Конспекты лекций по численным методам

§ 1. Вычислительные схемы метода Гаусса. Метод Гаусса является примером вычислительного метода . Пусть задана система линейных алгебраических уравнений: А*x=f (1) , А=1..n; ji, ),( ijа f=)(if . Будем рассматривать систему (1) в виде: nnnnnnnnnfxaxaxaxafxaxaxaxa.........32221111312212111 (2) Выберем из системы какое-либо уравнение, а в нем какою-нибудь неизвестную , коэффициент которой не равен 0. Не уменьшая общности , можно считать , что это первое уравнение и неизвестное 1x, т.е. предполагаем 011a. Разделим первое уравнение на 11a, которое будем называть ведущим: 1111111113122121 ,...afgaabgxbxbxbxijjnn (3) Умножим (3) последовательно на 13121,...,,naaa и вычтем последовательно из (2) , тем самым мы исключим неизвестную 1x из второго и т.д. уравнений. Преобразованные уравнения будут иметь вид: 1111i1ij1ij11312212121231232122* ,*а а а где.........gafbfxaxaxafxaxaxaiijnnnnnnnn (4) Систему можно рассматривать , как систему с n-1 неизвестными nxxx ,...,,32 и с ней поступим аналогичным образом как с системой (2). Продолжая этот процесс , предположим ,что он возможен до n –го шага . Тогда на n-том шаге получим minmiimjmimmijmijmnnmmnmmnmmmnmnmmmmnmnmnnmmmgaffbaaafxaxafxaxagxbxbx11111111111,,........ (5) Предположим , что n-ый шаг –это последний шаг преобразования. 1. Если m=n , то соединив все первые уравнения до n-го шага включительно , получим систему : nnnnnnnnngxgxbxgxbxbx ........111112121 (6) Из последнего уравнения найдем х: nnnnnnnnnxbxbgxgxbxgx121211111......  (7) Процесс нахождения nx (n=1..j) называется обратным ходом метода Гаусса. Процесс приведения (2)(7) – прямым ходом метода Гаусса. 2. Пусть m