1
Лекция 16.
§ Многошаговые разностные методы.
Рассмотрим задачу Коши для однородного дифференциального уравнения
.)0(
0),,(
0
uu
tntf
dt
du
(1)
Введем сетку
...}2,1,0,{ nn
шаг сетки
–постоянный
.
nt
n
Обозначим
)(
nyy
n
и через
)).(,(),(
nynfytf
nn
(5)
Функции
),(,
nnn
ytfy
–функции определенные на сетке
.
Линейным
m
–шаговым разностным методом называется система разностных уравнений.
,...1,
),,(...),(),(
...
1110
110
mmn
ytfbytfbytfb
yayaya
mnmnmnnnn
mnmnn
(2)
kk
ba ,
–числовые коэффициенты независящие от
n
причем
.0
0
a
Уравнение (2) следует рассматривать как рекуррентное соотношение, выражающее новое
значение
)(
nn
tyy
через найденные ранее значения
.,..,,
21 mnnn
yyy
Расчет начинается с номера
mn
т. е. с уравнения
).,(...),(
...
000
0110
ytfbytfb
yayaya
mmm
mmm
Из последнего равенства следует, что для начала расчета необходимо задать
m
начальных
значений
.,..,,
110 m
yyy
Значение
0
y
определяется исходной задачей, а именно полагают
.
00
uy
Величины
11
,..,
m
yy
можно вычислить с помощью, например, метода Рунге-Кутта.
В дальнейшем мы будем предполагать, что начальные значения
110
,..,,
m
yyy
заданы. Из
уравнения (2) следует, что в отличие от метода Рунге-Кутта, многошаговые методы
допускают вычисление значений правых частей дифференциального уравнения только в
точках основной сетки. Метод (2) называется явным, если
,0
0
b
и следовательно искомое
значение
n
y
явным образом выражается через предыдущие значения
.,..,
1 mnn
yy
Когда
0
0
b
метод называется неявным. Тогда для нахождения
n
y
придется решать нелинейное
уравнение
),,..,,(),(
21
0
mnnnmm
n
yyyFytbf
ya
где
).),((),..,,(
1
21
knk
knkn
m
k
kmnnn
ya
ytfbyyyF
Обычно это уравнение решается методом Ньютона. Начальное приближение
.
1
)0(
nn
yy
Отметим, что коэффициент уравнения (2) определяется с точностью до множителя. Чтобы
устранить это будем считать, что выполняется условие
.1
0
m
k
k
b
(3)
Это условие означает, что правая часть разностного уравнения (2) аппроксимирует
правую часть дифференциального уравнения (1). В практике наибольшее применение
получили методы Адамса, которые представляют собой частный случай многошаговых
методов (2), когда
)(tu
аппроксимируется только по двум точкам
,,
1nn
tt
причем
.,2,0,1,1
10
mkaaa
k
Методы Адамса имеют вид:
2
).,(
0
1
knkn
m
k
k
nn
ytfb
yy
(4)
Если
,0
0
b
то матрицы Адамса называются явными, если
,0
0
b
то неявными.
Рассмотрим, как влияет выбор коэффициентов
k
a
и
k
b
на погрешность аппроксимации, и
исследуем тесно связанные между собой вопросы устойчивости и сходимости.
Погрешностью аппроксимации на решении или невязкой разностного метода (2)
называется функция
).,(
00
knkn
n
k
kkn
n
k
k
n
tfbu
a
(5)
Получающаяся в результате подстановки точного решения
)(tu
дифференциальной задачи
(1) в разностное уравнение (2). Выясним вопрос о порядке погрешности аппроксимации
при
0
в зависимости от выбора коэффициентов
.,..,1,0,, mkba
kk
Разложим функцию
)(
knkn
tuu
и ряд Тейлора в окрестности точки
.
n
t
Имеем
)(
!
)(
)(
1
)(
0
p
n
l
p
l
l
kn
o
l
tu
ku
.,..,2,1),(
!
)()(
)(),(
1
0
)1(
mko
l
tuk
tuutf
p
p
l
n
ll
knknkn
Подставим эти разложения в выражение (5), получим
)(
!
)(
)(
!
)(
)(
)1(
0
)(
0
p
n
l
p
ol
l
m
k
k
n
l
p
ol
l
m
k
k
n
o
l
tu
kb
l
tu
k
a
(поменяем порядки суммирования и во второй сумме перейдем к суммированию по
l
от 0
до )
).(
)!1(
)(
)()()(
)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)(
)(
1 0
1
0
)(
1 0
1
)(
0 0
1
p
n
l
kk
p
l
m
k
l
n
m
k
k
p
n
l
p
l
m
k
l
k
n
l
p
l
m
k
l
k
o
l
tu
b
l
k
aktu
a
o
l
tu
kb
l
tu
k
a
(6)
Из полученного равенства следует, что погрешность аппроксимации имеет порядок
p
если выполнены условия:
0
0
m
k
k
a
(7)
.,..,2,1,0)(
0
1
pllbkak
kk
m
k
l
(8)
Условия (7) и (8) вместе с условиями нормировки (3) образуют систему из
2p
линейных уравнений относительно
22 m
неизвестных
.,..,,,,..,,
1010 mm
bbbaaa
Упростим
эту систему. Положим в (8)
.0,1
00
m
k
k
m
k
k
bkal
Учитывая, что
1
0
m
k
k
b
из последнего
равенства получим
1
0
m
k
k
ka
(9)
Вместо (8) запишем
.,..,2,0)(
0
1
pllbkak
m
k
kk
l
3
Полученная система содержит
p
уравнений и
m2
неизвестных
.,..,,,,..,,
1010 mm
bbbaaa
Коэффициенты
00
,ba
вычисляются по формулам
.
,1
1
0
1
0
m
k
k
m
k
k
aa
bb
(10)
Для того, чтобы (9) не была переопределена необходимо потребовать
.2mp
Это
требование означает, что порядок аппроксимации линейных
m
шаговых разностных
методов не превышает
.2m
Таким образом наивысший порядок линейных неявных m-
шаговых методов равен
,2m
а явных методов равен
).12( m
Однако оказывается, что
методы наивысшего порядка аппроксимации практически не пригодны для расчетов, так
как они неустойчивы.
Рассмотрим наряду с разностным уравнением (2) однородное разностное уравнение
1,,0...
110
mmnvavava
mnmnn
(11)
будем искать решение уравнения (11) в виде
,
n
n
qv
где
q
подлежит определению
(число), получим
,0...
1
10
m
mm
aqaqa
(12)
(12)–характеристическое уравнение разностного метода (2). Говорят, что метод (2)
удовлетворяет условию корней, если все корни
m
qqq ,..,,
21
характеристического уравнения
(12) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости. Причем на
границе нет кратных корней. Разностный метод (2), удовлетворяющий условию корней,
называют устойчивым методом. Существует определенное ограничение на порядок
аппроксимации. Приведем без доказательства следующее утверждение:
Теорема. Пусть разностный метод (2) удовлетворяет условию корней и
,0,),( TtLutf
n
тогда, если
mnTntm
n
,
и при всех достаточно малых
выполнена оценка
)max)(max()(
010
k
mnk
jj
mj
nn
tuyMtuy
(13)
где
k
– погрешность аппроксимации
constMmjtuy
nj
,10),(
, зависящая
L
от и
и
T
не зависит от
.n
Из оценки (13) следует, что, если начальные
погрешности
10),( mjtuy
nj
и погрешность аппроксимации
mnk
k
,0,
являются величинами порядка
),(
p
o
то и величина
)(
nj
tuy
также имеет порядок
аппроксимации
).(
p
o
Т.е. разностный метод (2) сходится и имеет p-ый порядок
аппроксимации. Т.е. исследование сходимости метода (2) сводится к анализу погрешности
аппроксимации и проверки условия корней. Отметим, что методы Адамса
),(
0
1
knkn
m
k
k
nn
ytfb
yy
всегда удовлетворяют условию корней, так как для них
.1,1,1
110
qaa
Рассмотрим примеры многошаговых разностных методов. Наивысший порядок
аппроксимации явных
m
шаговых методов Адамса равен m. Согласно системе (9)
условия
m
того порядка аппроксимации имеют вид:
0),,(...),(),(
01110
1
bytfbytfbytfb
yy
mnmnmnnnn
nn
(15)
равен
.m
Согласно системе (9) условия
m
го порядка аппроксимации имеют вид:
4
.,..,2,1,
1
1
1
ml
l
bk
m
k
k
l
(14)
Решая систему (14) можно найти коэффициент
k
b
для разностного метода (15) при
каждом конкретном значении
.m
При
,1m
получим метод Эйлера
,
1
1
n
nn
f
yy
при
,2m
получим метод 2-го порядка аппроксимации
21
1
2
1
3
2
nn
nn
ff
yy
и т.д.
Для неявных
m
шаговых методов Адамса
0),,(...),(),(
01110
1
bytfbytfbytfb
yy
mnmnmnnnn
nn
(16)
Наивысший порядок аппроксимации равен
,1m
коэффициенты метода (16) находятся из
системы (10), когда
.1 mp
При
,1m
получим метод 2-го порядка аппроксимации
),(
2
1
1
1
nn
nn
ff
yy
который
называется методом трапеции.
При
,2m
получим метод 3-го порядка аппроксимации
).85(
12
1
21
1
nnn
nn
fff
yy
Выписанные методы содержат искомое значение
n
y
нелинейно, поэтому для их
реализации необходимо применять итерационные методы.
Лекция 17.
Рассмотрим явный метод Эйлера
),(
1
nn
nn
ytf
yy
U
dt
dU
этот метод принимает вид
nn
yy )1(
1
Условие устойчивости
1)1(
для комплексного
10
i
означает, что
1)1(
1
2
0
и тем самым область устойчивости данного метода представляет собой
круг единичного радиус с центром в точке (-1;0).
Для неявного метода Эйлера
),(
11
1
nn
nn
ytf
yy
областью устойчивости является внешность круга единичного радиуса с центром в точке
(1;0)
Разностный метод называется А-устойчивым, если область его устойчивости содержит
левую полуплоскость комплексной плоскости
0Re
.
Отметим, что уравнение
U
dt
dU
асимптотически устойчиво при выполнении условия
0Re
следовательно сущность
приведённого определения состоит в том, что А-утойчивый разностный метод является
абсолютно устойчивым, при любых шагах
0
- устойчивый, если устойчиво решение
исходного дифференциального уравнения. Отметим, что явный метод Эйлера не является
А-устойчивым, а неявный метод Эйлера является А-устойчивым.
5
Рассмотрим одношаговый явный метод второго порядка точности:
)),(),((5,0
11
1
nnnn
nn
ytfytf
yy
(19)
Для уравнения
U
dt
dU
метод (19) принимает вид
nn
qyy
1
где
5,01
5,01
q
, следовательно
1|| q
, тогда и только тогда, когда
0Re
,
следовательно метод (19) является А-устойчивым.
При решении жёстких систем для обыкновенных дифференциальных уравнений было бы
желательно пользоваться именно А-устойчивыми методами, так как условия их
устойчивости не накладывают ограничений на шаг
, оказывается, однако, класс А-
устойчивых методов является весьма узким. В частности среди методов (2) не существует
явных А-устойчивых методов. Для доказательства этого факта запишем
характеристическое уравнение
m
k
kmkk
yba
0
0)(
m
mm
m
mm
bqbqb
aqaqa
...
...
1
10
1
10
(20)
Если метод (2) явный m-шаговый метод, то
0
0
b
,
0
0
a
. Кроме
0
b
могут оказаться
равными нулю и другие коэффициенты
k
b
, но не все, так как по условию
1...
10
m
bbb
Пусть
1210
...
j
bbbb
,
0
j
b
,
mj
, тогда из (20) получаем
m
jm
j
m
mm
bqb
aqaqa
...
...
1
10
, следовательно при больших значениях q функция
)(q
ведёт
себя, как
j
j
q
b
a
0
,
1j
, следовательно для любого достаточно большого по модулю числа
, в том числе и для
, лежащих в левой полуплоскости, существует корень
характеристического уравнения (20), такой что
1|| q
. Доказано так же, что среди
неявных многошаговых разностных методов нет А-устойчивых методов, имеющих
порядок точности выше второго.
Примером А-устойчивоого метода второго порядка точности является симметрическая
схема (19).
В связи с этим было введено ещё несколько определений устойчивости, которые являются
менее ограниченными, чем определения устойчивости.
Разностный метод называется
)(
А
-устойчивым, если область его устойчивости содержит
угол
|)arg(|
,
. В частности определение
)(
2
А
-устойчивости совпадает с А-
устойчивостью.
Доказано, что ни для какого
не существует явного
)(
А
-устойчивого линейного
многошагового метода, но построены
)(
А
-устойчивые неявные методы третьего и
четвёртого порядка точности. К ним в частности относятся чисто неявные многошаговые
разностные методы, у которых правая часть
);( utf
вычисляется только при
n
tt
, а
производная
)(tu
аппроксимируется в точке
n
t
по значениям функции в нескольких
предыдущих точках, например:
6
);(
12
316364825
4321
mm
nnnnn
ytf
yyyyy
(21)
Разностная схема (21) имеет четвёртый порядок точности и является
)(
А
-устойчивой
при некотором
0
.
В настоящее время при интегрировании жёстких систем уравнений широко используется
метод Гира, в основу которого положены чисто неявные многошаговые разностные
методы высокого порядка точности.
Разностный метод
m
k
nnknk
ytfya
0
);(
(22)
называется чисто неявным, он является частным случаем многошагового разностного
метода (2), когда
0...
21
m
bbb
,
1
0
b
. Для отыскания
n
y
из (22) получаем систему
нелинейных уравнений
m
k
knknnn
yaytfya
1
0
);(
(23)
которая решается тем или иным итерационным методом, в частности методом Ньютона.
Условие p-того порядка аппроксимируем в случае метода (22) принимает вид
m
k
k
aa
1
0
,
m
k
k
ka
1
1
,
m
k
k
l
ak
1
0
,
pl ,...3,2
(24)
Из условий (24) следует, что наивысший достижимый предел аппроксимации чисто
неявного m-шагового разностного метода равен m. Упомянутый метод Гира использует
чисто неявные схемы наивысшего порядка аппроксимации.
Система уравнений (24) для определения коэффициентов
m
aaa ,...,,
21
метода наивысшего
порядка имеет вид
0...2
0...2
1...2
21
2
2
2
1
21
m
mm
m
m
amaa
amaa
maaa
(25)
Эта система однозначно разрешима, так как её определитель отличен от нуля.
Рассмотрим частные случаи метода (22).
При
1m
метод (22) при выполнении условия (25) совпадает с неявным методом Эйлера.
При
2m
получаем метод:
);(2
2
2
1
1
2
3
nnnnn
ytfyyy
(26)
При
3m
получаем метод:
);(3
3
3
1
2
2
3
1
6
11
nnnnnn
ytfyyyy
(27)
которые имеют соответственно второй и третий порядок точности.
При
4m
из (23) и (25) получаем разностную схему (21).
Для практических расчётов используется аналогичные методы, вплоть до десятого
порядка точности. Важно отличить чисто неявные разностные методы, обладающие
хорошими свойствами устойчивости. Для модельного уравнения
U
dt
dU
метод (26) принимает вид:
nnnn
yyyy
2
2
1
1
2
3
2
,
(28)
Этому методу соответствует характеристическое уравнение:
02)(
2
1
2
2
3
qq
(29)
7
Нужно найти множество точек G комплексной плоскости
10
i
для которых оба
корня
)(
2,1
q
уравнения (29) не превосходят единицы по модулю. Границей области
является множество таких точек, для которых
1|| q
.
Выразим параметр
из (29) через q, получим
2
2
1
1
2
3
2
qq
(30)
Следовательно, если
1|| q
, тоесть
i
eq
, то
2
2
1
2
3
2
ii
qe
(31)
При изменении аргумента
0
точка
описывает замкнутую кпивую Г,
симметрично относительно действительной оси. Для точки
)(q
расположенной снаружи
от кривой Г выполняется условие
1|| q
, поэтому область устойчивости G метода (28)
представляет собой внешность кривой Г, точки, расположенные внутри Г составляют
область неустойчивости.
Обозначим
)cos(
x
, тогда (31) можно переписать в виде:
)2(1)1(
22
xxix
Вся кривая Г расположена в правой полуплоскости, следовательно область устойчивости
метода (26) целиком содержит левую полуплоскость, и тем самым метод (26) является А-
устойчивым.
Аналогично можно исследовать на устойчивость методы третьего, четвёртого порядка
точности.
Глава 4. Численные решения Дифференциальных Уравнений в частных
производных.
Параграф 1. Разностные схемы, основные понятия.
Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкие приложения в
гидродинамике, акустике, электронике, и других областях. В большинстве своём такие
уравнения в явном виде не решаются, следовательно распространение получили методы
приближённых решений, в частности метод сеток.
В построении различных методов сеток в случае уравнений в частных производных
зависит и от типа уравнений, и от вида граничных условий, присоединяемых к
уравнениям.
Сделаем несколько замечаний в классификации линейных диффиринциальных уравнений
второго порядка:
8
Пусть D-некоторая область изменения независимых переменных
Dyx );(
c границей Г.
Говорят, что в области D задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка
для функции
);( yxu
если для лбой точки из области D имеет место соотношение
);();();(
);(
);(2
);(
);(2
);(
);(
);(
2
);(
);(
2
22
2
2
yxfyxuyxg
y
yxu
yxe
x
yxu
yxd
y
yxu
yxc
yx
yxu
b
x
yxu
yxaLu
(1)
здесь
);( yxa
,
);( yxb
,
);( yxc
,
);( yxd
,
);( yxe
,
);( yxg
- коэффициенты уравнения
);( yxf
- свободный член уравнения
Эти функции считаются известными и их обычно считают определёнными в замкнутой
области
ГDD
.
Обозначим
);();();();(
2
yxcyxayxbyx
1) Уравнение
fLu
называется эллиптическим, если
0);( yx
,
Dyx );(
2) Уравнение
fLu
называется параболическим, если
0);( yx
,
Dyx );(
3) Уравнение
fLu
называется гиперболическим, если
0);( yx
,
Dyx );(
Будем рассматривать частные случаи уравнения (1)
А. Уравнение эллиптического типа (уравнение Пуассона)
);(
2
2
2
2
yxf
y
u
x
u
u
(2)
B. Уравнение параболического типа (уравнение теплопроводности)
);(
2
2
yxf
x
u
t
u
,
0t
,
lx 0
(3)
C. Уравнение гиперболического типа (уравнение колебания струны)
);(
2
2
2
2
yxf
x
u
t
u
,
0t
,
lx 0
(4)
Граничные и начальные условия для уравнения (2):
)
)(|
1
Mu
Г
,
ГM
- условие Дирихле (2.1)
)
)(|
2
M
n
u
Г
,
ГM
- условие Неймана (2.2)
)
)(|));();((
3
M
n
u
yxuyx
Г
,
ГM
- условие третьего рода (2.3)
Задача
1
А
: (2), (2.1) – первая краевая задача
2
А
: (2), (2.2) – вторая краевая задача
3
А
: (2), (2.3) – третья краевая задача
Начальные условия для уравнения (3):
)(|);(
00
xutxu
t
,
lx 0
(3.1)
Задача
1
B
: (3), (3.1) – задача Коши для уравнения теплопроводности.
2
B
: (3), (3.1), (2.1) – первая смешанная краевая задача для уравнения
теплопроводности.
3
B
: (3), (3.1), (2.2) – вторая смешанная краевая задача для уравнения
теплопроводности.
9
4
B
: (3), (3.1), (2.3) – третья смешанная краевая задача для уравнения
теплопроводности.
Начальные условия для уравнения (4):
)(|);(
00
xvtxu
t
)(|
);(
1
0
xv
t
txu
t
(4.1)
lx 0
Задача
1
C
: (4), (4.1) – задача Коши для уравнения колебания струны
2
C
: (4), (4.1), (2.1) – первая смешанная краевая задача для уравнение колебания
струны
3
C
: (4), (4.1), (2.2) – вторая смешанная краевая задача для уравнение колебания
струны
4
C
: (4), (4.1), (2.3) – третья смешанная краевая задача для уравнение колебания
струны
Лекция 18.
Рассмотрим равномерную сетку на оси независимой переменной
x
с шагом
h
, тоесть
множество точек
,...}2,1,0,{ iihxw
ih
точки
i
x
- узлы сетки,
h
w
- сетка.
Пусть
)(xu
- достаточно гладкая функция, заданная на отрезке
],[
11 ii
xx
.
Рассмотрим задачу о приближении произвольных функций
)(xu
.
Обозначим:
ii
uxu )(
,
h
uu
u
ii
ix
1
,
h
uu
u
ii
ix
1
,
,
h
uu
u
ii
ix
2
11
,
0
- разностные отношения
ix
u
,
,
ix
u
,
,
ix
u
,
0
называются
соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции
)(xu
в
точке
i
x
.
Каждое из этих разностных отношений аппроксимирует
)(
0
xu
в точке
i
x
, тоесть при
фиксированном
i
x
при
0h
пределом этих отношений является
)(
i
xu
.
Проводя разложение по формуле Тейлора в окрестности точки
i
x
получим соотношения
)()(5,0)(
2
,
hoxuhxuu
iiix
)()(5,0)(
2
,
hoxuhxuu
iiix
)()(
2
,
0
hoxuu
i
ix
Отсюда видно, что левая и правая и правая разностные производные аппроксимируют
)(xu
с первым порядком малости, а центральная разностная производная со вторым.
Отметим, что вторая разностная производная
2
11
,,
,
2
h
uuu
h
uu
u
iii
ixix
ixx
аппроксимирует
)(xu
со вторым порядком малости, причём справедливо равенство:
)()()(
4)4(
12
,
2
hoxuxuu
i
h
iixx
.
10
Рассмотрим дифференциальное выражение
))((
dx
du
xk
x
Lu
(5)
)(xk
- некоторая достаточно гладкая функция.
Заменим выражение (5) разностными отношениями
)()()(
,,
1
11
1
1
, ixiixi
h
ii
i
ii
i
h
ixxh
uaua
h
uu
a
h
uu
aauuL
(6)
)(xaa
- функция, определённая на сетке
h
w
.
Найдём условия, которыми должна удовлетворять функция
)(xaa
, чтобы разностное
отношение
ixx
au
,
)(
аппроксимировало выражение
))((
uxk
в точке
i
x
со вторым
порядком малости. Подставим в (6) разложения
)()(5,0)(
2
,
hoxuhxuu
iiix
)()(5,0)(
2
,
hoxuhxuu
iiix
Тогда получим
)()(
6
)(
)(
2
)()(
2
111
,,1
1
hoxu
aa
hxu
aa
xu
h
aa
uauauL
i
ii
i
ii
i
ii
ixiixi
h
h
ukukukLu
)(
Рассмотрим разность
)()(
6
)())(
2
()())((
2
111
hoxu
aa
hxuxk
aa
xuxk
h
aa
LuuL
i
ii
ii
ii
ii
ii
h
Отсюд
а
)(
2
hoLuuL
h
, если выполняются условия:
)()(
2
1
hoxk
h
aa
i
ii
)()(
2
2
1
hoxk
aa
i
ii
(7)
Величина
ii
aa
1
имеет первый порядок малости, следовательно, выражение имеет
второй порядок малости.
Условие (7) называется достаточным условием второго порядка аппроксимации. При их
выводе предполагалось, что
)(xu
имеет непрерывную четвёртую производную, а
)(xk
-
дифференцируемая функция.
Отметим, что условиям (7) удовлетворяют следующие функции:
))()((
1
2
1
iii
xkxka
или
)5,0( hxka
ii
или
1
iii
aaa
Отметим, что если положить
)(
ii
xka
, то получим только первый порядок
аппроксимации по
h
.
В качестве следующего примера возьмём дифференциальный оператор Лапласа:
2
2
2
2
1
2
x
u
x
u
Lu
(8)
Чтобы аппроксимировать дифференциальный оператор нужно ввести сетку. В качестве
области, где рассматривается оператор рассмотрим область:
}0,0),;{(
2121
xxxxG
1) Прямоугольная сетка с шагом
1
h
по направлению
1
u
и с шагом
2
h
по направлению
2
u
,...}2,1,0,{
11
1
iihxw
i
h
,...}2,1,0,{
22
2
jjhxw
j
h
11
Сетка
2121
hhhhh
wwwG
имеет вид:
Узлы сетки – точки пересечения.
i
xx
11
j
xx
22
2) Треугольная сетка. В этом случае узлы сетки образуются в результате пересечения трёх
групп прямых:
Узлы сетки – точки пересечения.
jhx
4
3
2
jhxx
4
3
12
3
jhxx
4
3
12
3
21
hh
,
ji
3) Шестиугольная сетка. Пересекаются те же прямые, но точки образуют шестиугольники,
тоеть выбираются вершины шестиугольника.
4) Криволинейная сетка.
Узлы сетки - точки пересечения парабол.
5) Радиальная сетка
12
Узлы сетки – точки пересечения лучей и концентрических окружностей.
6) Сетка произвольной формы.
Узлы сетки – точки пересечения произвольных кривых.
Выбор сетки зависит от дифференциального уравнения, которое аппроксимируется и от
свойств, которые мы хотим получить для разностной задачи.
Рассмотрим прямоугольную сетку и обозначим:
2
1
,1,1
2
11
h
uuu
u
jiijji
ijxx
2
2
1,1,
2
22
h
uuu
u
jiijji
ijxx
Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение
ijxxijxxijh
uuuL
2211
аппроксимирует дифференциальный оператор Лапласа со вторым порядком по
1
h
и
2
h
,
тоесть
)()(),(
2
2
2
121
hohoxxLuuL
ji
ijh
(9)
Разностное выражение (9) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа, так
как оно содержит значение функции
),(
21
xxu
в пяти точках:
);(
21
ji
xx
,
);(
2
1
1
ji
xx
,
);(
1
21
ji
xx
Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. В дальнейшем
рассмотрим различные шаблоны.
Параграф 2. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом.
Задачи математической физики формулируются в виде основного диффернциального
уравнения и аополнительных начальных и граничных условий, которые обеспечивают
существование решения.
Под разностной схемой понимают совокупность разностных уравнений,
аппроксимирующих основное уравнение и дополнительные условия исходной
дифференциальной задачи.
Существуют различные способы построения разностных схем, в частности метод
основанный на замене дифференциальных производных разностными.
Метод неопределённых коэффициентов, который используется когда мы хотим построить
разностную схему, обладающую наперёд заданными свойствами.
Рассмотрим интегро-интерполяционный метод или меьтод баланса.
Рассмотрим следующую краевую задачудля обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка:
0)()()())()((
xfxuxqxuxk
,
lx 0
(1)
1
)0()0()0(
uuk
(2)
2
)(
lu
(3)
Здесь
)(xk
,
)(xq
и
)(xf
- заданные, достаточно гладкие функции, удовлетворяющие
13
0)( kxk
,
0)( xq
,
0
,
1
,
2
- константы.
При сформулированных требованиях существует единственное решение задачи (1)-(3).
Будем считать, что это решение является достаточно гладкой функцией.
Уравнение (1) можно трактовать, как уравнение установившегося распределения
температур
)(xu
в стержне, длины
l
, на одном конце которого при
lx
поддерживается
заданная температура
2
, а на другом
0x
происходит теплообмен с окружающей
средой по закону Ньютона.
)(xk
- коэффициент теплопроводности,
)()( xuxk
- тепловой
поток,
)(xq
,
)(xf
- характеризуют плотность тепловых источников. Ля построения
разностной схемы введём на отрезке
];0[ l
равномерную сетку с шагом
h
, тоесть
};,...,0;{ lNhNiihxw
ih
Обозначим
hxx
i
i
5,0
2
1
;
)()()( xuxkxw
;
)(
2
1
2
1
ii
xww
.
Построим уравнение (1) на отрезке
];[
2
1
2
1
ii
xx
, получаем:
0)()()(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
i
i
i
i
x
x
x
x
ii
dxxfdxxuxqww
(4)
Уравнение (4) представляет собой уравнение баланса тепла на отрезке
];[
2
1
2
1
ii
xx
Заменим интеграл
2
1
2
1
2
1
2
1
)()()(
i
i
i
i
x
x
i
x
x
dxxqudxxuxq
в результате из (4) получаем
0
2
1
2
1
iii
ii
ud
h
ww
(5)
Выразим функцию
2
1
i
w
через функцию
)(xu
в узлах сетки, для этого проинтегрируем
соотношение
)(
)(
)(
xk
xw
xu
на отрезке
];[
1 ii
xx
, тогда получаем
i
i
i
i
x
x
i
x
x
ii
dx
xk
wdxxkxwuu
1
2
1
1
)(
1
)()(
1
Обозначим
1
)
)(
11
(
1
i
i
x
x
i
dx
xkh
a
, тогда получим:
ixi
ii
i
i
ua
h
uu
aw
,
1
2
1
ixi
i
uaw
,1
2
1
Подставляя эти выражения в (5) получаем разностное уравнение содержащее значение
исходной функции в точках
i
x
:
0
,,1
iii
ixiixi
ud
h
uaua
или
0)(
,
iiiixx
udau
(7)
Это уравнение по своему построению является разностным аналогом основного
дифференциального уравнения (1), записывая уравнение (7) во всех точках сетки, где оно
14
определено тоесть
1,...,2,1 Ni
, получим систему из
1N
уравнения относительно
1N
неизвестного
N
uuu ,...,,
10
. Два недостающих уравнения получаются из
аппроксимации граничных условий (2) и (3). Аппроксимируя (3) получаем
2
N
U
,
а второе может быть получено интегро-интерполяционным методом.
Лекция 19.
Для этого проинтегрируем уравнение (1) на отрезке
];0[
2
1
x
, где
hx 5,0
2
1
. Получим
2
1
2
1
2
1
00
0
0)()()(
xx
dxxfdxxuxqww
(8)
Воспользуемся тем, что мы получили
ixi
i
uaw
,
0
2
1
, значит
0,11,1
2
1
xx
uauaw
Выражение для
0
w
найдём из граничного условия (2), а именно:
010
uw
Будем считать
2
1
2
1
0
0
0
)()()(
xx
dxxqudxxuxq
Подставляя это в (8) получаем разностное уравнение
2
1
2
1
0 0
0010,1
0)()(
x x
x
dxxfdxxquuua
(9)
Обозначим
2
1
0
0
)(
5,0
1
x
dxxq
h
d
2
1
0
0
)(
5,0
1
x
dxxf
h
, тогда
из уравнения (9) получим:
01000,1
5,0)5,0(
huhdua
x
Из полученной записи следует, что полученное разностное уравнение является
разностным аналогом граничного условия
1
)0()0()0(
uuk
В дальнейшем решение разностной задачи в отличии от решения дифференциальной
задачи будем обозначать через
y
, тоесть
)(
ii
xyy
,
hi
wx
Тогда для аппроксимации дифференциальной задачи (1)(2) мы получили разностную
задачу:
0)(
,
iiiixx
yday
,
1,...,2,1 Ni
01000,1
5,0)5,0(
hyhdya
x
(10)
2
N
y
При анализе разностной схемы (10) так же как и при анализе других разностных схем,
которые будем рассматривать, возникли вопросы:
15
1) Существует ли решение систем алгебраических уравнений (10) и если существует, то
единственно ли.
2) Каким методом можно находить это решение.
3) Какое отношение имеет система разностных уравнений (10) к исходной задаче (1)(2).
Иначе говоря, переходят ли разностные уравнения (10) в задачу (1)-(3), если шаг
стремится к нулю. Или аппроксимирует ли задача (10) задачу (1)-(3).
4) Сходится ли решение
)(xy
разностной задачи (10) к решению
)(xy
дифференциальной
задачи (1)-(3) при шаге стремящемся к нулю.
5) Устойчиво ли полученное решение.
На эти вопросы отвечаем рассматривая конкретные разностные схемы.
Параграф 3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности.
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности.
В области
10 x
,
Tt 0
нужно найти решение дифференциального уравнения:
),(
2
2
txf
x
u
t
u
(1)
удовлетворяющее начальному условию
)()0,(
0
xuxu
,
10 x
(2)
и граничным условиям
)();0(
1
ttU
)();1(
2
ttU
(3)
Tt 0
Функции
);(),(),(),(
210
txfttxu
- считаются заданными.
Известно, что при определённых предположениях относительной гладкости функций
);(),(),(),(
210
txfttxu
решение задачи (1)-(3) – единственное.
В дальнейшем мы будем предполагать, что решение
);( txu
обладает необходимыми по
ходу изложения числом производных по
x
и по
t
.
Для построения разностной схемы нужно ввести сетку в области изменения независимых
переменных и задать шаблон, тоесть множество точек, участвующих в аппроксимации
дифференциального выражения.
Введём сетку по
x
с шагом
h
}1;,...,1,0:{ NhNiihxw
ih
и сетку по переменной
t
с шагом
};,...,1,0:{ TKKnntw
n
Точки с координатами
);(
ni
tx
;
Ni ,...,1,0
;
Kn ,...,1,0
образуют пространственно
временную сетку
www
hh
,
Узлы
),(
ni
tx
принадлежащие отрезкам
16
}0;10{
0
txI
}0;0{
1
TtxI
}0;1{
2
TtxI
, которые обозначили (x) назлвём граничными узлами сетки
,h
w
,
остальные узлы назовём внутренними. Слоем назовём множество всех узлов сетки
имеющих одну и ту же временную координату, так n-ным слоем назовём множество точек
),(),...,,(),,(
10 nNnn
txtxtx
Для функции
);( txy
, определённой в узлах сетки введём обозначения:
),(
ni
n
i
txyy
n
i
n
i
n
it
yy
y
1
,
1
,
n
i
n
i
n
it
yy
y
n
i
n
i
n
i
n
ixx
yyy
y
11
,,
2
Частично в дальнейшем индексы будем опускать и обозначать:
n
itt
yy
,
n
itt
yy
,
n
ixxxx
yy
,,,
Рассмотрим шаблоны, по некоторым будем строить разностные уравнения,
аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1)
1. Явная схема
(x
i
,t
n+1
)
(x
i-1
,t
n
) (x
i
,t
n
) (x
i+1
,t
n
)
2. Чисто неявная схема
(x
i-1
,t
n+1
) (x
i
,t
n+1
) (x
i+1
,t
n+1
)
(x
i
,t
n
)
3. Симметрическая схема
(x
i-1
,t
n+1
) (x
i
,t
n+1
) (x
i+1
,t
n+1
)
(x
i-1
,t
n
) (x
i
,t
n
) (x
i+1
,t
n
)
4. Трёхслойная схема
(x
i
,t
n+1
)
17
(x
i-1
,t
n
) (x
i
,t
n
) (x
i+1
,t
n
)
(x
i
,t
n-1
)
Рассмотри шаблон из четырёх точек:
Для построения разностной схемы используется шаблон
),(
1 ni
tx
,
),(
1 ni
tx
,
),(
ni
tx
,
),(
1ni
tx
t
u
в точке
),(
ni
tx
заменяем разностным отношением
n
it
y
,
2
2
t
u
в точке
),(
ni
tx
заменяем разностным отношением
n
ixx
y
,,
Правую часть
),( txf
заменяем приближённой функцией
n
i
, где в качестве
n
i
можно
взять одну из следующих функций
);(
ni
txf
:
2
1
2
1
);(
1
i
i
x
x
n
h
dxtxf
n
n
i
i
t
t
x
x
n
h
dtdxtxf
1
2
1
2
1
);(
1
В результате такой замены получим разностное уравнение
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
h
yyyyy
2
11
1
2
(4)
Уравнение (4) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1) в точке
),(
ni
tx
с первым
порядком по
и со вторым по
h
, если разность
);(
ni
n
i
txf
имеет такой же порядок
малости. Под разностной схемой понимается совокупность разностных схем
аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во внутренних точках и
дополнительные начальные и граничные условия в граничных узлах сетки.
Разностную схему будем называть разностной задачей.
В данном случае разностная задача имеет вид:
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
h
yyyyy
2
11
1
2
;
1,...,2,1 Ni
;
1,...,1,0 Kn
)(
10 n
n
ty
;
)(
2 n
n
N
ty
;
Kn ,...,1,0
(5)
)(
0
0
ii
xuy
;
Ni ,...,1,0
Разностная задача (5) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с
числом неизвестных равных количеству уравнений. Решения такой задачи нужно
нахордить по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями
)(
0
0
ii
xuy
;
Ni ,...,1,0
В постановке задачи начальные и граничные условия согласованы, тоесть
)()(
0001
0
0
xuty
)()(
002
0
NN
xuty
Если решение на n-ном слое известно
n
i
y
, то решение на
)1( n
слое находится по явной
формуле
18
)(
,,
1 n
i
n
ixx
n
i
n
i
yyy
;
1,...,2,1 Ni
(6)
значения
1
0
n
y
;
1n
N
y
доопределяются из граничных условий.
Исходя из формулы (6) получается разностная схема и называется чисто явной разностной
схемой.
Погрешность разностной задачи (5) определяется как разность
);(
ni
n
i
n
i
txuyz
между
решением задачи (5) и решением задачи (1)-(3) в точке
),(
ni
tx
.
Подставим
);(
ni
n
i
n
i
txuzy
в разностную систему (5). Для погрешности
n
i
z
получаем
разностную задачу:
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
h
zzzzz
2
11
1
2
;
1,...,2,1 Ni
;
1,...,1,0 Kn
0
0
n
N
n
zz
;
Kn ,...,1,0
0
0
i
z
;
Ni ,...,1,0
Здесь
n
i
n
ixx
n
it
n
i
uu
,,,
n
i
- погрешность аппроксимации разностной задачи (5) на решение задачи (1)-(3)
)(
2
ho
n
i
- порядок малости: первый по
; второй по
h
.
Покажем, что явную разностную схему можно применять в случае если
2
5,0 h
, тоесть
шаг по времени оказывается достаточно малым.
Часто используют метод гармоник. Он заключается в том, что рассматривается
однородное разностное уравнение, соответствующее уравнению (5)
2
11
1
2
h
yyyyy
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
(8)
При этом решение разностного уравнения (8) ищется в виде
ijhnn
j
eqy )(
(9)
Здесь
1i
- мнимая единица.
- произвольное любое действительное число
q
- число подлежащее определению
Подставляя (9) в (10) и сокращая на
i jhn
eq
, получим
2
21
h
eeq
ihih
откуда получаем
)
2
(sin41
2
h
q
, где
2
h
(10)
Обозначим через начальное условие
ijh
j
ey )(
0
Эти условия называются гармоники – ограничены. Если для некоторого числа
множитель
|| q
станет больше единицы, то решения вида (10) будут неограниченно
возрастать при
n
, то в этом случае разностное уравнение (9) называется
неустойчивым, так как нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных
условий.
Если
1|| q
для всех
R
, то все решения вида (9) будут ограниченны и в этом случае
разностное уравнение (8) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти
решение задачи (5) по формулам (6) почти невозможно, так как погрешность округления
19
внесённых в начальный момент времени будут неограниченно возрастать при
неограниченном возрастании
n
. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.
Лекция 20.
Определение Разностные схемы устойчивые лишь при некоторых ограничениях на
отношение шагов по пространству и времени называются условно устойчивыми.
Разностные схемы, устойчивые при любых шагах
h
и
называются абсолютно
устойчивыми.
Таковые – чисто неявные разностные схемы.
Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности или схемой с
опережением называется разностная схема, использующая шаблон 2, тоесть точки
),(
ni
tx
,
),(
11 ni
tx
,
),(
1ni
tx
,
),(
11 ni
tx
и имеющее вид:
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
h
yyyyy
2
1
1
11
1
1
2
(11)
)(
11
1
0
n
n
ty
;
)(
12
1
n
n
N
ty
;
1,...,1,0 Kn
Это разностное уравнение аппроксимирует дифференциальное уравнение и условие
)(
0
0
ii
xuy
;
Ni ,...,1,0
Здесь
)(),(
2
1
hotxf
ni
n
i
Схема имеет первый порядок аппроксимации по
и второй порядок аппроксимации по
h
Решение разностной задачи (11) находится по слоям, начиная с номера
1n
, однако, в
отличие от явной схемы, где мы решение на слое
1n
явным образом выражается через
решение на слое
n
, при решении разностной задачи (11) на каждом слое требуется решать
систему уравнений
n
i
n
i
n
i
n
i
Fyy
1
1
11
1
)21(
;
1,...,0 Kn
;
2
h
(12)
n
i
n
i
n
i
yF
)(
11
1
0
n
n
ty
)(
12
1
n
n
N
ty
На каждом слое решаем систему уравнений для определения значения функции в узлах
сетки. На методах решения задачи (12) остановимся далее.
Для исследования разностной схемы (11) будем искать частные решения однородного
уравнения
2
1
1
11
1
1
2
h
yyyyy
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
имеющее вид:
ijhnn
j
eqy
i
- мнимая единица.
Для определения
q
получим равенство
12
))
2
(sin41(
h
q
, где
2
h
(13)
Из (13) следует, что
1|| q
для
h,,
Таким образом схема (11) абсолютно устойчивая. Абсолютная устойчивость является
основным преимуществом неявных схем. В этих схемах величины шагов
и
h
определяются необходимой точностью расчёта, а не условиями устойчивости.
20
Шеститочечной разностной схемой называется разностная схема
n
i
n
ixx
n
ixx
n
i
n
i
yy
yy
)(
,,
1
,,
2
1
1
;
1,...,1,0 Ni
;
1,...,1,0 Kn
начальные и граничные условия
)(
11
1
0
n
n
ty
;
)(
12
1
n
n
N
ty
;
1,...,1,0 Kn
(14)
)(
0
0
ii
xuy
;
Ni ,...,1,0
Эта схема использует шеститочечный шаблон 3, она имеет второй порядок
аппроксимации как по
так и по
h
, если
)()5,0;(
2
hotxf
ni
n
i
.
Она также является абсолютно устойчивой.
Обобщением рассмотренных выше трёх разностных схем является разностная схема с
весами.
n
i
n
ixx
n
ixx
n
i
n
i
yy
yy
,,
1
,,
1
)1(
;
1,...,1,0 Ni
;
1,...,1,0 Kn
)(
11
1
0
n
n
ty
;
)(
12
1
n
n
N
ty
;
1,...,1,0 Kn
(15)
)(
0
0
ii
xuy
;
Ni ,...,1,0
При
0
из (15) получаем явную разностную схему.
При
1
из (15) получаем чисто неявную разностную схему.
При
5,0
из (15) получаем симметрическую разностную схему.
Исследуем погрешность аппроксимации разностной схемы (15) на решении исходной
задачи. Представим решение задачи (15) в виде
n
ini
n
i
ztxuy ),(
, где
),(
ni
txu
- точное решение задачи (1)-(3)
n
i
z
- погрешность аппроксимации
Подставив данное выражение в (15) для определения погрешности получим разностную
задачу
n
i
n
ixx
n
ixx
n
i
n
i
zz
zz
,,
1
,,
1
)1(
;
1,...,1,0 Ni
;
1,...,1,0 Kn
0
1
0
n
z
;
0
1
n
N
z
;
1,...,1,0 Kn
(16)
0
0
i
z
;
Ni ,...,1,0
Сеточная функция
n
i
, входящая в правую часть (16) и равная
n
i
n
it
n
ixx
n
ixx
n
i
uuu
,,,
1
,,
)1(
(17)
называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (15) на решении
дифференциальной задачи (1)-(3)
Если разложить все функции, входящие
n
i
в ряд Тейлора в окрестности точки
)5,0;(
ni
tx
, то можно сделать вывод:
Если
12
2
2
1
h
21
)();(
12
);(
42
2
2
1
2
1
hotxf
h
txf
n
i
n
i
n
i
,
то разностная схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по
и четвёртый порядок
аппроксимации по
h
.
Такие схемы называются схемами повышенного порядка аппроксимации.
Если
5,0
и
)();(
22
2
1
hotxf
n
i
n
i
, то схема имеет второй порядок аппроксимации
по
и по
h
.
При остальных значениях
и
)();(
2
2
1
hotxf
n
i
n
i
схема имеет первый порядок
аппроксимации по
и второй порядок аппроксимации по
h
.
Отметим, что если
5,0
, то все разностные схемы будут абсолютно устойчивыми.
Параграф 4. Трёхслойные разностные схемы.
Рассмотри первую краевую задачу для уравнения колебания струны
2
2
2
2
x
u
u
u
10 x
(1)
Tt 0
Начальные условия
)();0(
1
ttu
)();1(
2
ttu
(2)
Tt 0
Граничные условия
)()0;(
0
xuxu
)(
)0;(
0
xu
t
xu
(3)
10 x
Предполагаем, что функции
1
,
2
,
0
u
,
0
u
согласованны, тоесть в узлах сетки они
принимают одинаковые значения.
Известно, что решение задачи (1)-(3) существует и единственно и непрерывно, а так же
зависит от начальных и конечных условий.
Рассмотрим сетку
hh
www
,
, где
}1;,...,1,0:{ NhNiihxw
ih
};,...,1,0:{ TKKnntw
n
Очевидно, что наилучшим шаблоном, на котором может быть аппроксимированна
дифференциальное уравнение (1)-(3)является трёхслойный шаблон
(x
i
,t
n+1
)
(x
i-1
,t
n
) (x
i
,t
n
) (x
i+1
,t
n
)
(x
i
,t
n-1
)
В этом шаблоне используются три вершинных слоя, такие схемы называются
трёхслойными. Их использование предполагает, что для нахождения решения на
1n
слое значение на двух предыдущих слоях
1n
i
y
,
n
i
y
,
1n
i
y
;
Ni ,...,1,0
известны.
22
Очевидно, что простейшей разностной схемой аппроксимирующей дифференциальное
уравнение (1) и начальное условие (2) является следующая система уравнений:
2
11
11
2
h
yyyyyy
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
;
1,...,1,0 Ni
;
1,...,1,0 Kn
(4)
)(
11
1
0
n
n
ty
;
)(
12
1
n
n
N
ty
;
1,...,1,0 Kn
(5)
Разностное уравнение (4) имеет второй порядок аппроксимации по
и по
h
.
Решение на
1n
слое выражается явным образом
)2(2
11
11 n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
yyyyyy
2
2
h
(6)
1,...,1,0 Ni
;
1,...,1,0 Kn
Для начала счёта по формуле (6) должны быть заданы
0
i
y
и
1
i
y
;
Ni ,...,1,0
. Из первого
начального условия (3) найдём
)(
0
0
ii
xuy
;
Ni ,...,1,0
(7)
Простейшая замена второго начального условия (3) уравнения
)(
0
01
i
ii
xu
yy
;
Ni ,...,1,0
имеет первый порядок аппроксимации по
. Поскольку основное дифференциальное
уравнение имеет второй порядок аппроксимации по
и по
h
, желательно чтобы и
разностное уравнение аппроксимирующее второе начальное условие имело так же второй
порядок аппроксимации по
.Воспользуемся разложением в ряд Тейлора:
)(
)0;()0;()0;();(
2
2
2
2
o
t
xu
t
xuxuxu
Воспользуемся тем , что всилу основного дифференциального уравнения
)(
)0;()0;(
0
2
2
2
2
xu
x
xu
t
xu
, таким образом
)()(
)0;();()0;(
2
0
2
oxu
xuxu
t
xu
Поэтому разностное уравнение
)()(
0
2
0
01
xuxu
yy
i
ii
(8)
аппроксимирует второе начальное условие в (3) со вторым порядком аппроксимации по
и по
h
. Совокупность уравнений (4)(5)(7)(8) составляет разностную схему
аппроксимирующую исходную задачу (1)-(3).
Для исследования устойчивости будем искать решение однородного разностного
уравнения (4) в виде
ijhnn
j
eqy
, где
i
- мнимая единица (9)
Подставляя (9) в (4) и сокращая на
i jhn
eq
для определения
q
получаем квадратное
уравнение
01))
2
(sin21(2
22
q
h
q
;
2
2
h
(10)
Как говорилось разностная схема является устойчивой, если оба корня уравнения (10) по
модулю меньше единицы. Если
1
q
и
2
q
- действительные корни, то так как
1
21
qq
, то
всегда существует угол
, для которого один из корней по модулю меньше единицы, а
второй больше единицы. Если эти корни комплексно-сопряжённые, то
1||||
21
qq
.
23
Таким образом разностная схема устойчива, если при всех действительных
выполняется соотношение:
1))
2
(sin21(
22
h
, тоесть
1)
2
(sin
2
h
Последнее неравенство верно при любых
, если
h
Параграф 5. Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация,
сходимость, устойчивость.
Пусть дана исходная дифференциальная задача в виде
)()( xfxLu
(1)
где
Gx
- область
m
-мерно пространства.
)(xf
- заданная функция
L
- линейный дифференциальный оператор
Здесь дополнительные условия: начальные и граничные включены в оператор
L
и в
f
.
Для построения разностных схем вводится сетка
h
G
.
Конечное множество точек, принадлежащих
G
, плотность распределения которых
характеризуется параметром
h
- шагом сетки. В общем случае
h
- вектор, причём
определена
|| h
- длина вектора
h
. Обычно сетка
h
G
выбирается таким образом, что бы
при
0|| h
множество
h
G
стремится заполнить область
G
.
Функция, определённая в точках сетки
h
G
, называется сеточной функцией.
Пример Пусть
];[ baG
, введём произвольную неравномерную сетку
h
G
, тоесть
}...];;[{
210
bxxxxabaxG
Nih
Обозначим
1
iii
xxh
;
Ni ,...,1,0
Тогда
T
N
hhh ),...,(
1
и
NiT
i
hh
max||
или
2
1
)(||
1
2
N
i
i
hh
После введения сетки
h
G
заменим дифференциальное уравнение (1) разностным
уравнением, а именно, оператор
L
меняется разностным оператором
h
L
, а
)(xf
сеточной функцией
)(xf
h
, таким образом получаем систему разностных уравнений:
)()( xxyL
hhh
;
h
Gx
(2)
Система (2) называется разностной схемой или разностной задачей. В отличие от решения
дифференциального уравнения решение разностной задачи обозначается через
y
.
Отметим, что свойство аппроксимации означает близость разностного оператора к
дифференциальному оператору, отсюда ещё не следует вообще говоря близость решения
дифференциального уравнения к решению разностного уравнения.
Свойство устойчивости разностной схемы является её внутренним свойством, не
зависящим от того аппроксимирует ли эта схема какое-то дифференциальное уравнение.
Однако, оказывается, что если разностная схема аппроксимирует корректную
дифференциальную задачу и устойчива, то её решение сходится, когда длина
0|| h
, к
решению исходной дифференциальной задачи.
Лекция 21.
24
Будем считать, что решение задачи (1) принадлежит линейному нормированному
пространству
0
B
, с
0
.
.
Например, если
],[
0
baCB
, то
)(
],[
max)(
0
xU
bax
xU
.
Cчитаем, что
hh
Bxy )(
- линейному пространству с введенной нормой.
Функции
)(x
h
являются элементами пространства
h
B
, а функция f(x) элементом
пространства
0
B
.
Мы имеем семейство линейных нормированных пространств, зависящих от параметра h.
Чтобы иметь возможность сравнивать функции из различных пространств введем
оператор
hh
BBP
0
:
. Это по определению линейный оператор, сопоставляющий каждой
функции из
0
B
некоторую функцию из
h
B
.
Для функции
0
BU
через
h
U
обозначим ее проекцию в пространство
h
B
т.е.
)()( xUpxU
hh
.
Пример.1 Пусть
0
B
- пространство непрерывно дифференцируемых функций на отрезке
[0,1],
h
G
- равномерная сетка, т.е.
}1,,0,{ NhNiihxG
ih
, тогда в качестве оператора
проектирования можно взять оператор вычисления значения функции в данной точке
сетки.
)()(
iih
xUxUp
.
Пример.2 Пусть
0
B
- пространство интегрируемых на отрезке [0,1] функций,
h
G
- сетка,
}1,,0,{ NhNiihxG
ih
, тогда в качестве оператора проектирования можно взять
оператор осреднения.
1,1,)())((
5.0
5.0
NidxxUxUp
hx
hx
ih
i
i
,
hx
hx
h
dxxU
h
xUp
5.0
5.0
0
0
0
)(
5.0
1
))((
,
N
N
x
hx
Nh
dxxU
h
xUp
5.0
)(
5.0
1
))((
Будем требовать чтобы нормы в пространстве
h
B
были согласованы с нормами в
пространстве
0
B
, т.е. для любой функции
0
BU
выполняется равенство
0
0||
lim uUp
h
h
h
(3)
Требование согласованности норм обеспечивает единственность предела сеточных
функций, когда
0h
.
Действительно, если для
0
, BVU
справедливы соотношения:
0lim
0||
h
hh
h
yUp
и
0lim
0||
h
hh
h
yVp
.
Рассмотрим
VUVpUpVUyVpyUpVpUp
h
hh
h
h
hh
h
hh
h
hh
0lim
0
0
Пример.3 Сеточная норма
1,,0,)(
2
1
0
2
hNNiyhy
N
i
i
h
согласована с нормой в
25
пространстве
2
L
2
1
1
0
2
)))((( dxxyy
, а сеточная норма
2
1
0
2
)(
N
i
i
h
yy
- несогласована ни
с одной из норм т.к. ряд
N
i
i
y
0
2
может быть расходящимся.
Норма
i
Ni
h
yy
0
max
согласована с нормой в пространстве С.
Пусть U(x) – решение задачи (1),
)(xy
h
- решение разностной задачи (2).
Определение. Сеточная функция
)()()()()( xUxyxUpxyxz
hhhhh
называется
погрешностью разностной схемы (2).
Подставим
)()()( xUxzxy
hhh
в разностную задачу (2)
погрешность
)(xz
h
удовлетворяет уравнению
)()( xxzL
hhh
,
h
Gx
(4)
Здесь
)()()( xULxx
hhhh
(5)
Определение. Сеточная функция
)(x
h
, определенная (5) называется погрешностью
аппроксимации разностной задачи (2) на решении исходной дифференциальной задачи
(1).
Преобразуем выражение для
)(x
h
, проектируем уравнение (1) на сетку
h
G
)()( xfpxLUp
hh
. Учитывая принятые обозначения получим
)()()( xfxLU
hh
(6)
Из (5) и (6)
)()())()(())()()(()(
21
xxxfxxULxLUx
hhhhhhhh
где
)()()(
)()()()(
2
1
xfxx
xULxLUx
hhh
hhhh
(7)
Определение. Функции
)(),(
21
xx
hh
называются соответственно погрешностью
аппроксимации дифференциального оператора
L
разностным оператором
h
L
и
погрешностью аппроксимации правой части.
Определение. Говорят, что разностная задача (2) аппроксимирует дифференциальную
задачу (1) если
0
h
h
.
Разностая схема имеет к-тый порядок аппроксимации если
0k
и
0
1
M
не зависящее
от h и такие, что
k
h
h
hM
1
.
Аналогично определяется погрешность аппроксимации и порядок аппроксимации правых
частей и дифференциального оператора.
Определение. Разностная схема (2) называется корректной если:
1) ее решение существует и единственно при любых правых частях
hh
B
;
2) существует константа
0
2
M
не зависящая от h и такая, что при
hh
B
справедливо соотношение
h
h
h
h
My
2
(8)
Свойство (8), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h,
решения разностной задачи от правой части называется устойчивостью разностной схемы.
26
Отметим, что требование 1) из определения эквивалентно существованию оператора
1
h
L
-
обратного оператору
h
L
, а требование 2) эквивалентно равномерной по h ограниченности
оператора
1
h
L
.
Определение. Решение разностной задачи (2) сходится к решению дифференциальной
задачи когда
0h
если
0
h
hh
Upy
.
Говорят, что разностная схема имеет к-ый порядок точности, если существует константы
0k
и
0
3
M
не зависящие от h, и такие, что
k
h
hh
hMUpy
3
.
Часто говорят, что разностная схема сходится, подразумевая сходимость решения
разностной задачи к решению дифференциальной задачи.
Теорема. Пусть дифференциальная задача (1) поставлена корректно, разностная задача (2)
является корректной и аппроксимирует исходную задачу (1), тогда решение разностной
задачи (2) сходится к решению диффернциальной задачи (1), причем порядок точности
совпадает с порядком аппроксимации.
Доказательство. Рассмотрим определения сходимости, корректности и аппроксимации.
Определение уравнения для погрешности (4) имеет вид, аналогичный разностному
уравнению (2), поэтому из определения корректности следует оценка
h
h
h
h
Mz
2
(9)
Так как константа
2
M
не зависит от h, то из (9) получаем, что если
0
0
h
h
h
, то
0
0
h
h
h
z
, т.е. схема сходится.
Если
k
h
h
hM
1
, то
k
h
h
hMMz
21
т.е. разностная схема имеет к-ый порядок
точности.
Значение приведенной теоремы состоит в том, что она позволяет разделить изучение
сходимости на два отдельных этапа: доказательство аппроксимации и доказательство
устойчивости.
§ Принцип максимума для разностных схем.
Пусть в n-мерном евклидовом пространстве задано конечное множество точек,
сетка
.
Каждой точке
x
поставим в соответствие одно и то же множество точек Ш(x),
которое назовем шаблоном – это любое подмножество из
, содержащее точку x.
Окрестностью точки x назовем множество
}{\)()( xxШxШ
,
)(xШ
может быть и
пустым.
Пусть заданы функции
)(),,(),( xFxBxA
, определенные для
,x
принимающие вещественные значения.
Каждой точке
x
соотносится одно итолько одно уравнение
)(
)()(),()()(
xШ
xFyxBxyxA
,
x
(1)
y(x) – искомая функция,
)(),,(),( xFxBxA
- заданные функции.
(1) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений
равным числу неизвестных.
Введем понятие связанности сетки. Сетку
называеют связанной сеткой, если для
00
,xx
- узлов, таких, что по крайней мере один из них имеет непустую окрестность
27
существует множество узлов
m
xxx ,...,,
21
таких, что
)(),...(),(
01201 m
xШxxШxxШx
, т.е. каждый последующий узел принадлежит
окрестности предыдущего узла.
Наглядный смысл требования связанности состоит в том, что от любого узла
0
x
можно перейти к другому узлу
0
x
пользуясь только заданным шаблоном.
Аналогично определяется понятие связанности любого подмножества из
.
Определим сеточный оператор L:
xyxBxyxAxLy
xШ
,)(),()()()(
)(
(2)
Обозначим
)(
),()()(
xШ
xBxAxD
(3)
тогда задачу (1) можно записать в виде:
xxFxLy ),()(
(4)
Иыражение для
)(xLy
можно представить в виде
)(
))()()(,()()()(
xШ
yxyxBxyxDxLy
Будем говорить, что в точке
x
выполнено условие положительности
коэффициентов, если
0),(,0)(
xBxA
для всех
)(xШ
0)( xD
(5)
Наряду с сеткой
будем рассматривать какое-либо ее подмножество и обозначим
U
x
xШ )(
.
Теорема. (принцип максимума) Пусть сетка
и любое ее подмножество
являются
связанными, причем
. Пусть в
выполнено условие положительности
коэффициентов (5), тогда если функция y(x), заданная на
не является постоянной на
и
0)( xLy
(
0)( xLy
,
x
(6)
то y(x) не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного)
значения на
среди всех ее значений на
.
Доказательство. Пусть выполнено условие (6). Будем доказывать от противного.
Пусть в точке
0
x
функция принимает максимальное положительное значение, т.е.
0)(max)(
0
xyxy
x
(7)
тогда в этой точке
)(
00000
0))()()(,()()()(
xШ
yxyxBxyxDxLy
(8)
т.к. в силу условий (5) имеем
0)()(,0),(,0)()(
0000
yxyxBxyxD
(9)
По условию теоремы
0)(0)(
00
xLyxLy
, но тогда, учитывая неотрицательность всех
слагаемых правой части (8)
0))()()(,(,0)()(
0000
yxyxBxyxD
)(xШ
отсюда
в силу предположения
0)(
0
xy
и (9) условия
0),(
0
xB
следует, что
28
)(),()(
0
xШyxy
, а т.к. y(x) не константа в
, то существуют узлы
m
xxx ,...,,
21
такие, что
)(),...(),(
01201 m
xШxxШxxШx
.
Из предположения (7) и полученного равенства (9) следует, что
)()(
01
xyxy
;
Относительно точки
1
x
проводим точно такие же рассуждения и показываем, что
)(),()(
1
xШxyy
.
Таким образом показываем, что
)()(...)()(
021
xyxyxyxy
m
.
Оценим выражение
)(
))()()(,()()()(
xШ
mmmmm
yxyxBxyxDxLy
, в силу условий (5) и
равенства
)()(
0
xyxy
m
и предположения (7) следует строгое неравенство
0))()()(,()(
00
xyxyxxBxLy
mmm
таким образом получили противоречие с (7).
Случае, когда
0)( xLy
сводится к рассмотренному случаю заменой
)()( xyxy
.
Принцип максимума остается справедливым также и в том сучае, когда
, в
этом случае
U
x
xШ )(
.
Следствие 1. Если при всех
x
:
1) выполнены условия положительности коэффициентов (5);
2)
0)( xLy
(
0)( xLy
) и найдется хотя бы один узел
0
x
в котором
0)(
0
xD
(10)
то
0)( xy
(
0)( xy
)
x
.
Доказательство. Если
constxy )(
при
x
, то утверждение следует из принципа
максимума. Действительно, предполагая, что
0)( xy
хотябы в одной точке, мы
допускаем существование в
положительного максимума функции y(x), что
противоречит принципу максимума. Если
constxy )(
x
, то в точке
0
x
, в
которой
0)(
0
xD
имеем
0)()(0)()())()()(,()()()(
000
)(
00000
0
xyxyxyxDyxyxBxyxDxLy
xШ
Точку
x
назовем граничной точкой, если
)(xШ
- пустое множество. Если сетка
содержит хотя бы одну граничную точку
0
x
, то в этой точке
0)(),()()(
0
)(
000
0
xAxBxAxD
xШ
.
В этом случае если сетка содержит граничную точку, то можно применить Следствие 1.
Следствие 2. Пусть коэффициенты оператора L удовлетворяют условиям
положительности коэффициентов (5)
x
,
0)(
0
xD
,
0
x
, тогда задача (1) имеет
единственное решение.
Доказательство. Задача (1) представляет собой систему линейных алгебраических
уравнений, в которой яисло уравнений равно числу неизвестных
достаточно показать,
что однородное уравнение
0)( xLy
для
x
имеет тоько нулевое решение, т.е.
0)( xy
. Так как условия
0)( xLy
и
0)( xLy
в данном случае выполнены, то из
Следствия 1 следует, что в каждой точке
x
одновременно выполнены неравенства
0)( xy
и
0)( xy
0)( xy
.
Наряду с задачей (4):
)()( xFxLy
x
рассмотрим задачу
29
)()( xFxLY
x
(11)
которая отличается от задачи (4) только правой частью.
Теорема 2.(теорема сравнения) Пусть при
x
выполнены условия положительности
коэффициентов (5) и выполнено условие (10), тогда если
)()( xFxF
x
, то
)()( xYxy
x
.
Доказтельство. Для функций
)()()( xyxYxV
и
)()()( xyxYxW
имеем
0)()()( xFxFxLV
и
0)()()( xFxFxLW
. Согласно Следствия 1 имеем
0)( xV
и
0)( xW
, т.е.
)()()( xYxyxY
.
Сформулируем первую краевую задачу для уравнения (1).
Пусть
- множество граничных точек сетки
, т.е. такие точки
x
, для которых
)(xШ
- пустое множество. Множество точек сетки
не являющихся граничными
назовем множеством внутренних точек и обозначим
.
В граничном узле
x
уравнение (1) принимает вид
)()()( xFxyxA
или же
)()( xxy
(12)
где
)(
)(
)(
xA
xF
x
- заданная функция.
Первая краевая задача состоит в том, чтобы найти сеточную функцию y(x),
удовлетворяющую уравнению (1) при
x
и условию (12) при
x
.
При выполнений условий Теоремы 1 первая краевая задача имеет единственное решение.
Переформулируем Теорему сравнения на случай первой краевой задачи.
Рассмотрим две задачи:
)()( xFxLy
x
,
)()( xxy
x
(13)
)()( xFxLY
x
,
)()( xxY
x
(14)
Если при
x
выполнены условия положительности коэффициентов (5) и
)()( xFxF
x
,
)()( xx
x
, то
)()( xYxy
x
.
Ункция
)(xY
, фигурирующая в теореме сравнения называется мажорантной функцией для
решения y(x) задачи (4).
Для получения оценки решения y(x) обычно строят вспомогательную задачу (11) или (14)
так, чтобы можно было легко найти ее решение Y(x) и затем применяют теорему
сравнения.
Теорема сравнения позволяет доказать устойчивость решения первой краевой задачи по
граничным условиям.
Рассмотрим однородное уравнение с неоднородными граничными условиями
0)( xLy
x
,
)()( xxy
x
(15)
Следствие 3 (устойчивость по граничным условиям) Пусть при
x
выполнены условия
положительности коэффициентов (5), тогда для решения задачи (15) справедлива оценка:
)(max)(max xxy
xx
(16)
Доказательство. Наряду с задачей (15) рассмотрим задачу:
0)( xLY
x
,
)(xY
x
(17)
где
)(max x
x
. Все условия теоремы сравнения выполнены
)()( xYxy
.
30
Рассмотрим функцию
)()( xYxV
, имеем
0)()()(
xDLxLYLxLV
,
0)( xV
при
x
. Согласно следствию 1
0)( xV
т.е.
)(xY
, но тогда при всех
x
имеем
)()( xYxy
(16).
Пример. Пусть задана краевая задача
10),()(
xxfxU
,
0)1(,0)0(
UU
.
Построим разностную схему вторго порядка аппроксимации:
)(
,,
i
ixx
xfy
1,1 Ni
,
00,
5.0 hfy
x
0
N
y
(18)
Зпишем разностную схему (18) в каноническом виде:
0
)(5.0)(
2
1
5.0
2
11
0
2
10
N
iiii
y
xfhyyy
fhyy
1,1 Ni
В нашем случае сетка
состоит из узлов
1,,0, NhNiihx
i
и имеет одну граничную
точку
N
x
.
Окрестность
}{)(
10
xxШ
состоит из одного узла
x
,
Окрестность
)(
i
xШ
1,1 Ni
состоит из двух точек
11
,
ii
xx
. Сетка является связанной.
Свойства положительности коэффициентов выполнены, причем
1,1,0)( NixD
i
1)()(
NN
xAxD
.
Таким образом к разностной задаче (18) можно применять принцип максимума и его
следствия.
§ Аппроксимация, устойчивость и сходимость
задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона:
Найти непрерывную в области
GG
функцию
),(
21
xxU
, удовлетворяющую
уравнению
),(
21
2
2
2
2
1
2
xxf
x
U
x
U
,
Gxx ),(
21
(1)
и граничеому условию
)()( xxU
x
(2)
G – область, прямоугольник:
},0,0{
2211
lxlxG
,
- его граница,
)(xf
и
)(x
-
заданные функции.
Предполагаем, что решение задачи (1)-(2) существует и единственное является достаточно
гладкой функцией.
Если
0)( xf
, то получим задачу Дирихле
0
2
2
2
2
1
2
x
U
x
U
,
Gxx ),(
21
для уравнения
Лапласа
)()( xxU
,
x
.
31
Одним из основных свойств задачи Дирихле для уравнения Лапласа является выполнение
принципа максимума, а именно непрерывное в области
G
и отличное от константы
решение
),(
21
xxU
может достинать своего максимального по модулю значения только на
границе
справелива оценка
),(max),(max
21
),(
21
),(
21
21
xxxxU
xx
Gxx
, где
GG
.
Полученная оценка показывает, что решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
устойчиво по граничным данным.
Полученные в предыдущем параграфе утверждения позврляют установить сходимость
разностной задачи для уравнения Пуассона.
Введем в область
G
прямоугольную сетку
с шагом
1
h
по направлению
1
l
, и с шагом
2
h
по направлению
2
l
так, что
222111
? NhlNhl
NNN
21
,
.
Обозначим
11
ihx
i
,
22
ihx
i
.
Сетка
состоит из совокупности узлов
),(
21
ji
ij
xxx
21
,0,,0 NjNi
.
Для функций, определенных на
введем следующие соотношения:
),(
21
ji
ij
yyy
,
2
1
,1,,1
,,,
2
11
h
yyy
y
jijiji
jixx
,
2
2
1,,1,
,,,
2
22
h
yyy
y
jijiji
jixx
.
Задаче Дирихле для уравнения Пуассона будет соответствовать следующая разностная
схема:
ji
jixxjixx
fyy
,
,,,,,,
2211
,
1,1,1,1
21
NjNi
(3)
и граничные условия
),(
)0,(
211,
110,
2
lxy
xy
i
Ni
i
i
1,1
1
Ni
(4)
),(
),0(
211,
22,0
1
j
jN
j
j
xly
xy
1,1
2
Nj
Точки
ji
x
,
, в котрых записано уравнение (3) принадлежат множеству
}1,1,1,1,{
21,
NjNix
ji
, эти точки называются внутренними.
Совокупность точек
};{
,,0
1
jNj
xx
1,1
2
Nj
};{
2
,0, Nii
xx
1,1
1
Ni
наывается
границей.
Точки
),(),,0(),0,(),0,0(
2121
llll
не участвуют в аппроксимации и поэтому не относятся ни к
границным точкам ни к внутренним.
Построенная разностная схема (3)-(4) имеет второй порядок аппроксимации по
1
h
и
2
h
,
она представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных
ji
y
,
, состоящую из
)1)(1(
21
NN
уравнений с таким же числом
неизвестных.
Для дальнейшего исследования представим разностное уравнение (3) в виде, разрешенном
относительно
ji
y
,
:
ji
jijijiji
ji
f
h
yy
h
yy
y
hh
,
2
2
1,1,
2
1
,1,1
,
2
2
2
1
)
22
(
(5)
32
1,1
1
Ni
,
1,1
2
Nj
.
Обозначим через x – центральную точку
ji
x
,
шаблона, на котром аппроксимируется
уравнение (1), а через
)(xШ
- весь этот шаблон, т.е. совокупность пяти точек:
1,,1,
,,
jijiji
xxx
.
Назовем окрестностью
)(xШ
все точки шаблона за исключением
x
, т.е.
},{)(
1,,1
jiji
xxxШ
, тогда уравнение (5) можно записать в виде
)(
)()(),()()(
xШ
xFyxBxyxA
(6)
где коэффициенты
)(),,(),( xFxBxA
определены следующим образом
)()(,
1
),(,
1
),(,
22
)(
,
2
2
1,
2
1
,1
2
2
2
1
jijiji
xfxF
h
xxB
h
xxB
hh
xA
.
Отметим свойства этих коэффициентов:
)(
),()(,0),(,0)(
xШ
xBxAxBxA
;
Запись разностного уравнения (3) в виде (6) называется канонической формой
разностного уравнения. Она применима не только к уравнению (3), но и к любому
линейному разностному уравнению.
Разумеется в каждом конкретном случае нужно задать множество
)(xШ
и определить
коэффициенты
)(),,(),( xFxBxA
.
Получим оценку решения разностной задачи через правую часть
f
и граничные условия
. Полученная оценка будет означать устойчивость разностной задачи, затем покажем,
что норма погрешности
)()(max
)(
xUxyUy
x
def
C
стремится к нулю при
0,0
21
hh
.
Запишем разностную задачу (3)-(4) в виде:
)()(
)()(
xxy
xFxLy
x
x
(8)
Подставимрешение задачи (8) в виде
)(
~
)()( xyxyxy
, где
)(
~
xy
- решение однородного
уравнения с неоднородными граничными условиями
xxUxy
xxyL
),()(
~
,0)(
~
(9)
)(xy
- решение неоднородного уравнения с однородными граничными условиями
xxy
xxFxyL
,0)(
),()(
(10)
Отметим, что для задачи (8) выполняется условие принципа максимума
можно
воспользоваться принципом максимума и его следствием, в частности к задаче (9) можно
применить следствие 3, откуда следует оценка:
)()(
~
CC
y
(11)
)(max
~
)(
xyy
x
def
C
,
)(max
)(
x
x
def
C
.
Чтобы оценить решение уравнения (10) построим мажорантную функцию для решения
задачи (10) и применим теорему сравнения.
Рассмотрим
)()(
2
2
2
1
2
2
2
1
xxllKxY
(12)
33
где
K
- некоторая неопределенная константа,
21
,ll
- длины сторон прямоугольника
G
.
Очевидно, что
0)( xY
x
.
Обозначим
)(
),()()(
xШ
xBxAxD
.
Вычислим выражение
)(
))()()(,()()()(
xШ
YxYxBxYxDxLY
(13)
для функции, определенной по (12).
Отметим, что по построению
jixxjixx
YYxLY
,,,,,,
2211
)(
.
Для функции
)(xY
:
KY
jixx
2
,,,
11
,
KY
jixx
2
,,,
22
,
KxLY 4)(
.
Можно считать, что функция
)(xY
является решениемкраевой задачи
xxxY
xxFxLY
),()(
),()(
(14)
где
KxF 4)(
и
0)( x
- значение функции (13) при
x
.
Если положить
)(
4
1
C
FK
, то по отношению к задачам (10) и (14) будт выполнены все
условия теоремы сравнения, поэтому
)()(max
2
2
2
1
)(
llKxYy
x
C
.
Отсюда учитываем выбор константы
K
)(
2
2
2
1
)(
4
CC
F
ll
y
(15)
Из неравенства
и оценок (12) и (15) следует, что
)()(
2
2
2
1
)(
4
CCC
F
ll
y
(16)
т.к. константы, входящие в правую часть (16) не зависят от шагов
1
h
и
2
h
данная оценка
выражает собой устойчивость разностной схемы по правой части
)(xF
и по граничным
условиям
)(x
. Отметим геометрический смысл константы
2
2
2
1
ll
: это есть квадрат
диагонали области
G
.
Мы доказали корректность, т.е. однозначную разрешимость и устойчивость
разностной схемы (3)-(4).
Перейдем к исследованию сходимости и оценкам погрешности.
Обозначим
),(
21,,
ji
jiji
xxUyz
- погрешность разностной задачи (3)-(4). Здесь
ji
y
,
- точное решение разностной задачи, а
),(
21
xxU
- точное решение дифференциальной
задачи.
Подставляя
),(
21,,
ji
jiji
xxUzy
в разностную задачу (1)-(4) получим, что погрешность
удовлетворяет следующей разностной задаче:
jiji
jijijixxjixx
xz
xzz
,,
,,,,,,,,
,0
,
2211
(17)
34
Здесь
jixxjixxjiji
UUf
,,,,,,,,
2211
- погрешность аппроксимации на решении
дифференциальной задачи (1). Если четвертые производные решения
),(
21
xxU
ограниченные функции, то погрешность аппроксимации является величиной второго
порядка малости относительно величины
2
1
2
2
2
1
)( hhh
, т.е. существует константа
1
M
не
зависящая от
1
h
и
2
h
, такая, что
)(
2
2
2
11
)(
hhM
C
(18)
Отметим, что разностная задача (17) отличается от разностной задачи (3)-(4) тоько
правыми частями в основном уравнении и в граничных условиях, поэтому для оценки
решения задачи (17) справедлива оценка, а именно, оценка, аналогичная (16), а именно,
оценка:
)(
2
2
2
1
)(
4
CC
ll
z
.
Используя неравенство (18) из последней оценки получим:
)(
2
2
2
12
)(
hhMz
C
(19)
где
)(
4
1
2
2
2
112
hhMM
- константа, не зависящая от
1
h
и
2
h
из оценки (18), откуда
следует, что разностная схема (3)-(4) сходится к решению со вторым порядком по
1
h
и
2
h
,
т.е. разностная схема имеет второй порядок мощности.
§ Теория устойчивости разностных схем.
Разностные схемы как операторные уравнения.
Разностная схема представляет собой систему линейных алгебраических
уравнений. Ее всегда можно записать в векторном виде:
Ay
(1)
где
A
– матрица системы,
y
– искомый вектор,
- заданный вектор, определяемый
правыми частями разностного уравнения и начальными и граничными условиями.
Запись (1) наиболее применима для стационарных разностных схем. Это уравнение также
можно рассматривать как операторное уравнение, где
A
– линейный оператор,
действующий в конечномерном пространстве
H
,
y
– искомый элемент этого
пространства,
H
- заданный элемент.
Для разностных схем характерно, что каждая система определят не одно уравнение (1), а
целое семейство уравнений
hhh
yA
(2)
зависящее от шага сетки
h
.
При каждом допустимом значении
h
оператор
h
A
действует в конечномерном
пространстве
h
H
, размерность пространства
h
H
зависит от шага сетки
h
и, как правило,
неограниченно вазрастает при
0h
.
Рассмотрим примеры.
Чтобы записать конкретную разностную схему в виде (2) надо ввести соответствующим
образом пространство
h
H
, определить оператор
h
A
иправую часть
h
на сетке
}1,,0,{ NhNiihx
ih
35
Рассмотрим разностную схему на сетке
h
:
210
,,
,
1,1,
N
i
ixx
yy
Nify
(3)
Запишем систему (3) в виде
1
2
21
~
2
f
h
yy
,
2,2,
2
2
11
Nif
h
yyy
i
iii
,
1
2
12
~
2
N
NN
f
h
yy
, где
2
1
11
~
h
ff
,
2
2
11
~
h
ff
NN
.
Введем следующие обозначения:
1N
H
- пространство, состоящее из функций
)(xy
заданных для
h
x
, где
}1,1,1,{ NhNiihx
ih
. Определим в пространстве
1N
H
оператор
A
и вектор
следующим образом:
2
12
1
2
11
2
21
1
2
2
2
h
yy
Ay
h
yyy
Ay
h
yy
Ay
NN
N
iii
i
2,2 Ni
;
1111
~
,2,2,,
~
NNii
fNiff
.
Тогда разностная схема может быть записана в операторной форме (1). Матрица –
симметричная и трехдиагональная
6N
210000
121000
012100
001210
000121
000012
A
Возможны также и другие методы определения оператора
A
.
Рассмотрим семейство операторных уравнений (2), где
h
A
- линейный оператор,
действующий в конечномерном пространстве
h
H
.
Предположим, что в пространстве
h
H
заданы нормы
h1
.
и
h2
.
, в которых измеряется
решение уравнения (2) и его правая часть. Будем называть уравнение (2) корректным
если:
1) решение уравнения (2) существует и единственно при
hh
H
;
2) существует константа
0
1
M
, не зависящая от
h
и такая, что при любых
правых частях
hh
H
выполняется оценка
h
h
h
My
2
1
1
(4)
Условие 1) эквивалентно существованию оператора
1
h
A
, обратного к
h
A
, а условие 2)
равномерную по
h
ограниченность оператора
1
h
A
. Полуим некоторые достаточные
условия корректности.
Предположим, что
h
H
- вещественное конечномерное пространство, в котором введены
скалярное произведение
h
vy,
и норма
h
h
yyy ,
.
36
Теорема 1. Если существует константа
0
, не зависящая от
h
и такая, что при любых
hh
Hv
выполнено неравенство
2
,
h
h
h
hh
vvAv
(5)
то уравнение (2) корректно и для его решения выполняется оценка
h
h
h
h
y
1
(6)
Доказательство. Чтобы доказать существование и единственность решения уравнения (2)
достаточно показать, что однородное уравнение
0
hh
zA
(7)
имеет только нулевое решение
0
h
z
.
Пусть
h
z
- решение уравнения (7), согласно оценки (5)
0,
2
h
hh
h
h
zAzz
00
h
h
h
zz
.
Докажем оценку (6). Согласно условию (5) для уравнения (2) справедлива оценка
h
hh
h
hh
h
h
yyAyy ,,
2
.
Применим к неравенству неравенство Коши-Буняковского
h
h
h
h
h
h
yy *
2
откуда
следует офенка (6).
Отметим связь условия (5) с оценками собственных значений оператора
h
A
, а именно,
если выполнно условие (5), то все собственные значения оператора
h
A
- действительные
числа, причем для минимального собственного значения выполнена оценка:
0
min
h
(8)
Действительно, пусть
- произвольное собственное значение оператора
h
A
, и
-
соответствующая ему собственная функция, т.е.
AA
h
, тогда согласно (5)
2
,
h
h
A
и, следовательно,
.
Для самосопряженного оператора
h
A
верно и обратное, из условия (8) следует
выполнение неравенства (5).
Таким образом верна Теорема 2.
Теорема 2. Пусть
h
A
- самосопряженный оператор,
h
min
- его минимальное собственное
значение, если выполнена оценка (8) с постоянной
не зависящей от
h
, то уравнение (2)
корректно и для его решения справедлива оценка (5).
В некоторых случаях оценок вида (6), в которых решение и правая часть вычисляются в
одной и той же норме бывает недостаточно для выяснения сходимости и оценки порядка
точности разностной схемы. В то же время оценки вида (4) со специально подобранной
правой частью
h
h
2
позволяют получить правильное представление о порядке точности
разностных схем.
§ Канонический вид и условия устойчивости
двухслойных разностных схем.
Пусть задано семейство линейных конечномерных индексных пространств
h
H
,
размерность которых зависит от
h
. Параметр
h
- вектор с нормой
h
.
Пусть на отрезке
T,0
задана сетка по времени
},,0,{ TKKnnt
n
, шаг
0
.
37
Будем рассматривать функции
hn
Hty )(
, функции
)(
n
ty
могут зависеть от параметров
h
и
)()(
, nhn
tyty
.
Будем обозначать
)(
, nhn
tyy
. Пусть заданы два линейных оператора
1
B
и
2
B
и функция
hh
H
.
Двухслойной разностной схемой называется семейство операторно-разностных уравнений
первого порядка
hnn
yByB
211
,
1,0 Kn
(1)
0
y
- произвольный заданный вектор,
)(n
hh
.
Учитывая, что
nn
nn
yy
yy
1
1
(2)
любую разностную схему можно записать на сетке
в виде:
)(
1
nAy
yy
B
hn
nn
(3)
1,0 Kn
,
0
y
- произвольный заданный вектор.
Здесь
A
и
B
- линейные операторы
21
BBA
,
1
BB
.
Каноническим видом двухслойной разностной схемы называется ее запись в виде (3).
Так как одну и ту же сетку можно записать многими способами, то приведение к
каноническому виду значительно облегчает анализ и сравнение разностных схем. Как и в
случае стационарных разностных схем, разностная схема (3) называется корректной если
ее решение
)(
, nhn
tyy
:
1) существует;
2) единственно;
3) непрерывно, причем равномерно относительно
и
h
зависит от исходных
данных
)(
nh
t
и
0
y
.
В дальнейшем будем предполагать, что оператор
1
B
существует, если
)(
, nh
tBB
, то
предполагаем, что существует
1
B
при всех допустимых значениях
n
th ,,
. Тем самым мы
гарантируем существование и единственность решения задачи (3).
Будем считать, что в пространстве
h
H
определены две нормы:
h1
.
- где измеряется решение
)(
n
ty
;
h2
.
- где измеряется правая часть
)(
nh
t
;
Разностная схема (3) называется устойчивой если существуют константы
0,0
21
MM
,
не зависящие от
nh ,,
и такие, что при любых
)(
, nh
t
и любых
h
Hy
0
для решения
уравнения (3) выполняется оценка:
h
n
nj
hh
n
jMyMy
2
10
2
1
01
1
)(max
(4)
Устойчивость, выраженная формулой (4) называется устойчивостью по начальным
данным и по правой части.
Рассмотрим однородное уравнение с неоднородными начальными условиями:
1,0,0
1
KnAy
yy
B
n
nn
(5)
38
0
y
- любой заданный вектор.
Определение. Разностная схема (3) называется устойчивой по начальным данным если
существует константа
0
1
M
не зависящая от
n
th ,,
и такая, что при любом
h
Hy
0
для
решения уравнения (5) справедлива оценка:
hh
n
yMy
1
01
1
(6)
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (3) с нулевым начальным условием
0
)(
0
1
y
nAy
yy
B
hn
nn
,
1,0 Kn
(7)
Определение. Разностная схема (3) называется устойчивой по правой части если
существует константа
0
2
M
не зависящая от
n
th ,,
и такая, что при любом
)(
, nh
t
для
решения уравнения (7) справедлива оценка:
h
n
nj
h
n
jMy
2
10
2
1
)(max
(8)
Отметим, что в силу линейности разностных схем из одновременной устойчивости по
начальным данным и по правой части следует устойчивость в смысле (4). Покажем, что
устойчивость по правой части является в определенном смысле следствием устойчивости
по начальным данным.
Определение. Разностная схема (3) называется равномерно устойчивой по начальным
данным если существуют константы
0
и
1
M
не зависящие от
n
th ,,
и такие, что при
любом
h
Hy
0
для решения однородного уравнения (5) справедлива оценка:
h
n
h
n
yy
11
1
причем
1
M
n
(9)
В теории разностных схем в качестве константы
выбирается:
0
,1,1
1
C
eC
,
где
01
,CC
- некоторые положительные константы.
Перепишем однородные уравнения (5) в виде:
1,0,
1
KnSyy
nn
(10)
Где оператор
ABES
1
(11)
называется оператором перехода разностной схемы (3).
В силу произвольности
hn
Hy
требования (9) равномерной устойчивости по начальным
данным эквивалентно ограниченности нормы вектора
S
константой
, т.е.
S
(12)
Отметим, что оператор
S
может зависеть от
n
.
В дальнейшем допустимыми значениями будем называть числа
1,1 Kn
, такие, что
TK
, где
T
- заданное число.
Отметим, что при
0
K
.
Теорема 1. Пусть разностная схема (3) равномерно устойчива по начальным данным
измеряемым в норме
h1
.
, тогда разностная схема (3) устойчива и по правой части, причем
для ее решения выполнена оценка (4), где
h
nj
h
n
jBj
1
1
2
)()(
и
TMM
12
39
Доказательство. Перепишем (3) при
jn
в виде
)(
1
11
jBysy
hjjjj
. Применим
неравенство
:
h
hj
h
jj
h
j
jBysy
1
1
1
1
1
1
)(*
.
Из требований равномерной устойчивости по начальным данным в силу неравенства (12)
получим:
h
hj
h
j
h
j
jByy
1
1
11
1
)(
.
Последовательно применим это неравенство и получим следующую оценку
n
j
h
hj
jn
h
j
n
h
j
jByy
0
1
1
1
1
1
1
)(
(13)
Согласно условию равномерной устойчимвости по начальным данным имеем, что
1
M
n
для
n
, т.е.
1
1
M
n
из оценки (13) имеем
1
M
jn
.
Из оценки (13) имеем
h
nj
n
j
hh
n
jByMy
1
1
0
1
01
1
1
)(
, отметим, что
h
nj
nj
h
nj
nj
n
h
nj
n
j
jBTjBtjB
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
)(max)(max)(
, откуда следует оценка (4).
Предположим, что в пространстве
h
H
введены скалярное произведение
h
vy,
и норма
h
h
yyy ,
.
Для упрощения записи индекс
h
будем опускать.
Оператор
D
, действующий в пространстве
h
H
называется положительным оператором
если
h
HyyDy ,0),(
,
0
0
y
.
Если
D
- самосопряженный положительный оператор, то можно ввести норму
yyy
D
,
, которая называется энергетической нормой, порожденной оператором
D
.
В дальнейшем неравенство
0D
(
0D
) будет означать, что
D
- положительный
(неотрицательный) оператор.
Теорема 2. Пусть в разностной схеме (3) оператор
A
является самосопряженным
положительным оператором и не зависит от
n
, если выполнено неравенство
AB
5.0
(14)
то разностная схеа (3) равномерно устойчива по начальным данным, причем для решения
однородного уравнения (5) справедлива оценка
A
n
A
n
yy
1
,
1,0 Kn
(15)
Доказательство. Обозначим
nn
t
yy
y
!
,
n
yy
. Умножим скалярно уравнение (5) на
t
y
0),(,
ttt
yAyyBy
Полученное равенство запишем в виде:
0),5.0(),)5.0((
tttt
yAyAyyyAB
(16)
2
)(
)(5.05.0
1
1
nn
nnnt
yyA
AyAyAyAyAy
, тогда (16) примет вид:
0))(),((5.0),)5.0((
11
1
nnnntt
yyyyAyyAB
(17)
),(),(),(),())(),((
111111 nnnnnnnnnnnn
yAyyAyyAyyAyyyyyA
[т.к.
A
-
положительный самосопряженный оператор]=
t
A
nnnnnnn
ytyAyyAyyAy )(),(),(),(
2
11
40
Таким образом (17) примет вид
0)(5.0),)5.0((
2
t
A
ntt
yyyAB
(18)
Из условия (14)
0),)5.0((
tt
yyAB
, поэтому из последнего равенства следует, что
0)(5.0
2
t
A
n
y
.
Последнее неравенство совпадает с (15).
Если
A
- самосопряженный положительный оператор, то условие (14) является
необходимым условием выполнения оценки (15).
Если
h
H
- комплексное пространство, то справедлива теорема.
Теорема 3. При выполнении тех же условий на оператор
A
, что и в Теореме 2 из
неравенства:
ABB
*
(19)
следует оценка (15) для решения уравнения (5).
Без Доказательства.
Теоремы 2 и 3 позволяют сформулировать следующие правила устойчивости конкретных
двухслойных разностных схем:
Прежде всего разностную схему нужно привести к каноеическому виду, и тем самым
определить операторы
A
и
B
, затем нужно исследовать свойства оператора
A
, если этот
оператор является самосопряженным и положительным и не зависит от
n
, то нужно
проверить выполнение операторных неравенств (14) или (19). Обычно эти неравенства
приводят к некоторым ограничениям на
и
h
, которые и представляют собой условия
устойчивости данной разностной схемы.
Рассмотрим разностную схему с весами:
)()1(
1
1
nAyAy
yy
hnn
nn
(20)
Оператор
A
здесь оператор действующий в вещественном конечномерном пространстве
со скалярным произведением
h
yy,
и нормой
h
h
yyy ,
,
- числовой параметр.
Разностная схема (20) имеет канонический вид, где
AEB
. Предположим, что
существует
1
B
оператор, обратный к
B
.
Теорема 4. Если при любом
h
Hv
выполняется неравенство
0),()5.0(
2
h
h
vAvAv
(21)
то разностная схема (20) равномерно устойчива по начальным данным и для ее решения
справедлива оценка
h
n
h
n
yy
1
,
1,0 Kn
.
Без доказательства.
Неравенство (21) также как и (19) или (14) позволяет определить конкретные ограничения
на
и
h
необходимые для устойчивости разностной схемы.
41
