Исследование линейных электрических цепей постоянного тока

1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Цель работы: выявление степени соответствия аналитических методов анализа линейных электрических цепей постоянного тока с экспериментальным.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Прямая задача анализа электрических цепей заключается в определении токов и напряжений на участках данной цепи при

известных параметрах ее элементов и характеристиках присутствовавших здесь источников электрической энергии. Поставленную задачу можно выполнить при непосредственном использовании законов Ома и Кирхгофа, а также методами контурных токов, узловых потенциалов, наложения, эквивалентного генератора и другими. Правильность выполненного анализа подтверждается балансом мощностей и законченностью потенциальной диаграммы цепи постоянного тока. Кроме того, потенциальная диаграмма есть один из способов представления электрической цепи постоянного тока.

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНОВ ОМА И КИРХГОФА

Закон Ома для участка цепи гласит, что напряжение на этом участке прямо пропорционально току и сопротивлению упомянутого участка:

U=IR

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма тока, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

n

Ii 0

i 1

где n и m - число пассивных и активных элементов, входящих в состав рассматриваемого контура.

Или с учетом закона Ома

n m

i 1p 1IiRi

Для анализа электрической цепи предлагаемым здесь методом необходимо составить математическую модель этой цепи.

Математическая модель электрической цепи представляет собой совокупность уравнений, составленной на основании законов Кирхгофа. Причем число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа определяется числом узлов исследуемой цепи, уменьшенном на единицу, а по второму закону - числом элементарных контуров. Так, для электрической цепи постоянного тока, схема которой изображена на рис.3.1, математическая модель выглядит так:

d

Рис.3.1. Схема электрической цепи постоянного тока.

3

-I3R3 - I4R4 + I5 R5 - I6R6 = 0 ;

I2R2 +I4 R4= E2

Совместное решение уравнений полученной модели даст результат решения прямой задачи анализа данной электрической цепи.

Очевидно, что составление математической модели любой электрической цепи следует начинать с выбора условно положительных направлений токов в ветвях этой цепи.

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Этот метод позволяет выполнить прямую задачу анализа электрических цепей и рекомендуется к применению, когда число элементарных контуров в исследуемой цепи менее количества узлов в этой цепи. Идея метода контурных токов заключается в сокращении числа уравнений в математической модели цепи.

Метод предполагает решение поставленной задачи в два этапа. Сначала, предполагается, что каждый элементарный контур

обладает собственным током. Для электрической цепи, схема которой

трансформированная математическая модель будет содержать лишь уравнения, составленные на основании второго закона Кирхгофа :

II( RI + R3) - IIIR3= EI ;

Решение этой системы уравнений определит количественные значения контурных токов исследуемой цепи.

На следующем этапе решения поставленной изначально задачи через вычисленные значения контурных токов определяют токи в ветвях исследуемой цепи:

II = II:

I2 = - IIII;

I3 = II - III;

I4 = III- IIII ;

I5 =III ;

I6 =III.

4

Из представленного в общем виде примере решения видно, что токи I5 и I6 равны. Впрочем, это очевидно и из визуальной оценки схемы данной в качестве примера электрической цепи (рис.3.1).

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Этот метод, как и предыдущий, позволяет решить прямую задачу анализа электрических цепей и рекомендуется к применению, когда количество узлов в исследуемой цепи если и превышает количество элементарных контуров, то не более, чем на единицу.

Токи в ветвях исследуемой электрической цепи по методу узловых потенциалов определяются из предположения, что известен потенциал каждого узла этой цепи. Для этого достаточно воспользоваться законом Ома для электрической цепи, представленной схемой на рис.3.1. Эта процедура выполняется следующим образом:

I6 ( d a )G6 ,

где

Численные значения потенциалов узлов анализируемой цепи определяется в результате подстановки равенств (3.2) в уравнения, составленные на основании первого закона Кирхгофа, каковыми являются первые три уравнения математической модели (3.1). Если при этом принять потенциал узла d в исследуемой цепи (рис.3.1) равным нулю,

d 03

то численные значения потенциалов узлов этой цепи определяются из совместного решения системы

соответствующих узлов; Ia , Ib, и I c - узловые токи.

Для исследуемой в качестве примера электрической цепи :

Итак, порядок определения токов в ветвях электрической цепи следующий:

МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Этот метод основан на принципе суперпозиции, который гласит, что каждое явление в линейной системе можно рассматривать как сумму элементарных явлений.

Применительно к электротехнике ток в каждой ветви линейной цепи с несколькими источниками электрической энергии можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных токов от каждого источника.

токи I1 , I 2 , I3 , I 4 , I 5 и I6 (рис.3.2,б).

Алгебраическая сумма частичных токов соответствующих ветвей даст величину результирующих токов, действующих в полной цепи (рис.3.2,в):

6

МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

R6

7

Рис. 3.2. Схема алгоритма использования метода наложения

для решения прямой задачи анализа электрической цепи

R2 E2

Рис. 3.3. Схема определения тока I5

методом эквивалентного генератора.

ЭДС эквивалентного генератора можно измерить вольтметром при разомкнутом ключе S1, либо определяется аналитически как

8

разность потенциалов между точками b и с при отсутствии ветви с R1. Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора может быть определено аналитически как эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника, полученного из активного заменой всех входящих в состав последнего источников электрической энергии своими внутренними сопротивлениями. Так, для рассматриваемого

примера

Это сопротивление можно определить и экспериментально. Для этого можно замкнуть ключи S1 и S2, обеспечив тем самым режим короткого замыкания эквивалентного генератора, и измерить ток короткого замыкания Iк, как это показано на рис.3.3. Затем воспользовавшись измеренным ранее напряжением холостого хода

(ЭДС эквивалентного генератора) можно определить Rв :

Rв Uxx Eэ .

Iк3 Iк3

Теперь можно определить и ток в ветви с резистором R5:

БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ

Баланс мощностей есть следствие закона сохранения энергии: мощность источников электрической энергии, входящих в состав исследуемой цепи, определяется суммарной мощностью потребляемой пассивными элементами этой цепи:

k

Pn Ii 2Ri ;

исследуемой электрической цепи; i - число пассивных элементов этой цепи.

9

Перед составлением баланса мощностей необходимо разобраться

Если ток в ветви с источником электрической энергии совпадает по направлению с ЭДС этого источника, то последний работает в режиме генератора, а его мощность записывается в левой части

равенства (3.4). В случае несовпадения направлений упомянутых тока

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ДИАГРАММА

ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Потенциальная диаграмма есть один из способов графического изображения электрической цепи постоянного тока и иллюстрирует поконтурно изменение потенциала от каждого элемента, входящего в состав данного контура упомянутой цепи.

Потенциальная диаграмма для внешнего контура электрической цепи, схема которой изображена на рис.3.1, строится так. Принимается, что потенциал какой-либо точки контура равен нулю. Например

d 0.

Эта точка и принимается за начало обхода контура. Потенциалы остальных точек внешнего контура определяется так:

ad I6R6;

e a I1R1; b e E1; c b I5R5;

fc E2;

df I2R2 0

Величины потенциалов в точках электрической цепи можно определить и экспериментально с помощью вольтметра. Для этого необходимо измерить разность потенциалов (напряжение) между точкой с нулевым потенциалом и другой точкой, где необходимо узнать значение потенциала. Тогда для исследуемой цепи (рис.3.1) :

10

Изменение отклонения стрелки вольтметра соответствует изменению знаку потенциала. Ориентировочно потенциальная диаграмма анализируемой цепи будет выглядеть так, как показано на рис.3.4.

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ ПАНЕЛИ

Лабораторная работа выполняется на специализированной панели, на которой установлены источники электрической энергии постоянного тока, резисторы, переключатели, гнезда для вольтметра и амперметра. Предлагаемая для исследования цепь частично скоммутирована.

Источники ЭДС Е1 и Е2 представлены на панели своими схемами замещения, где элементы R1 и R2 можно рассматривать как внутренние сопротивления этих источников.

Сопротивления соединительных проводов, амперметров и проводимость вольтметра сравнительно с сопротивлениями резисторов и проводимостью отдельных участков цепи ничтожно малы и рекомендуется принять равными нулю.

11

Рис. 3.4. Потенциальная диаграмма внешнего контура электрической цепи постоянного тока (рис.3.1)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Для этого использовать метод контурных токов и метод узловых потенциалов. Результаты расчетов внести в таблицу 3.1.

R6

R4 d R5

c e

Рис. 3.5. Схема исследуемой электрической цепи.

12

Таблица 3.1

Результаты вычислений и измерений токов в ветвях цепи

Здесь и далее индексация токов принимается совпадающей с индексацией резисторов.

13

Восстановить цепь.

8. Приняв потенциал в узле а равным нулю, измерить потенциал

Таблица 3.3

Результаты измерения и вычисления потенциалов узлов

14

величину резистора R3. Измерить токи в ветвях цепи. Результаты измерений занести в таблицу 3.4.

Таблица 3.4

Результаты измерений токов

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

15

Как изменятся направления токов в ветвях исследуемой цепи при изменении величины резистора R3 ?