Специальные разделы высшей математики

Подробнее

Размер

540.87K

Добавлен

29.09.2020

Скачиваний

Добавил

Анастасия

Скачать работу

Статистическое описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения на отдельные объекты, — с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (например, учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Например, данные гранулометрического анализа породы (то есть данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнительную информацию по сравнению с испытанием нерасчленённых образцов породы, позволяя в некоторой мере объяснить свойства породы, условия её образования и прочее.

Текстовая версия:

Перейти к полной версии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ МАГИСТЕРСКОЙ ПОДГОТОВКИ

Кафедра математики и физики

Контрольная работа

по дисциплине «Специальные разделы высшей математики»

Вариант №2

Работу выполнил

студент гр. ФПСм-18: _______________ А.В. Шестаков

(подпись)

Проверил

к.тех.н.: _______________ О.И. Медведева

(подпись)

Братск 2018

Лабораторная работа 1. Первичная обработка выборки

4	5,73	6,99	7,69	8,6	9,58	10,19	10,85	11,95	13,34
4,25	5,75	7,01	7,71	8,69	9,6	10,2	10,89	11,98	13,44
4,36	5,75	7,15	7,78	8,75	9,65	10,2	10,95	11,98	13,5
4,55	5,82	7,23	7,84	8,88	9,68	10,22	10,95	12,11	13,55
4,57	5,84	7,23	7,85	8,95	9,68	10,28	10,98	12,15	13,65
4,58	5,93	7,28	7,9	9	9,72	10,32	11,02	12,22	13,72
4,61	5,97	7,35	7,91	9,15	9,72	10,35	11,1	12,28	13,85
4,71	6,35	7,35	7,99	9,22	9,75	10,42	11,15	12,31	13,88
4,71	6,45	7,36	8,12	9,22	9,8	10,48	11,27	12,35	13,95
4,75	6,54	7,42	8,15	9,32	9,82	10,5	11,29	12,4	14,03
4,75	6,58	7,45	8,24	9,32	9,84	10,63	11,29	12,48	14,42
5,32	6,58	7,48	8,28	9,35	9,92	10,64	11,3	12,55	14,5
5,55	6,68	7,48	8,32	9,38	9,95	10,68	11,35	12,68	14,55
5,55	6,72	7,48	8,35	9,4	9,98	10,68	11,4	12,74	14,7
5,6	6,75	7,54	8,35	9,42	9,99	10,69	11,52	12,87	14,85
5,6	6,8	7,54	8,4	9,45	10,05	10,72	11,58	12,94	14,93
5,62	6,81	7,55	8,48	9,48	10,05	10,72	11,62	12,95	14,98
5,63	6,83	7,58	8,51	9,5	10,11	10,75	11,68	13,11	15,05
5,68	6,85	7,62	8,54	9,52	10,15	10,78	11,78	13,15	15,25
5,72	6,92	7,63	8,56	9,55	10,15	10,82	11,85	13,32	15,3

№ интервала	Левые границы интервалов	Правые границы интервалов	Частоты	Середины интервалов
1	3,435	4,565	4	4
2	4,565	5,695	15	5,13
3	5,695	6,825	18	6,26
4	6,825	7,955	30	7,39
5	7,955	9,085	19	8,52
6	9,085	10,215	37	9,65
7	10,215	11,345	29	10,78
8	11,345	12,475	18	11,91
9	12,475	13,605	14	13,04
10	13,605	14,735	10	14,17
11	14,735	15,865	6	15,3
Контроль			∑=200

эээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээ

жжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжж

Лабораторная работа 2. Вычисление точечных и интервальных оценок

 xi	 -- xi ni	 -- xi  xB	 -- (xi  xB)2	 -- (xi  xB)2ni	 -- (xi  xB)3	 -- (xi  xB)3ni	 -- (xi  xB)4	 -- (xi  xB)4ni
4	16	-5,4466	29,6654	118,6618	-161,576	-646,303394	880,039	3520,15607
5,13	76,95	-4,3166	18,6330	279,4955	-80,4314	-1206,47042	347,19	5207,85021
6,26	112,68	-3,1866	10,1544	182,7796	-32,3581	-582,445321	103,1122	1856,02026
7,39	221,7	-2,0566	4,22960	126,8881	-8,6986	-260,95808	17,88955	536,686388
8,52	161,88	-0,9266	0,85858	16,31316	-0,79557	-15,1157774	0,737173	14,0062794
9,65	357,05	0,2034	0,04137	1,530748	0,008415	0,311354086	0,001712	0,06332942
10,78	312,62	1,3334	1,77795	51,56071	2,370726	68,75105237	3,161126	91,6726532
11,91	214,38	2,4634	6,06834	109,2301	14,94875	269,0774581	36,82475	662,84541
13,04	182,56	3,5934	12,9125	180,7753	46,39986	649,5980702	166,7333	2334,26571
14,17	141,7	4,7234	22,3105	223,1051	105,3815	1053,814514	497,7587	4977,58748
15,3	91,8	5,8534	34,2622	205,5737	200,5509	1203,305385	1173,905	7043,42774
	∑1889,32			∑1495,9139		∑533,56484		∑26244,5815

Название; обозначение			Величина		Формула
Точечные оценки
Выборочная средняя			9,4466		-  xB∑ xi ni
Выборочная дисперсия			7,4795		-  -- DB∑ (xi  xB)2ni
Исправленная выборочная дисперсия			7,5171		D* B DB
Среднее квадратическое отклонение			2,7348		B =
Исправленное среднее квадратическое отклонение			2,7417		B* =*
Выборочная асимметрия			0,1294		 - AS=
Выборочный эксцесс			-0,6776		 - Ex= -3
Доверительные интервалы
Для математического ожидания
Надежность	Левая граница	Правая граница		Длина интервала
γ=0,95	9,0666	9,8266		0,76
γ=0,99	8,9472	9,946		0,9988
Для среднего квадратического отклонения
Надежность	Левая граница	Правая граница		Длина интервала
q=0,95	0,0274	5,4559		5,4285
q=0,99	2,3688	3,1146		0,7458
Вывод:
Правило «трех сигм»
Левая граница	Правая граница	% попадания		Вывод
1,2215	17,6717	100		Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на большую величину, чем утроенное среднее квадратичное откл о нение, практически равна нулю.

Лабораторная работа 3. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности на основании критерия Пирсона

Zi	Zi+1	Ф(Zi)	Ф(Zi+1)	pi	ni	ni ni	(ni ni)2	(ni ni)2 ni
-∞	-1,78499	-0,5	-0,4625	0,0375	7,5	-3,5	12,25	1,633333
-1,78499	-1,3718	-0,4625	-0,4147	0,0478	9,56	5,44	29,5936	3,095565
-1,3718	-0,95861	-0,4147	-0,3315	0,0832	16,64	1,36	1,8496	0,111154
-0,95861	-0,54541	-0,3315	-0,2054	0,1261	25,22	4,78	22,8484	0,905964
-0,54541	-0,13222	-0,2054	-0,0517	0,1537	30,74	-11,74	137,8276	4,483656
-0,13222	0,280971	-0,0517	0,1103	0,162	32,4	4,6	21,16	0,653086
0,280971	0,694164	0,1103	0,2549	0,1446	28,92	0,08	0,0064	0,000221
0,694164	1,107357	0,2549	0,3665	0,1116	22,32	-4,32	18,6624	0,836129
1,107357	1,52055	0,3665	0,4357	0,0692	13,84	0,16	0,0256	0,00185
1,52055	1,933743	0,4357	0,4732	0,0375	7,5	2,5	6,25	0,833333
1,933743	+∞	0,4732	0,5	0,0268	5,36	0,64	0,4096	0,076418
					∑=200			∑=2наб=12,63071

2кр=2,732наб<2крданные выборки не подтверждают выдвинутой гипотезы.

Лабораторная работа 4. Корреляция для малой двумерной выборки

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Q	22,56	27,25	20,15	19,47	18,23	17,58	20,56	18,35	18,65	19,58	23,58	25,65	25,12
П	1284	617	1045	922	648	470	1110	677	748	944	1280	1040	1132

	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
Q	17,36	24,12	23,14	24,24	25,39	16,8	27,32	19,18	18,19	27,62	20,15	28,32
П	420	1248	1290	1235	1089	275	590	870	640	490	1040	209

∆=8149,6914; ∆k=112087,72; ∆b=4488301,325; k=13,754; b=550,73; y=13,754x+550,73

x=3,611; y=325,561; rB=0,153;

Т=0,742 связь между данными генеральными совокупностями слабая.

Лабораторная работа 5. Корреляция для большой двумерной выборки

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
0,19	0,03	0,34	0,11	0,18	0,06	0,24	0,08	0,38	0,12
0,38	0,11	0,49	0,19	0,42	0,14	0,26	0,07	0,13	0,03
0,12	0,04	0,23	0,09	0,20	0,07	0,19	0,04	0,27	0,06
0,28	0,08	0,27	0,07	0,50	0,17	0,08	0,01	0,19	0,04
0,22	0,07	0,14	0,04	0,28	0,09	0,43	0,13	0,32	0,10
0,31	0,10	0,19	0,05	0,30	0,10	0,44	0,17	0,24	0,08
0,17	0,04	0,23	0,06	0,22	0,04	0,31	0,10	0,32	0,07
0,19	0,05	0,10	0,04	0,49	0,17	0,28	0,06	0,45	0,15
0,13	0,05	0,29	0,09	0,31	0,11	0,24	0,07	0,47	0,17
0,19	0,05	0,33	0,11	0,41	0,13	0,21	0,05	0,21	0,06
0,18	0,05	0,16	0,05	0,46	0,14	0,39	0,13	0,38	0,13
0,10	0,04	0,11	0,00	0,25	0,05	0,42	0,14	0,12	0,03
0,24	0,07	0,24	0,07	0,48	0,15	0,06	0,03	0,45	0,15
0,39	0,12	0,06	0,03	0,39	0,13	0,37	0,11	0,13	0,03
0,23	0,06	0,28	0,08	0,26	0,08	0,13	0,04	0,11	0,02
0,43	0,13	0,33	0,10	0,09	0,01	0,46	0,16	0,18	0,05
0,48	0,16	0,28	0,08	0,15	0,05	0,28	0,07	0,12	0,03
0,06	0,01	0,27	0,06	0,33	0,10	0,43	0,16	0,27	0,07
0,13	0,02	0,35	0,12	0,12	0,03	0,21	0,05	0,25	0,07
0,39	0,13	0,31	0,09	0,30	0,07	0,29	0,10	0,13	0,04
0,18	0,05	0,44	0,14	0,08	0,02	0,13	0,03	0,48	0,17
0,40	0,12	0,40	0,13	0,38	0,12	0,33	0,08	0,45	0,17
0,27	0,08	0,07	0,01	0,29	0,07	0,29	0,08	0,14	0,03
0,46	0,14	0,14	0,04	0,25	0,05	0,45	0,14	0,44	0,14
0,17	0,04	0,23	0,06	0,46	0,17	0,15	0,03	0,50	0,18
0,38	0,12	0,21	0,05	0,10	0,03	0,38	0,11	0,22	0,05
0,17	0,03	0,08	0,03	0,30	0,11	0,38	0,12	0,06	0,02
0,09	0,03	0,25	0,07	0,07	0,00	0,30	0,08	0,22	0,06
0,17	0,06	0,39	0,12	0,05	0,01	0,47	0,14	0,50	0,19
0,11	0,04	0,11	0,03	0,33	0,10	0,12	0,02	0,29	0,09
0,30	0,09	0,11	0,02	0,35	0,09	0,35	0,11	0,46	0,15
0,44	0,15	0,48	0,17	0,43	0,15	0,13	0,02	0,16	0,04
0,24	0,04	0,34	0,10	0,05	0,01	0,16	0,03	0,33	0,10
0,24	0,09	0,27	0,07	0,41	0,12	0,28	0,08	0,11	0,03
0,26	0,08	0,12	0,02	0,45	0,17	0,28	0,07	0,32	0,11
0,28	0,08	0,23	0,05	0,49	0,16	0,16	0,04	0,44	0,13
0,31	0,09	0,39	0,09	0,49	0,18	0,14	0,03	0,42	0,14
0,11	0,01	0,23	0,06	0,45	0,15	0,42	0,14	0,11	0,03
0,11	0,02	0,32	0,07	0,44	0,16	0,19	0,04	0,48	0,16
0,33	0,10	0,39	0,12	0,39	0,12	0,19	0,04	0,30	0,09

Таким образом, наиболее точно описывает ситуацию полиномиальная линия 4 порядка.

Лабораторная работа 6. Множественная линейная корреляция

Х	Y	Z	Х	Y	Z	Х	Y	Z
3,61	3,25	7,54	4,49	4,04	9,67	2,51	1,04	2,95
4,81	4,03	10,28	3,01	3,08	5,43	3,2	2,11	6,76
4,1	1,03	8,2	3,78	4,31	7,5	1,25	4,72	1,31
1,18	2,32	-0,24	3,95	3,83	10,41	4,51	4,64	11,28
3,45	1,78	7,08	1,53	3,1	1,5	3,58	3,05	10,72
4,6	4,95	10,1	3,62	1,67	9,65	4,17	3,57	9,52
2,66	2,69	7,79	2,59	3,19	7,51	1,97	4,13	5,59
3,94	1,79	9,44	4,12	2,48	9,95	2,49	4,07	5,21
1,73	1,61	4,76	3,92	4,59	11,87	2,13	2,36	5,13
2,43	2,14	7,7	3,94	2,61	9,1	4,06	4,19	9,99
2,32	1,74	4,63	4,11	4,93	10,12	3	2,2	7,58
4,61	1,82	10,43	1,56	3,72	1,99	2,17	3	5,45
1,01	2,08	2,57	1,16	2,97	2,23	3,56	4,19	6,83
3,56	3,39	8,27	1,03	1,64	-0,38	1,04	2,4	0,65
3,1	2	8,79	3,39	1,04	7,72	3,26	3,06	7,5
4,76	2,16	13,47	2,88	4,22	6,14	1,01	3,99	0,74
1,44	2,42	0,75	2,67	2,54	8,15	4,57	2,7	12,49
1,65	2,62	0,62	3,41	4,22	9,81	2,28	2,34	5,7
3,25	4,29	5,71	4,67	2,46	13,49	1,37	2,55	2,89
1,02	1,97	1,41	4,07	3,41	9,77	4,09	3,5	8,8
2,07	4,75	4,96	2,66	3,89	3,57	4,84	2,7	13,46
2,19	1,53	6,23	3,86	1,58	10,06	4,84	3,9	10,9
2,51	3,43	6,94	3,84	4,96	10,7	4,96	4,38	11,2
2,41	1,05	2,84	4,58	3,87	11,63	3,46	3,7	10,73
1,62	4,38	1,94	4,1	4,31	10,74	2,56	2,55	5,39
1,93	2,73	2,55	1,84	4,8	4,24	1,73	2,44	1,05
4,24	2,01	9,15	1,97	4,45	6,05	2,04	1,37	3,3
2,12	3,38	6,97	1,99	4,72	5,68	2,27	1,07	5,21
4,5	2,5	12,9	1,67	4,11	2,47	1,71	1,71	3,37
1,72	4,86	5,88	2,36	2,52	3,37	1,89	2,26	3,28
1,8	1,45	1,55	5	1,11	10,75	2,09	4,55	2,96
4,47	1,69	12,49	2,49	3,64	6,31	3,36	2,76	6,23
1,2	4,7	2,17	1,91	1,47	5,89	4,53	4,46	13,83

a=-0,5304

b=-0,1823

c=10,496

z=-0,5304x-0,1823y+10,496

rxz(y)=-0,0276

ryz(x)=0,1171

Лабораторная работа 7. Ранговая корреляция

Cпортсмен	И	П	С	Р	Л	О	А	Д	К	Н
1 арбитр	85	68	77	98	54	56	76	56	52	85
2 арбитр	62	72	85	90	72	63	82	95	48	78

Ранг 1	8,5	5	7	10	2	3,5	6	3,5	1	8,5
Ранг 2	2	4,5	8	9	4,5	3	7	10	1	6

в=0,39

Ткр=3,36*0.325=1,094

в< Ткр

Таким образом, коэффициент корреляции не значим, следовательно, нельзя по оценкам одного арбитра предсказать оценки другого.

Лабораторная работа 8. Факторный анализ

№ контр. точки	Цвет
	Желтый	Синий	Белый	Красный
1	325	456	228	542
2	310	431	290	448
3	360	494	270	498
4	387	492	204	512
5	343	476	257	492
6	392	485	278	569
7	345	410	237	521
8	359	430	294	499
9	407	493	305	414
10	343	438	296	534
11	398	487	279	563
12	320	497	300	570

Sобщ = 489881,25
Sфакт = 431417,42
Sост = 58463,83

489881,25 = 431417,42+58463,83

Dобщ = 10423

Dфакт = 143805,81

Dост = 1328,72
Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать несправедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.

№ контр. точки	Аромат
	Малина	Ананас	Лимон	Жасмин
1	13	7	3	15
2	7	8	2	20
3	5	7	5	16
4	2	8	9	14
5	10	6	12	15
6	5		8	12
7	9		11	10
8	14			22
9	5
10	6

Sобщ = 723,47
Sфакт = 389,41
Sост = 723,47-389,41=334.06

Dобщ = 15,39

Dфакт = 129,8

Dост = 12,85

Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать несправедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.

Лабораторная работа 9. Статистическая проверка различных гипотез

X	19	5	26	57	90	65	129	5
Y	2	199	56	121	29	81

Dx* = 1957,143

Dy* = 5018,667

Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
Альтернативная гипотеза:
H1: Dx ≠ Dy;
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера: Fнабл = 2,564
Поскольку Dy*> Dx*, то Dб* = Dy*, Dм* = Dx*
Числа степеней свободы:
k1 = nу – 1 = 6 – 1 = 5
k2 = nx – 1 = 8 – 1 = 7
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0,05 и данным числам степеней свободы находим Fкр = 3,97.
Т.к. Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).

X	22	17	23	26	17	25	14	27	23	26	21	24	27	25	16
Y	25	19	23	26	21	19	30	17	33	23	20	32	22

Dx* = 18,314

Dy* = 26,308

Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
Альтернативная гипотеза:
H1: Dx ≠ Dy;
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера: Fнабл = 1,436
Поскольку Dy*> Dx*, то Dб* = Dy*, Dм* = Dx*
Числа степеней свободы:
k1 = nу – 1 = 13 – 1 = 12
k2 = nx – 1 = 15 – 1 = 14
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0,05 и данным числам степеней свободы находим Fкр = 2,53.
Т.к. Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).

X	15	21	23	35	40	31	60	25	30
Y	11	29	21	38	38	32	48	22	38

Dx* = 174,361

Dy* = 127,694

Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
Альтернативная гипотеза:
H1: Dx ≠ Dy;
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера: Fнабл = 1,365
Числа степеней свободы:
k1 = nу – 1 = 9 – 1 = 8
k2 = nx – 1 = 9 – 1 = 8
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0,01 и данным числам степеней свободы находим Fкр = 3,44.
Т.к. Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).

Лабораторная работа 10. Статистика временных рядов

Год	Месяц
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2009	70	71	82	190	280	472	58	108	605	570	184	134
2010	71	85	84	308	383	443	134	184	630	450	177	168
2011	63	60	59	261	348	483	79	129	670	515	185	104
2012	58	65	64	266	353	488	84	134	675	520	190	109
2013	64	78	77	301	376	436	127	177	623	443	170	161

Месяц	Реализация картофеля	Коэффициент роста		Темп роста		Коэффициент прироста		Темп прироста
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
1	70	1	1	100	100	-	-	-	-
2	71	1,0143	1,0143	101,43	101,43	0,0143	0,0143	1,43	1,43
3	82	1,1549	1,1714	115,49	117,14	0,1549	0,1714	15,49	17,14
4	190	2,3171	2,7143	231,71	271,43	1,3171	1,7143	131,71	171,43
5	280	1,4737	4	147,37	400	0,4737	3	47,37	300
6	472	1,6857	6,7429	168,57	674,29	0,6857	5,7429	68,57	574,29
7	58	0,1229	0,8286	12,29	82,86	-0,8771	-0,1714	-87,71	-17,14
8	108	1,8621	1,5429	186,21	154,29	0,8621	0,5429	86,21	54,29
9	605	5,6019	8,6429	560,19	864,29	4,6019	7,6429	460,19	764,29
10	570	0,9421	8,1429	94,21	814,29	-0,0579	7,1429	-5,79	714,29
11	184	0,3228	2,6286	32,28	262,86	-0,6772	1,6286	-67,72	162,86
12	134	0,7283	1,9143	72,83	191,43	-0,2717	0,9143	-27,17	91,43

Тр = 1,0608

Тпр = 0,0608

	2009	2010	2011	2012	2013	Хср	Ic
Январь	70	71	63	58	64	65,2	26,19
Февраль	71	85	60	65	78	71,8	28,84
Март	82	84	59	64	77	73,2	29,41
Апрель	190	308	261	266	301	265,2	106,53
Май	280	383	348	353	376	348	139,8
Июнь	472	443	483	488	436	464,4	186,56
Июль	58	134	79	84	127	96,4	38,73
Август	108	184	129	134	177	146,4	58,81
Сентябрь	605	630	670	675	623	640,6	257,34
Октябрь	570	450	515	520	443	499,6	200,7
Ноябрь	184	177	185	190	170	181,2	72,79
Декабрь	134	168	104	109	161	135,2	54,31

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Хср
2009	70	71	82	190	280	472	58	108	605	570	184	134	235,33
2010	71	85	84	308	383	443	134	184	630	450	177	168	259,75
2011	63	60	59	261	348	483	79	129	670	515	185	104	246,33
2012	58	65	64	266	353	488	84	134	675	520	190	109	250,5
2013	64	78	77	301	376	436	127	177	623	443	170	161	252,75

Исходя из средних по годам можно выявить тенденцию к росту.

Специальные разделы высшей математики

Размер

Добавлен

Скачиваний

Добавил

Предмет

Тип работы

Вуз

Факультет

Преподаватель