Логические парадоксы

ЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ

Введение. Парадокс - это, как правило, загадочный вывод, к которому мы, казалось бы, должны прийти в результате наших рассуждений, но который, тем не менее, весьма контринтуитивен. Среди них существует большое количество парадоксов логического характера, которые не давали покоя даже профессиональным логикам, в некоторых случаях на протяжении нескольких тысячелетий. Но то, что сейчас иногда выделяют как «логические парадоксы», представляет собой гораздо менее разнородную коллекцию: это группа антиномий, сосредоточенных на понятии самореференции, некоторые из которых были известны еще в классические времена, но большинство из них стали особенно заметны в первые десятилетия прошлого века. Куайн выделил среди парадоксов такие антиномии. Для этого он сначала выделил «истинные» и «фальсидические» парадоксы, которые, хотя и были загадками, но после некоторой проверки оказывались явно истинными или явно ложными. Кроме того, существовали парадоксы, которые «вызывали самопротиворечие в принятых способах рассуждения», и которые, как считал Куайн, устанавливали, «что некая негласная и доверенная схема рассуждения должна быть сделана явной, и впредь ее следует избегать или пересматривать» (Quine 1966, p7). Сначала мы рассмотрим в более широком и историческом смысле несколько основных логических головоломок, которые оказались трудными, некоторые из них - с древности, а затем сосредоточимся на более поздних проблемах с парадоксами самореференции. Все они будут называться «логическими парадоксами».

Парадокс неостановимой силы. Начнем с одного из самых известных парадоксов - парадокса неостановимой или непреодолимой силы. Он является классическим и задает актуальные вопросы: «Что происходит, когда непреодолимая сила встречается с неподвижным объектом?». Легко, правда? Если что-то неостановимо, цель должна двигаться. Но подождите, цель неподвижна. Отличный парадокс для мысленного эксперимента, но в конечном итоге это академический вопрос [1]. Как мы теперь знаем, ни одна сила не является абсолютно непреодолимой, и ни один объект не является неподвижным. Даже мизерные силы вызывают небольшое ускорение «целевого» объекта или массы при столкновении. Чтобы объект был действительно неподвижным, ему нужна бесконечная масса. Если бы такое удалось осуществить, объект разрушился бы под действием собственной массы и образовал сингулярность. Чтобы создать неостановимую силу, конечно, понадобится бесконечная энергия. Возможно ли это? Учитывая «логистические» ограничения, это, тем не менее, интересный парадокс, над которым стоит поразмышлять [2].

Парадокс всемогущества. «Может ли всемогущее существо создать настолько тяжелый камень, что даже «он» не смог бы его поднять?». Следующий пункт в нашем списке парадоксов выглядит следующим образом. Рассмотрим существо, которое является «всемогущим» и не подчиняется законам физики, как мы их знаем. Некоторые могут назвать его Богом или существом со сверхъестественными способностями. Если бы такое существо существовало, оно достигло бы точки, в которой оно могло бы создать объект, с которым оно не смогло бы двигаться [3]. Но подождите, существо всемогуще, как такое возможно? Если бы это произошло, то существо не было бы всемогущим, согласно этому определению. Этот парадокс означает, что способность всемогущего существа означает, что оно обязательно ограничит себя. Ответом на это может быть то, что способность поднять творение выходит за рамки того, что мы определяем как «всемогущество», поскольку это слово подразумевает безграничную способность субъекта.

Парадокс мальчика или девочки. «В семье с двумя детьми какова вероятность того, что один из них будет мальчиком или девочкой?».

В следующей подборке парадоксов рассматривается семья с двумя детьми. Известно, что один из детей - мальчик. Какова тогда вероятность того, что следующий ребенок тоже будет мальчиком? Интуитивно мы ожидаем, что ответ будет 1/2 или 50%, больше или меньше. Ребенок может быть либо мальчиком, либо девочкой, причем вероятность того, что это будет мальчик, практически равна. Однако в семье с двумя детьми существует четыре возможных комбинации. Два мальчика (ММ), две девочки (ДД), старший мальчик и младшая девочка (МД) или старшая девочка и младший мальчик (ДМ). Мы уже знаем, что один из детей - мальчик, поэтому мы можем исключить вариант ДД. Это, однако, оставляет нам три одинаково возможных комбинации, помня, что нам не сообщили относительный возраст детей. Это ММ, МД или ДМ, поэтому в данном сценарии вероятность составляет 1/3 или 33 процента, а не 1/2.

Ахиллес и парадокс черепахи. «Может ли Ахиллес когда-нибудь победить черепаху в беге?». Зенон из Элеи был довольно плодовитым экспериментатором в области мысли. Его знаменитый парадокс об Ахиллесе и черепахе является хорошим примером. Зенон предлагает устроить соревнование между скромной черепахой и легендарным Ахиллом. Ахилл, будучи щедрым человеком, дает рептилии щедрую фору, скажем, 50 метров. Может ли черепаха победить Ахилла? Мыслительный эксперимент предполагает, что для того, чтобы Ахилл «догнал» черепаху, он должен сначала преодолеть расстояние между ним и черепахой [4].

Справедливо, только когда он преодолеет первые 50 метров, черепаха продвинется еще немного вперед, скажем, на 2 метра. Ахилл снова должен преодолеть это расстояние, чтобы догнать его, но черепаха снова продвинулась дальше, скажем, на 0,1 метра. Таким образом, когда бы Ахиллес ни достиг того места, где была черепаха, черепаха всегда впереди, и он никогда не сможет ее догнать. Этот процесс можно продолжать до бесконечно малых расстояний ad infinitum. Очевидно, что наш опыт реального мира говорит о том, что это не так, поэтому этот парадокс является отличным поводом для размышлений.

Этот парадокс фактически утверждает, что невозможно преодолеть бесконечность. Вы не можете попасть из точки А в точку В в бесконечности, не пересекая бесконечные точки. В математике, в отличие от реальности, это действительно возможная теория. Этот парадокс показывает нам, что хотя в математике что-то может казаться логичным, в реальности это не работает.

Парадокс цирюльника. «Может ли цирюльник побриться сам?». В нашем следующем парадоксе рассмотрим город с единственным цирюльником. Каждый мужчина в городе остается чисто выбритым, некоторые бреются сами, другие пользуются услугами цирюльника. Парикмахер должен, следовательно, следовать тем же правилам. Он бреет всех мужчин города, которые не бреются сами. Но как он бреется сам? Поначалу этот вопрос кажется простым, но, следуя правилам, предложенным в парадоксе, мы вскоре упираемся в стену. Если цирюльник не бреется сам, он должен следовать правилам и побриться сам. С другой стороны, если он бреет себя сам, значит, он не может себя побрить. Как такое возможно?

Следовательно, в широком смысле парадокс можно определить как позицию, сильно отличающуюся от устоявшихся, ортодоксальных, общепринятых мнений [7]. В более узком (особом, логическом) смысле парадокс – это пара несовместимых, противоположных утверждений, для которых сформулированы аргументы, кажущиеся убедительными. Самой сложной формой парадокса является антиномия – аргумент, доказывающий эквивалентность двух утверждений, одно из которых отклоняется от другого [5, 6].

Заключение и выводы. Таким образом, парадокс - это аргумент, который выводит или кажется, что выводит абсурдное заключение путем строгой дедукции из очевидно истинных предпосылок. Возможно, самым известным является парадокс Зенона о бегуне, который, прежде чем достичь цели, сначала должен достичь пункта на полпути, а тот, прежде чем достичь пункта на полпути, должен достичь пункта на четверть пути, до которого он должен достичь пункта на одну восьмую пути к цели, и так далее. Вывод таков: ни один бегун никогда не достигнет своей цели и даже не начнет.

Для современных ушей этот аргумент не кажется таким уж неотразимым, поскольку мы можем объяснить его привлекательность либо двусмысленностью употребления слова «никогда» («ни в какой момент времени» и «ни в какой момент последовательности»), либо сомнительной скрытой предпосылкой о том, что невозможно выполнить бесконечно много задач за конечное время, возможно, потому что существует положительный минимум времени, необходимого для выполнения каждой задачи. Однако древних этот парадокс глубоко беспокоил. Наиболее влиятельным был ответ Аристотеля, который пришел к выводу, что невозможно разделить путь бегуна на бесконечно много частей. Любой отрезок пути бегуна можно разделить на две части, так что не существует конечного предела для количества частей пути, но процесс разбиения пути никогда не приводит к пути с бесконечно большим количеством частей. Говорят, что число отрезков, составляющих путь, потенциально бесконечно. Мораль, которую Аристотель извлек из Зенона, состоит в том, что ни в природе, ни в математике не существует актуально бесконечного. «Потенциально бесконечное» - это не то же самое, что «потенциально горячее». Когда мы говорим, что кочерга потенциально горячая, мы подразумеваем, что в определенное время и при определенных обстоятельствах она может быть действительно горячей, тогда как когда мы говорим, что линия потенциально бесконечна, мы подразумеваем, что ее всегда можно сделать длиннее, но не то, что существует какое-то время, в которое она действительно бесконечна.

Доктрина Аристотеля пользовалась широкой поддержкой среди философов и математиков, но к концу девятнадцатого века она стала восприниматься как слишком ограничительная. Новая математика охватила не только бесконечно длинные линии, но и анализ линии как состоящей из бесконечно многих точек, а также бесконечные множества, бесконечные числа и геометрию бесконечных измерений.

Новая математика привела к появлению новых парадоксов, которые по своей формальной структуре напоминают семантические парадоксы, первый из которых появился в шестом веке до нашей эры, когда Эпименид, сам критянин, заявил, что критяне всегда лгут. При условии, что соседи Эпименида достаточно лживы, мы приходим к выводу, что если его утверждение истинно, то оно ложно, а если ложно, то истинно. Глубокие проблемы, или, возможно, одна глубокая проблема в разных проявлениях, поражают основы как математики, так и лингвистики.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ