математической модели отражающей влияние двух факторов на результативный показатель системы.
Таблица 11 – План и результаты эксперимента
№ опыта | План эксперимента в кодированных значениях | План эксперимента в натуральных значениях | Результат эксперимента | ||
Х1 | Х2 | Х1 (Wп), % | Х2 (Ж), с | У1 (водопотребность бетонной смеси В), л | |
1 | +1 | +1 | 11 | 120 | 121+10+20=151 |
2 | -1 | +1 | 7 | 120 | 121+10=131 |
3 | +1 | -1 | 11 | 20 | 140+10+20=170 |
4 | -1 | -1 | 7 | 20 | 140+10=150 |
5 | +1 | 0 | 11 | 70 | 120+10+20=150 |
6 | -1 | 0 | 7 | 70 | 120+10=130 |
7 | 0 | +1 | 9 | 120 | 121+10+10=141 |
8 | 0 | -1 | 9 | 20 | 140+10+10=160 |
9 | 0 | 0 | 9 | 70 | 120+10+10=150 |
Таблица 12 – Результаты расчета коэффициентов уравнения
№ опыта | Экспериментальные значения У | Расчетные значения У | dY | Значения С | Сумма квадратов отклонений |
1 | 151 | 149,9 | 1,1 | C0 =145,6 C1 = 10 C2 = -9,5 C3 = -3,3 C4= 7,2 C5 = 0 | 44,4 |
2 | 131 | 129,9 | 1,1 | ||
3 | 170 | 168,9 | 1,1 | ||
4 | 150 | 148,9 | 1,1 | ||
5 | 150 | 152,2 | -2,2 | ||
6 | 130 | 132,2 | -2,2 | ||
7 | 141 | 143,2 | -2,2 | ||
8 | 160 | 162,2 | -2,2 | ||
9 | 150 | 145,6 | 4,4 |
По полученным данным составляем следующее уравнение:
у = 145,6+ 10х1 - 9,5х2 - 3,3х12 + 7,2х22
Для полученного уравнения строим графики.
Рисунок 7 График однофакторной зависимости от х1
Рисунок 8 График однофакторной зависимости от х2
Вывод: в ходе выполнения лабораторной работы была освоена методика планирования эксперимента и построения по его результатам математической модели отражающей влияние двух факторов на результативный показатель системы. По полученным зависимостям можно сделать вывод, что чем больше жесткость бетонной смеси, тем больше водопотребность.