Конспекты лекций ЧМ. Часть 2

1 Лекция 16. § Многошаговые разностные методы. Рассмотрим задачу Коши для однородного дифференциального уравнения .)0(0),,(0uutntfdtdu (1) Введем сетку ...}2,1,0,{  nnшаг сетки –постоянный .ntn Обозначим )(nyyn и через )).(,(),(nynfytfnn (5) Функции ),(,nnnytfy –функции определенные на сетке . Линейным m–шаговым разностным методом называется система разностных уравнений. ,...1,),,(...),(),(...1110110mmnytfbytfbytfbyayayamnmnmnnnnmnmnn (2) kkba , –числовые коэффициенты независящие от n причем .00a Уравнение (2) следует рассматривать как рекуррентное соотношение, выражающее новое значение )(nntyy  через найденные ранее значения .,..,,21 mnnnyyy Расчет начинается с номера mn  т. е. с уравнения ).,(...),(...0000110ytfbytfbyayayammmmmm Из последнего равенства следует, что для начала расчета необходимо задать m начальных значений .,..,,110 myyyЗначение 0y определяется исходной задачей, а именно полагают .00uy  Величины 11,..,myy можно вычислить с помощью, например, метода Рунге-Кутта. В дальнейшем мы будем предполагать, что начальные значения 110,..,,myyy заданы. Из уравнения (2) следует, что в отличие от метода Рунге-Кутта, многошаговые методы допускают вычисление значений правых частей дифференциального уравнения только в точках основной сетки. Метод (2) называется явным, если ,00b и следовательно искомое значение ny явным образом выражается через предыдущие значения .,..,1 mnnyy Когда 00b метод называется неявным. Тогда для нахождения ny придется решать нелинейное уравнение ),,..,,(),(210mnnnmmnyyyFytbfya где ).),((),..,,(121knkknknmkkmnnnyaytfbyyyF Обычно это уравнение решается методом Ньютона. Начальное приближение .1)0(nnyy Отметим, что коэффициент уравнения (2) определяется с точностью до множителя. Чтобы устранить это будем считать, что выполняется условие .10mkkb (3) Это условие означает, что правая часть разностного уравнения (2) аппроксимирует правую часть дифференциального уравнения (1). В практике наибольшее применение получили методы Адамса, которые представляют собой частный случай многошаговых методов (2), когда )(tu аппроксимируется только по двум точкам ,,1nntt причем .,2,0,1,110mkaaak Методы Адамса имеют вид: 2 ).,(01knknmkknnytfbyy (4) Если ,00b то матрицы Адамса называются явными, если ,00b то неявными. Рассмотрим, как влияет выбор коэффициентов ka и kb на погрешность аппроксимации, и исследуем тесно связанные между собой вопросы устойчивости и сходимости. Погрешностью аппроксимации на решении или невязкой разностного метода (2) называется функция ).,(00knknnkkknnkkntfbua (5) Получающаяся в результате подстановки точного решения )(tu дифференциальной задачи (1) в разностное уравнение (2). Выясним вопрос о порядке погрешности аппроксимации при 0 в зависимости от выбора коэффициентов .,..,1,0,, mkbakk Разложим функцию )(knkntuu и ряд Тейлора в окрестности точки .nt Имеем )(!)()(1)(0pnlpllknoltuku .,..,2,1),(!)()()(),(10)1(mkoltuktuutfpplnllknknkn Подставим эти разложения в выражение (5), получим )(!)()(!)()()1(0)(0pnlpollmkknlpollmkknoltukbltuka (поменяем порядки суммирования и во второй сумме перейдем к суммированию по l от 0 до ) ).()!1()()()()()()!1()()(!)()()(1 010)(1 01)(0 01pnlkkplmklnmkkpnlplmklknlplmklkoltublkaktuaoltukbltuka    (6) Из полученного равенства следует, что погрешность аппроксимации имеет порядок p если выполнены условия: 00mkka (7) .,..,2,1,0)(01pllbkakkkmkl (8) Условия (7) и (8) вместе с условиями нормировки (3) образуют систему из 2p линейных уравнений относительно 22 m неизвестных .,..,,,,..,,1010 mmbbbaaa Упростим эту систему. Положим в (8) .0,100mkkmkkbkal Учитывая, что 10mkkb из последнего равенства получим 10mkkka (9) Вместо (8) запишем .,..,2,0)(01pllbkakmkkkl 3 Полученная система содержит p уравнений и m2 неизвестных .,..,,,,..,,1010 mmbbbaaa Коэффициенты 00,ba вычисляются по формулам .,11010mkkmkkaabb (10) Для того, чтобы (9) не была переопределена необходимо потребовать .2mp  Это требование означает, что порядок аппроксимации линейных mшаговых разностных методов не превышает .2m Таким образом наивысший порядок линейных неявных m-шаговых методов равен ,2m а явных методов равен ).12( m Однако оказывается, что методы наивысшего порядка аппроксимации практически не пригодны для расчетов, так как они неустойчивы. Рассмотрим наряду с разностным уравнением (2) однородное разностное уравнение 1,,0...110mmnvavavamnmnn (11) будем искать решение уравнения (11) в виде ,nnqv  где q подлежит определению (число), получим ,0...110mmmaqaqa (12) (12)–характеристическое уравнение разностного метода (2). Говорят, что метод (2) удовлетворяет условию корней, если все корни mqqq ,..,,21 характеристического уравнения (12) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости. Причем на границе нет кратных корней. Разностный метод (2), удовлетворяющий условию корней, называют устойчивым методом. Существует определенное ограничение на порядок аппроксимации. Приведем без доказательства следующее утверждение: Теорема. Пусть разностный метод (2) удовлетворяет условию корней и ,0,),( TtLutfn тогда, если mnTntmn , и при всех достаточно малых  выполнена оценка )max)(max()(010kmnkjjmjnntuyMtuy (13) где k– погрешность аппроксимации constMmjtuynj ,10),(, зависящая L от и и T не зависит от .n Из оценки (13) следует, что, если начальные погрешности10),(  mjtuynj и погрешность аппроксимации mnkk ,0, являются величинами порядка ),(po то и величина )(njtuy  также имеет порядок аппроксимации ).(po Т.е. разностный метод (2) сходится и имеет p-ый порядок аппроксимации. Т.е. исследование сходимости метода (2) сводится к анализу погрешности аппроксимации и проверки условия корней. Отметим, что методы Адамса ),(01knknmkknnytfbyy всегда удовлетворяют условию корней, так как для них .1,1,1110 qaa Рассмотрим примеры многошаговых разностных методов. Наивысший порядок аппроксимации явных mшаговых методов Адамса равен m. Согласно системе (9) условия mтого порядка аппроксимации имеют вид: 0),,(...),(),(011101bytfbytfbytfbyymnmnmnnnnnn (15) равен .m Согласно системе (9) условия mго порядка аппроксимации имеют вид: 4 .,..,2,1,111mllbkmkkl (14) Решая систему (14) можно найти коэффициент kb для разностного метода (15) при каждом конкретном значении .m При ,1m получим метод Эйлера ,11nnnfyy при ,2mполучим метод 2-го порядка аппроксимации 2112132nnnnffyy и т.д. Для неявных mшаговых методов Адамса 0),,(...),(),(011101bytfbytfbytfbyymnmnmnnnnnn (16) Наивысший порядок аппроксимации равен ,1m коэффициенты метода (16) находятся из системы (10), когда .1 mp При ,1m получим метод 2-го порядка аппроксимации ),(2111nnnnffyy который называется методом трапеции. При ,2m получим метод 3-го порядка аппроксимации ).85(121211nnnnnfffyy Выписанные методы содержат искомое значение ny нелинейно, поэтому для их реализации необходимо применять итерационные методы. Лекция 17. Рассмотрим явный метод Эйлера ),(1nnnnytfyy UdtdU этот метод принимает вид nnyy )1(1  Условие устойчивости 1)1(  для комплексного 10i означает, что 1)1(120 и тем самым область устойчивости данного метода представляет собой круг единичного радиус с центром в точке (-1;0). Для неявного метода Эйлера ),(111nnnnytfyy областью устойчивости является внешность круга единичного радиуса с центром в точке (1;0) Разностный метод называется А-устойчивым, если область его устойчивости содержит левую полуплоскость комплексной плоскости 0Re . Отметим, что уравнение UdtdU асимптотически устойчиво при выполнении условия 0Re  следовательно сущность приведённого определения состоит в том, что А-утойчивый разностный метод является абсолютно устойчивым, при любых шагах 0 - устойчивый, если устойчиво решение исходного дифференциального уравнения. Отметим, что явный метод Эйлера не является А-устойчивым, а неявный метод Эйлера является А-устойчивым. 5 Рассмотрим одношаговый явный метод второго порядка точности: )),(),((5,0111nnnnnnytfytfyy (19) Для уравнения UdtdU метод (19) принимает вид nnqyy 1 где 5,015,01q, следовательно 1|| q, тогда и только тогда, когда 0Re  , следовательно метод (19) является А-устойчивым. При решении жёстких систем для обыкновенных дифференциальных уравнений было бы желательно пользоваться именно А-устойчивыми методами, так как условия их устойчивости не накладывают ограничений на шаг , оказывается, однако, класс А-устойчивых методов является весьма узким. В частности среди методов (2) не существует явных А-устойчивых методов. Для доказательства этого факта запишем характеристическое уравнение mkkmkkyba00)( mmmmmmbqbqbaqaqa......110110 (20) Если метод (2) явный m-шаговый метод, то 00b, 00a. Кроме 0b могут оказаться равными нулю и другие коэффициенты kb, но не все, так как по условию 1...10mbbb Пусть 1210...jbbbb, 0jb, mj , тогда из (20) получаем mjmjmmmbqbaqaqa......110, следовательно при больших значениях q функция )(qведёт себя, как jjqba0, 1j, следовательно для любого достаточно большого по модулю числа , в том числе и для , лежащих в левой полуплоскости, существует корень характеристического уравнения (20), такой что 1|| q. Доказано так же, что среди неявных многошаговых разностных методов нет А-устойчивых методов, имеющих порядок точности выше второго. Примером А-устойчивоого метода второго порядка точности является симметрическая схема (19). В связи с этим было введено ещё несколько определений устойчивости, которые являются менее ограниченными, чем определения устойчивости. Разностный метод называется )(А-устойчивым, если область его устойчивости содержит угол  |)arg(|, . В частности определение )(2А-устойчивости совпадает с А-устойчивостью. Доказано, что ни для какого  не существует явного )(А-устойчивого линейного многошагового метода, но построены )(А-устойчивые неявные методы третьего и четвёртого порядка точности. К ним в частности относятся чисто неявные многошаговые разностные методы, у которых правая часть );( utf вычисляется только при ntt , а производная )(tu аппроксимируется в точке nt по значениям функции в нескольких предыдущих точках, например: 6 );(123163648254321mmnnnnnytfyyyyy (21) Разностная схема (21) имеет четвёртый порядок точности и является )(А-устойчивой при некотором 0. В настоящее время при интегрировании жёстких систем уравнений широко используется метод Гира, в основу которого положены чисто неявные многошаговые разностные методы высокого порядка точности. Разностный метод mknnknkytfya0);( (22) называется чисто неявным, он является частным случаем многошагового разностного метода (2), когда 0...21mbbb, 10b. Для отыскания ny из (22) получаем систему нелинейных уравнений mkknknnnyaytfya10);( (23) которая решается тем или иным итерационным методом, в частности методом Ньютона. Условие p-того порядка аппроксимируем в случае метода (22) принимает вид mkkaa10, mkkka11, mkklak10, pl ,...3,2 (24) Из условий (24) следует, что наивысший достижимый предел аппроксимации чисто неявного m-шагового разностного метода равен m. Упомянутый метод Гира использует чисто неявные схемы наивысшего порядка аппроксимации. Система уравнений (24) для определения коэффициентов maaa ,...,,21 метода наивысшего порядка имеет вид 0...20...21...221222121mmmmmamaaamaamaaa (25) Эта система однозначно разрешима, так как её определитель отличен от нуля. Рассмотрим частные случаи метода (22). При 1m метод (22) при выполнении условия (25) совпадает с неявным методом Эйлера. При 2m получаем метод: );(2221123nnnnnytfyyy (26) При 3m получаем метод: );(33312231611nnnnnnytfyyyy (27) которые имеют соответственно второй и третий порядок точности. При 4m из (23) и (25) получаем разностную схему (21). Для практических расчётов используется аналогичные методы, вплоть до десятого порядка точности. Важно отличить чисто неявные разностные методы, обладающие хорошими свойствами устойчивости. Для модельного уравнения UdtdU метод (26) принимает вид: nnnnyyyy 2211232,  (28) Этому методу соответствует характеристическое уравнение: 02)(21223 qq (29)