Специальные разделы высшей математики

Подробнее
Статистическое описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения на отдельные объекты, — с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (например, учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Например, данные гранулометрического анализа породы (то есть данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнительную информацию по сравнению с испытанием нерасчленённых образцов породы, позволяя в некоторой мере объяснить свойства породы, условия её образования и прочее.
Текстовая версия:

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ МАГИСТЕРСКОЙ ПОДГОТОВКИ

Кафедра математики и физики

Контрольная работа

по дисциплине «Специальные разделы высшей математики»

Вариант №2

Работу выполнил

студент гр. ФПСм-18: _______________ А.В. Шестаков

(подпись)

Проверил

к.тех.: _______________ О.И. Медведева

(подпись)

Братск 2018


Лабораторная работа 1. Первичная обработка выборки

4

5,73

6,99

7,69

8,6

9,58

10,19

10,85

11,95

13,34

4,25

5,75

7,01

7,71

8,69

9,6

10,2

10,89

11,98

13,44

4,36

5,75

7,15

7,78

8,75

9,65

10,2

10,95

11,98

13,5

4,55

5,82

7,23

7,84

8,88

9,68

10,22

10,95

12,11

13,55

4,57

5,84

7,23

7,85

8,95

9,68

10,28

10,98

12,15

13,65

4,58

5,93

7,28

7,9

9

9,72

10,32

11,02

12,22

13,72

4,61

5,97

7,35

7,91

9,15

9,72

10,35

11,1

12,28

13,85

4,71

6,35

7,35

7,99

9,22

9,75

10,42

11,15

12,31

13,88

4,71

6,45

7,36

8,12

9,22

9,8

10,48

11,27

12,35

13,95

4,75

6,54

7,42

8,15

9,32

9,82

10,5

11,29

12,4

14,03

4,75

6,58

7,45

8,24

9,32

9,84

10,63

11,29

12,48

14,42

5,32

6,58

7,48

8,28

9,35

9,92

10,64

11,3

12,55

14,5

5,55

6,68

7,48

8,32

9,38

9,95

10,68

11,35

12,68

14,55

5,55

6,72

7,48

8,35

9,4

9,98

10,68

11,4

12,74

14,7

5,6

6,75

7,54

8,35

9,42

9,99

10,69

11,52

12,87

14,85

5,6

6,8

7,54

8,4

9,45

10,05

10,72

11,58

12,94

14,93

5,62

6,81

7,55

8,48

9,48

10,05

10,72

11,62

12,95

14,98

5,63

6,83

7,58

8,51

9,5

10,11

10,75

11,68

13,11

15,05

5,68

6,85

7,62

8,54

9,52

10,15

10,78

11,78

13,15

15,25

5,72

6,92

7,63

8,56

9,55

10,15

10,82

11,85

13,32

15,3

интервала

Левые границы

интервалов

Правые границы

интервалов

Частоты

Середины интервалов

1

3,435

4,565

4

4

2

4,565

5,695

15

5,13

3

5,695

6,825

18

6,26

4

6,825

7,955

30

7,39

5

7,955

9,085

19

8,52

6

9,085

10,215

37

9,65

7

10,215

11,345

29

10,78

8

11,345

12,475

18

11,91

9

12,475

13,605

14

13,04

10

13,605

14,735

10

14,17

11

14,735

15,865

6

15,3

Контроль

=200

эээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээ

жжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжж

Лабораторная работа 2. Вычисление точечных и интервальных оценок

xi

--

xi ni

--

xi xB

--

(xi xB)2

--

(xi xB)2ni

--

(xi xB)3

--

(xi xB)3ni

--

(xi xB)4

--

(xi xB)4ni

4

16

-5,4466

29,6654

118,6618

-161,576

-646,303394

880,039

3520,15607

5,13

76,95

-4,3166

18,6330

279,4955

-80,4314

-1206,47042

347,19

5207,85021

6,26

112,68

-3,1866

10,1544

182,7796

-32,3581

-582,445321

103,1122

1856,02026

7,39

221,7

-2,0566

4,22960

126,8881

-8,6986

-260,95808

17,88955

536,686388

8,52

161,88

-0,9266

0,85858

16,31316

-0,79557

-15,1157774

0,737173

14,0062794

9,65

357,05

0,2034

0,04137

1,530748

0,008415

0,311354086

0,001712

0,06332942

10,78

312,62

1,3334

1,77795

51,56071

2,370726

68,75105237

3,161126

91,6726532

11,91

214,38

2,4634

6,06834

109,2301

14,94875

269,0774581

36,82475

662,84541

13,04

182,56

3,5934

12,9125

180,7753

46,39986

649,5980702

166,7333

2334,26571

14,17

141,7

4,7234

22,3105

223,1051

105,3815

1053,814514

497,7587

4977,58748

15,3

91,8

5,8534

34,2622

205,5737

200,5509

1203,305385

1173,905

7043,42774

1889,32

1495,9139

533,56484

26244,5815

Название; обозначение

Величина

Формула

Точечные оценки

Выборочная средняя

9,4466

-

xB∑ xi ni

Выборочная дисперсия

7,4795

- --

DB(xi xB)2ni

Исправленная выборочная дисперсия

7,5171

D* B DB

Среднее квадратическое отклонение

2,7348

B =

Исправленное среднее

квадратическое отклонение

2,7417

B* =*

Выборочная асимметрия

0,1294

-

AS=

Выборочный эксцесс

-0,6776

-

Ex= -3

Доверительные интервалы

Для математического ожидания

Надежность

Левая

граница

Правая

граница

Длина

интервала

γ=0,95

9,0666

9,8266

0,76

γ=0,99

8,9472

9,946

0,9988

Для среднего квадратического отклонения

Надежность

Левая

граница

Правая

граница

Длина

интервала

q=0,95

0,0274

5,4559

5,4285

q=0,99

2,3688

3,1146

0,7458

Вывод:

Правило «трех сигм»

Левая

граница

Правая

граница

% попадания

Вывод

1,2215

17,6717

100

Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на большую величину, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Лабораторная работа 3. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности на основании критерия Пирсона

Zi

Zi+1

Ф(Zi)

Ф(Zi+1)

pi

ni

ni ni

(ni ni)2

(ni ni)2

ni

-∞

-1,78499

-0,5

-0,4625

0,0375

7,5

-3,5

12,25

1,633333

-1,78499

-1,3718

-0,4625

-0,4147

0,0478

9,56

5,44

29,5936

3,095565

-1,3718

-0,95861

-0,4147

-0,3315

0,0832

16,64

1,36

1,8496

0,111154

-0,95861

-0,54541

-0,3315

-0,2054

0,1261

25,22

4,78

22,8484

0,905964

-0,54541

-0,13222

-0,2054

-0,0517

0,1537

30,74

-11,74

137,8276

4,483656

-0,13222

0,280971

-0,0517

0,1103

0,162

32,4

4,6

21,16

0,653086

0,280971

0,694164

0,1103

0,2549

0,1446

28,92

0,08

0,0064

0,000221

0,694164

1,107357

0,2549

0,3665

0,1116

22,32

-4,32

18,6624

0,836129

1,107357

1,52055

0,3665

0,4357

0,0692

13,84

0,16

0,0256

0,00185

1,52055

1,933743

0,4357

0,4732

0,0375

7,5

2,5

6,25

0,833333

1,933743

+∞

0,4732

0,5

0,0268

5,36

0,64

0,4096

0,076418

=200

=2наб=12,63071

2кр=2,732наб<2крданные выборки не подтверждают выдвинутой гипотезы.

Лабораторная работа 4. Корреляция для малой двумерной выборки

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Q

22,56

27,25

20,15

19,47

18,23

17,58

20,56

18,35

18,65

19,58

23,58

25,65

25,12

П

1284

617

1045

922

648

470

1110

677

748

944

1280

1040

1132

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Q

17,36

24,12

23,14

24,24

25,39

16,8

27,32

19,18

18,19

27,62

20,15

28,32

П

420

1248

1290

1235

1089

275

590

870

640

490

1040

209

∆=8149,6914; k=112087,72; b=4488301,325; k=13,754; b=550,73; y=13,754x+550,73

x=3,611; y=325,561; rB=0,153;

Т=0,742 связь между данными генеральными совокупностями слабая.

Лабораторная работа 5. Корреляция для большой двумерной выборки

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

0,19

0,03

0,34

0,11

0,18

0,06

0,24

0,08

0,38

0,12

0,38

0,11

0,49

0,19

0,42

0,14

0,26

0,07

0,13

0,03

0,12

0,04

0,23

0,09

0,20

0,07

0,19

0,04

0,27

0,06

0,28

0,08

0,27

0,07

0,50

0,17

0,08

0,01

0,19

0,04

0,22

0,07

0,14

0,04

0,28

0,09

0,43

0,13

0,32

0,10

0,31

0,10

0,19

0,05

0,30

0,10

0,44

0,17

0,24

0,08

0,17

0,04

0,23

0,06

0,22

0,04

0,31

0,10

0,32

0,07

0,19

0,05

0,10

0,04

0,49

0,17

0,28

0,06

0,45

0,15

0,13

0,05

0,29

0,09

0,31

0,11

0,24

0,07

0,47

0,17

0,19

0,05

0,33

0,11

0,41

0,13

0,21

0,05

0,21

0,06

0,18

0,05

0,16

0,05

0,46

0,14

0,39

0,13

0,38

0,13

0,10

0,04

0,11

0,00

0,25

0,05

0,42

0,14

0,12

0,03

0,24

0,07

0,24

0,07

0,48

0,15

0,06

0,03

0,45

0,15

0,39

0,12

0,06

0,03

0,39

0,13

0,37

0,11

0,13

0,03

0,23

0,06

0,28

0,08

0,26

0,08

0,13

0,04

0,11

0,02

0,43

0,13

0,33

0,10

0,09

0,01

0,46

0,16

0,18

0,05

0,48

0,16

0,28

0,08

0,15

0,05

0,28

0,07

0,12

0,03

0,06

0,01

0,27

0,06

0,33

0,10

0,43

0,16

0,27

0,07

0,13

0,02

0,35

0,12

0,12

0,03

0,21

0,05

0,25

0,07

0,39

0,13

0,31

0,09

0,30

0,07

0,29

0,10

0,13

0,04

0,18

0,05

0,44

0,14

0,08

0,02

0,13

0,03

0,48

0,17

0,40

0,12

0,40

0,13

0,38

0,12

0,33

0,08

0,45

0,17

0,27

0,08

0,07

0,01

0,29

0,07

0,29

0,08

0,14

0,03

0,46

0,14

0,14

0,04

0,25

0,05

0,45

0,14

0,44

0,14

0,17

0,04

0,23

0,06

0,46

0,17

0,15

0,03

0,50

0,18

0,38

0,12

0,21

0,05

0,10

0,03

0,38

0,11

0,22

0,05

0,17

0,03

0,08

0,03

0,30

0,11

0,38

0,12

0,06

0,02

0,09

0,03

0,25

0,07

0,07

0,00

0,30

0,08

0,22

0,06

0,17

0,06

0,39

0,12

0,05

0,01

0,47

0,14

0,50

0,19

0,11

0,04

0,11

0,03

0,33

0,10

0,12

0,02

0,29

0,09

0,30

0,09

0,11

0,02

0,35

0,09

0,35

0,11

0,46

0,15

0,44

0,15

0,48

0,17

0,43

0,15

0,13

0,02

0,16

0,04

0,24

0,04

0,34

0,10

0,05

0,01

0,16

0,03

0,33

0,10

0,24

0,09

0,27

0,07

0,41

0,12

0,28

0,08

0,11

0,03

0,26

0,08

0,12

0,02

0,45

0,17

0,28

0,07

0,32

0,11

0,28

0,08

0,23

0,05

0,49

0,16

0,16

0,04

0,44

0,13

0,31

0,09

0,39

0,09

0,49

0,18

0,14

0,03

0,42

0,14

0,11

0,01

0,23

0,06

0,45

0,15

0,42

0,14

0,11

0,03

0,11

0,02

0,32

0,07

0,44

0,16

0,19

0,04

0,48

0,16

0,33

0,10

0,39

0,12

0,39

0,12

0,19

0,04

0,30

0,09

Таким образом, наиболее точно описывает ситуацию полиномиальная линия 4 порядка.

Лабораторная работа 6. Множественная линейная корреляция

Х

Y

Z

Х

Y

Z

Х

Y

Z

3,61

3,25

7,54

4,49

4,04

9,67

2,51

1,04

2,95

4,81

4,03

10,28

3,01

3,08

5,43

3,2

2,11

6,76

4,1

1,03

8,2

3,78

4,31

7,5

1,25

4,72

1,31

1,18

2,32

-0,24

3,95

3,83

10,41

4,51

4,64

11,28

3,45

1,78

7,08

1,53

3,1

1,5

3,58

3,05

10,72

4,6

4,95

10,1

3,62

1,67

9,65

4,17

3,57

9,52

2,66

2,69

7,79

2,59

3,19

7,51

1,97

4,13

5,59

3,94

1,79

9,44

4,12

2,48

9,95

2,49

4,07

5,21

1,73

1,61

4,76

3,92

4,59

11,87

2,13

2,36

5,13

2,43

2,14

7,7

3,94

2,61

9,1

4,06

4,19

9,99

2,32

1,74

4,63

4,11

4,93

10,12

3

2,2

7,58

4,61

1,82

10,43

1,56

3,72

1,99

2,17

3

5,45

1,01

2,08

2,57

1,16

2,97

2,23

3,56

4,19

6,83

3,56

3,39

8,27

1,03

1,64

-0,38

1,04

2,4

0,65

3,1

2

8,79

3,39

1,04

7,72

3,26

3,06

7,5

4,76

2,16

13,47

2,88

4,22

6,14

1,01

3,99

0,74

1,44

2,42

0,75

2,67

2,54

8,15

4,57

2,7

12,49

1,65

2,62

0,62

3,41

4,22

9,81

2,28

2,34

5,7

3,25

4,29

5,71

4,67

2,46

13,49

1,37

2,55

2,89

1,02

1,97

1,41

4,07

3,41

9,77

4,09

3,5

8,8

2,07

4,75

4,96

2,66

3,89

3,57

4,84

2,7

13,46

2,19

1,53

6,23

3,86

1,58

10,06

4,84

3,9

10,9

2,51

3,43

6,94

3,84

4,96

10,7

4,96

4,38

11,2

2,41

1,05

2,84

4,58

3,87

11,63

3,46

3,7

10,73

1,62

4,38

1,94

4,1

4,31

10,74

2,56

2,55

5,39

1,93

2,73

2,55

1,84

4,8

4,24

1,73

2,44

1,05

4,24

2,01

9,15

1,97

4,45

6,05

2,04

1,37

3,3

2,12

3,38

6,97

1,99

4,72

5,68

2,27

1,07

5,21

4,5

2,5

12,9

1,67

4,11

2,47

1,71

1,71

3,37

1,72

4,86

5,88

2,36

2,52

3,37

1,89

2,26

3,28

1,8

1,45

1,55

5

1,11

10,75

2,09

4,55

2,96

4,47

1,69

12,49

2,49

3,64

6,31

3,36

2,76

6,23

1,2

4,7

2,17

1,91

1,47

5,89

4,53

4,46

13,83

a=-0,5304

b=-0,1823

c=10,496

z=-0,5304x-0,1823y+10,496

rxz(y)=-0,0276

ryz(x)=0,1171

Лабораторная работа 7. Ранговая корреляция

Cпортсмен

И

П

С

Р

Л

О

А

Д

К

Н

1 арбитр

85

68

77

98

54

56

76

56

52

85

2 арбитр

62

72

85

90

72

63

82

95

48

78

Ранг 1

8,5

5

7

10

2

3,5

6

3,5

1

8,5

Ранг 2

2

4,5

8

9

4,5

3

7

10

1

6

в=0,39

Ткр=3,36*0.325=1,094

в< Ткр

Таким образом, коэффициент корреляции не значим, следовательно, нельзя по оценкам одного арбитра предсказать оценки другого.


Лабораторная работа 8. Факторный анализ

контр. точки

Цвет

Желтый

Синий

Белый

Красный

1

325

456

228

542

2

310

431

290

448

3

360

494

270

498

4

387

492

204

512

5

343

476

257

492

6

392

485

278

569

7

345

410

237

521

8

359

430

294

499

9

407

493

305

414

10

343

438

296

534

11

398

487

279

563

12

320

497

300

570

Sобщ = 489881,25
Sфакт = 431417,42
Sост = 58463,83

489881,25 = 431417,42+58463,83

Dобщ = 10423

Dфакт = 143805,81

Dост = 1328,72
Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать несправедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.

контр. точки

Аромат

Малина

Ананас

Лимон

Жасмин

1

13

7

3

15

2

7

8

2

20

3

5

7

5

16

4

2

8

9

14

5

10

6

12

15

6

5

8

12

7

9

11

10

8

14

22

9

5

10

6

Sобщ = 723,47
Sфакт = 389,41
Sост = 723,47-389,41=334.06

Dобщ = 15,39

Dфакт = 129,8

Dост = 12,85

Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать несправедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.

Лабораторная работа 9. Статистическая проверка различных гипотез

X

19

5

26

57

90

65

129

5

Y

2

199

56

121

29

81

Dx* = 1957,143

Dy* = 5018,667

Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
Альтернативная гипотеза:
H1: DxDy;
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера: Fнабл = 2,564
Поскольку Dy*> Dx*, то Dб* = Dy*, Dм* = Dx*
Числа степеней свободы:
k1 = nу – 1 = 6 – 1 = 5
k2 = nx – 1 = 8 – 1 = 7
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0,05 и данным числам степеней свободы находим Fкр = 3,97.
Т.к. Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).

X

22

17

23

26

17

25

14

27

23

26

21

24

27

25

16

Y

25

19

23

26

21

19

30

17

33

23

20

32

22

Dx* = 18,314

Dy* = 26,308

Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
Альтернативная гипотеза:
H1: DxDy;
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера: Fнабл = 1,436
Поскольку Dy*> Dx*, то Dб* = Dy*, Dм* = Dx*
Числа степеней свободы:
k1 = nу – 1 = 13 – 1 = 12
k2 = nx – 1 = 15 – 1 = 14
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0,05 и данным числам степеней свободы находим Fкр = 2,53.
Т.к. Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).

X

15

21

23

35

40

31

60

25

30

Y

11

29

21

38

38

32

48

22

38

Dx* = 174,361

Dy* = 127,694

Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
Альтернативная гипотеза:
H1: DxDy;
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера: Fнабл = 1,365
Числа степеней свободы:
k1 = nу – 1 = 9 – 1 = 8
k2 = nx – 1 = 9 – 1 = 8
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0,01 и данным числам степеней свободы находим Fкр = 3,44.
Т.к. Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).

Лабораторная работа 10. Статистика временных рядов

Год

Месяц

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2009

70

71

82

190

280

472

58

108

605

570

184

134

2010

71

85

84

308

383

443

134

184

630

450

177

168

2011

63

60

59

261

348

483

79

129

670

515

185

104

2012

58

65

64

266

353

488

84

134

675

520

190

109

2013

64

78

77

301

376

436

127

177

623

443

170

161


Месяц

Реализация картофеля

Коэффициент

роста

Темп роста

Коэффициент

прироста

Темп прироста

цепной

базисный

цепной

базисный

цепной

базисный

цепной

базисный

1

70

1

1

100

100

-

-

-

-

2

71

1,0143

1,0143

101,43

101,43

0,0143

0,0143

1,43

1,43

3

82

1,1549

1,1714

115,49

117,14

0,1549

0,1714

15,49

17,14

4

190

2,3171

2,7143

231,71

271,43

1,3171

1,7143

131,71

171,43

5

280

1,4737

4

147,37

400

0,4737

3

47,37

300

6

472

1,6857

6,7429

168,57

674,29

0,6857

5,7429

68,57

574,29

7

58

0,1229

0,8286

12,29

82,86

-0,8771

-0,1714

-87,71

-17,14

8

108

1,8621

1,5429

186,21

154,29

0,8621

0,5429

86,21

54,29

9

605

5,6019

8,6429

560,19

864,29

4,6019

7,6429

460,19

764,29

10

570

0,9421

8,1429

94,21

814,29

-0,0579

7,1429

-5,79

714,29

11

184

0,3228

2,6286

32,28

262,86

-0,6772

1,6286

-67,72

162,86

12

134

0,7283

1,9143

72,83

191,43

-0,2717

0,9143

-27,17

91,43

--

Тр = 1,0608

--

Тпр = 0,0608

2009

2010

2011

2012

2013

Хср

Ic

Январь

70

71

63

58

64

65,2

26,19

Февраль

71

85

60

65

78

71,8

28,84

Март

82

84

59

64

77

73,2

29,41

Апрель

190

308

261

266

301

265,2

106,53

Май

280

383

348

353

376

348

139,8

Июнь

472

443

483

488

436

464,4

186,56

Июль

58

134

79

84

127

96,4

38,73

Август

108

184

129

134

177

146,4

58,81

Сентябрь

605

630

670

675

623

640,6

257,34

Октябрь

570

450

515

520

443

499,6

200,7

Ноябрь

184

177

185

190

170

181,2

72,79

Декабрь

134

168

104

109

161

135,2

54,31

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Хср

2009

70

71

82

190

280

472

58

108

605

570

184

134

235,33

2010

71

85

84

308

383

443

134

184

630

450

177

168

259,75

2011

63

60

59

261

348

483

79

129

670

515

185

104

246,33

2012

58

65

64

266

353

488

84

134

675

520

190

109

250,5

2013

64

78

77

301

376

436

127

177

623

443

170

161

252,75

Исходя из средних по годам можно выявить тенденцию к росту.