Методы решения научно-технических задач в строительстве

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ МАГИСТЕРСКОЙ ПОДГОТОВКИ КАФЕДРА СТРОИТЕЛЬНОГО МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЯ И ТЕХНОЛОГИИ Отчет по лабораторным работам № 1-2 по дисциплине «Методы решения научно-технических задач в строительстве» (вариант №5) Выполнил студент гр. ФПСм-18: _____________ А.В. Шестаков подпись Проверил доцент, к. т. н.: _____________ Т.А. Лебедева подпись Братск 2019 Содержание Лабораторная работа №1. Статистические методы. Оценка эмпирического распределения случайной величины 3 Теоретическая часть лабораторной работы №1 4 Практическая часть лабораторной работы №1 3 Лабораторная работа №2. Построение многофакторных зависимостей различного вида по экспериментальным данным 6 Теоретическая часть лабораторной работы №2 6 Практическая часть лабораторной работы №2 9 Список использованных источников 12   Лабораторная работа №1. Статистические методы. Оценка эмпирического распределения случайной величины Цель работы: получение навыков оценки закономерностей распределения случайных величин при решении практических задач. Нормативные документы: ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534.1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534.2-93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения ГОСТ Р 50779.30-95 Статистические методы. Приемочный контроль качества. Общие требования ГОСТ Р 8.736-2011 Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ). Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения. ГОСТ Р 27.004-2009. Надежность в технике. Модели отказов Теоретические сведения: Значение законов распределения случайных величин при решении практических задач. Критерии нормальности распределения случайных величин. Порядок исключения резко выделяющихся значений. Оценка случайной величины и среднеквадратическое отклонение. Задание для лабораторной работы: Построить функцию распределения по индивидуальным эмпирическим данным. Произвести оценку соответствия эмпирической и теоретической функций распределения. Произвести оценку случайной величины с определением статистических показателей (по заданию).   Теоретическая часть лабораторной работы №1 1. Значение законов распределения случайных величин при решении практических задач Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, выражающие наиболее характерные свойства (черты) закона распределения случайной величины. Такие числа носят название числовых характеристик случайной величины. Математическим ожиданием (или средним значением) M(X) (или mX) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений. Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений x1, x2, ... , xn, то ее математическое ожидание M(X) находится по формуле n M ( X ) = ∑ xi pi (3) i=1 Если же дискретная случайная величина X принимает бесконечное число значений, то ∞ M ( X ) = ∑ xi pi , (4) i=1 при этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части этой ∞ формулы абсолютно сходится, т. е. сходится ряд ∑ xi pi . i=1 Математическое ожидание непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности ϕ(x) , находится по формуле +∞ M ( X ) = ∫ xϕ(x)dx , (5) −∞ при этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части равенства абсолютно сходится. Дисперсией (рассеянием) D(X) (или DX) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D( X ) = M ( X − mX )2 . Из определения вытекает часто используемая формула: D( X ) = M ( X )2 − mX2 . Если X - дискретная случайная величина, то ее дисперсия вычисляется по формуле: n n D( X ) = ∑(xi − mX )2 pi , (т. е. D( X ) = ∑ xi2 pi − mX2 ) (6) i=1 i=1 в случае конечного числа значений, принимаемых случайной величиной X, и по формуле ∞ ∞ D( X ) = ∑(xi − mX )2 pi , (т. е. D( X ) = ∑ xi2 pi − mX2 ) (7) i=1 i=1 в случае счетного числа значений. Если X - непрерывная случайная величина с плотностью ϕ(x) , то +∞ +∞ D( X ) = ∫(x − mX )2 ϕ(x)dx (или D( X ) = ∫ x2ϕ(x)dx − mX2). (8) −∞ −∞ Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется величина σX = D( X ). Среднее квадратическое отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания. 2. Критерии нормальности распределения случайных величин Критерии нормальности — это группа статистических критериев, предназначенных для проверки нормальности распределения. Критерии нормальности являются частным случаем критериев согласия. Тестирование данных на нормальность часто является первым этапом их анализа, так как большое количество статистических методов исходит из предположения нормальности распределения изучаемых данных. Пример 1: Пусть необходимо проверить гипотезу о равенстве средних значений в двух независимых выборках. Для этой цели подходит критерий Стьюдента. Но применение критерия Стьюдента обосновано, только если данные подчиняются нормальному распределению. Поэтому перед применением критерия необходимо проверить гипотезу о нормальности исходных данных. Пример 2: Проверка остатков линейной регрессии на нормальность — позволяет проверить, соответствует ли применяемая модель регрессии исходным данным. 3. Порядок исключения резко выделяющихся значений Совокупность полученных экспериментальных данных часто имеет значения, резко выделяющиеся относительно других, что приводит к постановке вопроса об их исключении из дальнейшей обработки. Причиной появления таких данных может быть изменение условий проведения опыта в момент наблюдения, ошибочная регистрация параметра (по вине оператора) и т.п. Независимо от причин получения резко выделяющихся данных они могут существенно исказить числовые характеристики. С другой стороны, при необоснованном исключении таких данных числовые характеристики также будут искажены. Самый надежный метод определения возможности исключения резко выделяющихся данных - это анализ условий, при которых они были получены. Если условия существенно отличаются от стандартных (или установленных по плану эксперимента), то данные необходимо исключить из дальнейшей обработки независимо от их величины. Если определение существенности изменения условий эксперимента невозможно или представляет большие трудности, то используют статистический метод исключения данных, сущность которого заключается в следующем: находят в совокупности максимальную и минимальную величины и определяют расчетные значения критерия Смирнова-Граббса: Сравниваем полученные значения с табличным VТ , если VR max или VR min больше VТ, то соответствующее значение Yi необходимо исключить из совокупности Таким образом полученные значения не исключаем. 4. Оценка случайной величины и среднеквадратическое отклонение Для оценки случайных величин используются среднее значение и ее дисперсия. В настоящее время разработаны способы оценки статистических характеристик случайной величины, в качестве которых обычно используют среднеквадратические отклонения (СКО) разностей измеренных и расчетных значений от аппроксимирующего полинома и погрешности временного типа в сеансе измерений. Однако задача оценки случайной величины фу до сих пор остается нерешенной.   Среднеквадратическое отклонение — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обычно указанные термины означают квадратный корень из дисперсии случайной величины, но иногда могут означать тот или иной вариант оценки этого значения. Среднеквадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины, измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами. Практическая часть лабораторной работы №1 Таблица 1 – Упорядоченные исходные данные 79,92623 100,5737 108,3103 111,3656 116,6218 123,4369 126,3926 130,9969 133,3445 142,0689 83,68004 101,0576 108,5182 111,9671 117,519 123,5161 126,4184 131,0072 134,2055 142,185 85,18325 101,2387 108,5365 112,8831 117,8545 124,0972 127,3449 131,0354 135,6014 142,7645 88,76332 102,3172 109,342 113,3558 118,1825 124,3005 127,6219 131,4831 135,6254 142,8075 89,88818 102,8057 109,4986 113,6544 119,8018 124,6785 127,7778 131,5785 136,9667 142,8506 93,7731 104,4372 110,0008 113,9113 120,149 125,0472 128,1617 131,9854 138,6762 143,442 94,33001 104,4414 110,2409 114,5488 121,3405 125,2305 128,487 131,9992 140,196 143,8819 94,46301 104,6255 110,267 114,7877 121,6123 125,3613 128,7755 132,0642 140,8848 147,548 98,76128 106,6134 110,3899 115,1617 122,5604 125,9614 128,814 132,7014 141,1719 154,4635 99,40171 106,8114 111,1334 115,8656 123,1182 126,1566 129,1748 133,1827 142,0372 155,1148 Таблица 2 – Описательная статистика данных выборки Среднее 120,5621556 Стандартная ошибка 1,606806989 Медиана 123,2775304 Мода #Н/Д Стандартное отклонение 16,06806989 Дисперсия выборки 258,18287 Эксцесс -0,307284942 Асимметричность -0,280987319 Интервал 75,18858183 Минимум 79,92622898 Максимум 155,1148108 Сумма 12056,21556 Счет 100 Ошибки репрезентативности асимметрии и эксцесса определяются по формулам (2.1) и (2.2) соответственно: m_A=√(6/n)=√(6/100)=0,24 (2.1) m_E=2*√(6/n)=2*√(6/100)=0,49 (2.2) Принцип определения нормальности-ненормальности распределения: ├ (|-0,28| < 0,24*3=0,72)¦(|-0,31| < 0,49*3=1,47)}, верно ⇒ Распределение считается нормальным. Таблица 3 – Сводные данные Сводные данные Название Обозначение Величина Объем выборки n 100 Наибольшее значение Хmах 155,1 Наименьшее значение Хmin 79,9 Размах выборки R 75,2 Количество интервалов l 7 Длина интервала ∆х 12,53 Левая граница Хлев 73,635 Правая граница Хпр 161,365 Таблица 4 – Правило «трёх сигм» Правило "трех сигм" Левая граница Правая граница % попадания Вывод 73,635 161,365 100% Генеральная совокупность распределена нормально Таблица 5 – Интервальный ряд №инт, Границы интервала Середины интервалов, x ̂i Число наблюдений в интервале, ni Частотность в интервале 1 73,635-86,165 79,9 3 0,03 2 86,165-98,695 92,43 6 0,06 3 98,695-111,225 104,96 21 0,21 4 111,225-123,755 117,49 22 0,22 5 123,755-136,285 130,02 32 0,32 6 136,285-148,815 142,55 14 0,14 7 148,815-161,365 155,08 2 0,02 Рисунок 1 – График распределения Таблица 6 – Данные для построения теоретической функции распределения Середина интервала Значение функции Гаусса Теоретическая вероятность 79,9 0,001010017 0,039380953 92,43 0,00536187 0,209061315 104,96 0,015495638 0,604180671 117,49 0,024378575 0,950529668 130,02 0,020879152 0,814085885 142,55 0,009734712 0,37956003 155,08 0,002470808 0,096337732 Рисунок 2 – Сравнительно-графический анализ χ_набл^2=0,96; χ_крит^2=9,48. Так как X2набл.< X2критич., то генеральная совокупность распределена нормально. H_незат=x ̅+σ*2,26 H_незат=156,7 м За необходимый для защиты городской территории от затопления расчетный горизонт высоких вод принимается отметка наивысшего уровня воды обеспеченностью 156,7 м.   Лабораторная работа №2. Построение многофакторных зависимостей различного вида по экспериментальным данным Цель работы: получение навыков использования численных и графических методов при решении практических задач. Теоретическая часть лабораторной работы №2 1. Аппроксимация и интерполяция при решении практических задач Аппроксимация – это замена исходной функции f(x) функцией φ(x) так, чтобы отклонение f(x) от φ(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(x) называется аппроксимирующей (Рисунок 1). Рисунок 1 - Аппроксимирующая функция Если исходная функция f(x) задана таблично (дискретным набором точек), то аппроксимация называется дискретной. Если исходная функция f(x) задана аналитически (на отрезке), то аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Интерполяция – это замена исходной функции f(x) функцией φ(x) так, чтобы φ(x) точно проходила через точки исходной функции f(x). Интерполяция еще называется точечной аппроксимацией. Точки исходной функции f(x) называются узлами интерполяции. Для интерполирующей функции справедливо . Экстраполяцией называется аппроксимация вне заданной области определения исходной функции, т.е. Найдя интерполяционную функцию, мы можем вычислить ее значения между узлами интерполяции, а также определить значение функции за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию). Основной мерой отклонения функции y(x) от функции f(x) при аппроксимации является величина, равная сумме квадратов разностей между значениями аппроксимирующей и исходной функций. Простейшими видами интерполяции является линейная и квадратичная. При линейной интерполяции точки заданной функции соединяются линейными отрезками, и функция f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точках. В качестве уравнения интерполяционного многочлена используются уравнения прямой, проходящей через две точки. При квадратичной интерполяции в качестве приближающей функции, соединяющей соседние точки, принимается квадратный трехчлен. Такая интерполяция называется параболической. Распространенным видом интерполяции является интерполяция с использованием кубических сплайн-функций. Сплайн представляет собой модель гибкого тонкого стержня из упругого материала, закрепленного в двух соседних узлах интерполяции с заданными углами наклона α и β так, чтобы потенциальная энергия стержня была минимальна. Интерполяция может выполняться с помощью многочленов Ньютона, Эрмита, Лагранжа и т.д. Наиболее известными методами аппроксимации являются метод наименьших квадратов, метод многочленов Чебышева, рядов Тейлор и т.д. При решении задач аппроксимации часто используются функции регрессии. 2. Использование метода наименьших квадратов для оценки неопределенности измерений Руководство по применению метода наименьших квадратов (известного так же как подгонка методом наименьших квадратов) для задач по оцениванию данных в метрологии представлено в [10]. В таких задачах часто используется некоторое теоретическое соотношение между независимой и зависимой переменными. Это соотношение составляет основу для подгонки кривой под имеющиеся данные посредством подбора параметров теоретической зависимости. Входные величины в соответствующей модели измерений - это зависимые и независимые переменные, для которых получены данные измерений. Выходные величины - это искомые параметры зависимости. Способ, которым выходные величины получают из входных величин посредством метода наименьших квадратов, определяет модель измерения [11]. Применительно к калибровке (см. 6.8) [10] значение измеряемой величины независимой переменной в большинстве случаев получают от эталона. Значение зависимой переменной будет показанием, полученным измерительной системой для соответствующего значения независимой переменной. Установленная в [10] процедура подгонки кривой, частным случаем которой является градуировочная характеристика, получаемая в процессе калибровки, является обобщением обычного метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным (Рисунок 2). Рисунок 2 - Пример кривой, проведённой через точки, имеющие нормально распределённое отклонение от истинного значения 3. Функции аппроксимации и интерполяции в Excel Если для моделирования некоторого процесса, заданного таблицей, построить функцию, приближенно описывающую данный процесс на основе метода наименьших квадратов, она будет называться аппроксимирующей функцией (регрессией), а сама задача построения аппроксимирующих функций - задачей аппроксимации. В Excel для построения регрессий имеются две возможности. Добавление выбранных регрессий (линий тренда - trendlines) в диаграмму, построенную на основе таблицы данных для исследуемой характеристики процесса (доступно лишь при наличии построенной диаграммы); Использование встроенных статистических функций рабочего листа Excel, позволяющих получать регрессии (линии тренда) непосредственно на основе таблицы исходных данных. При работе в Excel приходится сталкиваться с интерполяцией графиков различной сложности. Но для первого знакомства с ней рассмотрим сначала самый простой пример. Если в таблице еще нет всех значений показателей, но уже нужно сформировать по ним отчет и построить графическое представление данных. Тогда на графике наблюдаются обрывы в местах, где отсутствуют значения показателей. Необходимо заполнить таблицу как показано на Рисунке 3: Рисунок 3 - Пример заполнения таблицы интерполируемых данных Чтобы устранить обрывы на графике, то есть выполнить интерполяцию в Excel, можем использовать 2 решения: изменить параметры в настройках графика, выбрав соответствующую опцию и использовать функцию: =НД() – возвращает значение ошибки #Н/Д. И таким образом, используя одно из вышеприведенных решений, получим графики интерполяции. Практическая часть лабораторной работы №2 Таблица 1 – Исходные данные x 2 3 4 5 6 7 8 9 y 27 26 23 19 18 17 15 16 Рисунок 3 – График линейной зависимости Рисунок 4 – График логарифмической зависимости Рисунок 5 – График полиноминальной зависимости Рисунок 6 – График степенной функции Рисунок 7 – График экспоненциальной функции Таблица 2 – Метод контрольных сумм Прогнозируемое время капительного ремонта Метки трендов на диаграммах R² =0,9116 R² = 0, 9482 R² = 0,9664 R² = 0,9397 R² = 0,9271 y = -1,7976x + 30,012 y = -8,706ln(x) + 34,056 y = 0,2202x2 - 4,2202x + 35,518 y = 38,526x-0,42 y= 31,899e-0,088x Повреждения конструкций Статистические данные Теоретические данные № п/п Этажность зданий Плотность застройки Линейная аппрокси-мация Логарифми-ческая ап-проксимация Полиноми-альная аппрокси-мация 2 степени Степенная аппрокси-мация Экспонен-циальная аппрокси-мация 1 2 27 26,4168 28,02146 27,9584 28,79528 26,78287 2 3 26 24,6192 24,49148 24,8392 24,28639 24,54127 3 4 23 22,8216 21,98692 22,1604 21,5223 22,48728 4 5 19 21,024 20,04423 19,922 19,59686 20,60521 5 6 18 19,2264 18,45694 18,124 18,15225 18,88065 6 7 17 17,4288 17,11491 16,7664 17,01425 17,30043 7 8 15 15,6312 15,95238 15,8492 16,0863 15,85247 8 9 16 13,8336 14,92696 15,3724 15,30989 14,5257 Контрольные суммы 161 161,0016 160,9953 160,992 160,7635 160,9759 Вывод: На основе коэффициентов достоверности аппроксимации и контрольных сумм выбрана линейная аппроксимация т.к. ее сума за весь период наиболее близка к экспериментальным значениям, коэффициент детерминации данной зависимости равен 0,9116, а также данная зависимость является наиболее простой. В соответствии с этой функцией для дома этажностью 2 рекомендуемая плотность застройки 26,42; этажностью 3 - 24,62; этажностью 4 - 22,82; этажностью 5 - 21,02; этажностью 6 - 19,22; этажностью 7 – 17,43; этажностью 8 - 15,63; этажностью 9 - 13,83 плотность застройки.   Список использованных источников 1 ГОСТ Р ИСО 5479-2002. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. 2 ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534.1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения 3 ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения 4 ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534.2-93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения 5 ГОСТ Р 50779.30-95 Статистические методы. Приемочный контроль качества. Общие требования 6 ГОСТ Р 8.736-2011 Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ). Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения. 7 ГОСТ Р 27.004-2009. Надежность в технике. Модели отказов 8 МИ 3281-2010 Рекомендации. ГСИ. Оценка результатов измерений - Пояснения к "Руководству по выражению неопределенности измерений". 9 Аппроксимация и интерполяция данных. Основные определения [Электронный ресурс]: Аппроксимация и интерполяция данных. Основные определения - 2017 год - Режим доступа: http://www.studfiles.ru/preview/3104879 10 JCGM 107 Оценивание данных измерений. Применение метода наименьших квадратов* 11 ГОСТ Р 54500.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-1:2009 Неопределенность измерения Часть 1 Введение в руководство по неопределенности измерения 12 ГОСТ Р 54500.3-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения 13 Решение задач аппроксимации средствами Excel [Электронный ресурс]: Теоретическая справка. Решение задач аппроксимации средствами Excel - 2017 год - Режим доступа: http://www.comizdat.com/index_.php?id=289&in=kpp_articles_id